Номер 4, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 22. Сложение и вычитание одночленов. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 1 - номер 4, страница 112.

Условие.

4. Как вы думаете, почему запись $0^0$ считается в математике лишённой смысла?

Решение 1.

Решение 8.

Вопрос о значении выражения $0^0$ является одним из классических примеров неоднозначности в математике. Утверждение, что эта запись «лишена смысла», происходит в первую очередь из-за противоречий, возникающих при попытке определить её значение с помощью пределов в математическом анализе. В то же время, в других разделах математики, таких как алгебра и комбинаторика, принято полезное соглашение, что $0^0 = 1$. Рассмотрим эти две точки зрения.

Аргумент из математического анализа (неопределённость)

Основная причина, по которой выражение $0^0$ считают «лишённым смысла» или, более корректно, неопределённостью, связана с поведением функции $f(x, y) = x^y$ вблизи точки $(0, 0)$. Результат вычисления предела этой функции зависит от траектории приближения к нулю.

С одной стороны, если зафиксировать показатель степени $y=0$ и устремить основание $x$ к нулю, мы получим предел, равный единице, так как любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $$ \lim_{x \to 0} x^0 = 1 $$ С другой стороны, если зафиксировать основание $x=0$ и устремить к нулю положительный показатель степени $y$, мы получим предел, равный нулю, так как ноль в любой положительной степени — это ноль: $$ \lim_{y \to 0^+} 0^y = 0 $$ Поскольку при движении к точке $(0, 0)$ по разным путям мы получаем разные предельные значения (1 и 0), это означает, что единого, однозначно определённого предела для функции $x^y$ в этой точке не существует. В математическом анализе такая ситуация называется неопределённостью.

Ответ: В математическом анализе запись $0^0$ считается неопределённостью, потому что предел функции $f(x,y)=x^y$ в точке $(0,0)$ не существует — его значение зависит от способа приближения к этой точке, что делает невозможным присвоение выражению одного конкретного значения.

Аргумент из алгебры и комбинаторики (соглашение)

Несмотря на неопределённость в анализе, во многих других областях математики, где не работают с пределами в данном контексте, очень удобно и логично принять по соглашению (конвенции), что $0^0 = 1$. Это позволяет сохранить простоту и общность многих важных формул и определений.

В комбинаторике: выражение $a^b$ можно трактовать как количество функций, отображающих множество из $b$ элементов в множество из $a$ элементов. Тогда $0^0$ — это количество функций из пустого множества в пустое множество. Существует ровно одна такая функция — пустая функция, поэтому с этой точки зрения $0^0 = 1$.
В алгебре: соглашение $0^0 = 1$ необходимо для корректной работы таких фундаментальных конструкций, как степенные ряды и бином Ньютона. Например, степенной ряд $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n$ при $x=0$ должен давать значение $f(0) = c_0$. Это возможно, только если первый член ряда $c_0 x^0$ при $x=0$ равен $c_0 \cdot 0^0 = c_0 \cdot 1 = c_0$. Аналогично, формула бинома Ньютона $(a+b)^n$ требует этого соглашения для корректности в крайних случаях.

Ответ: В алгебре, комбинаторике и теории множеств принято соглашение $0^0=1$, так как оно обеспечивает корректность и простоту важных формул (например, бинома Ньютона, степенных рядов) и имеет ясную комбинаторную интерпретацию.