Номер 1, страница 112, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 22. Сложение и вычитание одночленов. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 1 - номер 1, страница 112.

Условие.

1. Сформулируйте определение степени с нулевым показателем.

Решение 1.

Решение 8.

1. Степенью любого ненулевого числа с нулевым показателем называется число 1.

Это определение можно записать в виде формулы: $a^0 = 1$ при условии, что $a \neq 0$.

Обоснование определения

Это правило не является произвольным, а логически вытекает из свойства деления степеней с одинаковым основанием. Свойство гласит, что при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним:

$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$)

Рассмотрим частный случай, когда показатели $m$ и $n$ равны, то есть $m = n$.

С одной стороны, применяя вышеуказанное свойство, получаем:

$\frac{a^n}{a^n} = a^{n-n} = a^0$

С другой стороны, любое ненулевое число (или выражение), деленное само на себя, равно единице:

$\frac{a^n}{a^n} = 1$

Поскольку левые части обоих выражений одинаковы, мы можем приравнять их правые части:

$a^0 = 1$

Таким образом, для сохранения свойств степеней, степень любого ненулевого числа с показателем 0 должна быть равна 1.

Важное замечание о нуле в нулевой степени

Определение степени с нулевым показателем дается только для ненулевых оснований. Выражение $0^0$ (ноль в нулевой степени) в рамках школьного курса алгебры считается неопределенным, то есть не имеющим определенного значения. Это связано с возникающим противоречием: с одной стороны, $a^0 = 1$, а с другой — $0^n = 0$ для любого натурального $n$.

Примеры:

$7^0 = 1$

$(-25)^0 = 1$

$(\frac{3}{5})^0 = 1$

$(\sqrt{2})^0 = 1$

Ответ: Степень числа $a$, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице. Формулой это записывается так: $a^0 = 1$ для любого $a \neq 0$.