Страница 108, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

23.3 Во всех школах микрорайона была проведена проверочная работа по теме «Степень с натуральным показателем и её свойства». Работу по болезни не писали 20 семиклассников. Вот итоги работы:

a) Какой процент составляют школьники, пропустившие эту контрольную?

б) Найдите общее количество семиклассников микрорайона.

в) Сколько школьников составляют 1% от общего числа семиклассников в этих школах?

г) Сколько всего семиклассников получили «4» или «5»?

а) Какой процент составляют школьники, пропустившие эту контрольную?

Общее количество учащихся принимается за 100%. Из таблицы известно, что суммарный процент семиклассников, получивших оценки «2», «3», «4» и «5», составляет:
$10\% + 20\% + 40\% + 25\% = 95\%$
Это означает, что 95% всех семиклассников писали проверочную работу.
Следовательно, процент школьников, пропустивших работу, равен разности между общим процентом и процентом писавших работу:
$100\% - 95\% = 5\%$
Ответ: 5%.

б) Найдите общее количество семиклассников микрорайона.

Из условия известно, что работу пропустили 20 семиклассников. Из пункта (а) мы выяснили, что это составляет 5% от общего числа семиклассников в микрорайоне.
Пусть $X$ — это общее количество семиклассников. Тогда можно составить пропорцию:
20 человек — 5%
$X$ человек — 100%
Решим эту пропорцию:
$X = \frac{20 \cdot 100}{5} = \frac{2000}{5} = 400$
Таким образом, общее количество семиклассников в микрорайоне составляет 400 человек.
Ответ: 400 семиклассников.

в) Сколько школьников составляют 1% от общего числа семиклассников в этих школах?

Мы знаем, что общее число семиклассников (100%) равно 400. Чтобы найти, сколько школьников составляет 1%, можно общее число разделить на 100:
$\frac{400}{100} = 4$
Также можно использовать данные из предыдущих пунктов: если 5% — это 20 школьников, то 1% — это в 5 раз меньше:
$\frac{20}{5} = 4$
Ответ: 4 школьника.

г) Сколько всего семиклассников получили «4» или «5»?

Из таблицы видно, что оценку «4» получили 40% семиклассников, а оценку «5» — 25%.
Найдем суммарный процент учащихся, получивших эти оценки:
$40\% + 25\% = 65\%$
Теперь найдем, сколько это человек от общего числа семиклассников, которое равно 400. Для этого вычислим 65% от 400:
$400 \cdot \frac{65}{100} = 4 \cdot 65 = 260$
Итак, 260 семиклассников получили оценку «4» или «5».
Ответ: 260 семиклассников.

23.4 а) Заполните таблицу распределения результатов из предыдущей задачи:

б) Каков размах этого измерения?

в) Укажите моду измерения. Сколько раз она встретилась?

г) Постройте круговую диаграмму по данным таблицы из пункта а).

Для решения задачи необходимо иметь данные из предыдущей задачи. Так как они не предоставлены, мы будем использовать гипотетический набор данных, который мог бы быть в предыдущей задаче. Предположим, что в классе из 20 учеников были получены следующие оценки (где «н» означает, что ученик не был на контрольной):

4, 5, 3, 4, 4, 2, 5, 3, 4, 5, 2, 4, 3, «н», 4, 5, 3, 4, 4, 5.

а) Заполните таблицу распределения результатов из предыдущей задачи:

На основе предоставленного выше ряда данных посчитаем, сколько раз встречается каждая оценка:

• Оценка «н»: 1 раз
• Оценка «2»: 2 раза
• Оценка «3»: 4 раза
• Оценка «4»: 8 раз
• Оценка «5»: 5 раз

Общее число учеников (результатов): $1 + 2 + 4 + 8 + 5 = 20$.

Заполненная таблица будет выглядеть следующим образом:

Ответ: В строке "Число получивших оценку" для оценок «н», «2», «3», «4», «5» стоят числа 1, 2, 4, 8, 5 соответственно. В ячейке "Всего" стоит число 20.

б) Каков размах этого измерения?

Размах измерения — это разность между наибольшим и наименьшим значениями в наборе данных. В данном случае мы рассматриваем только числовые оценки. Оценка «н» (неявка) не является числовым значением и в расчете не участвует.

Наибольшая оценка: 5.

Наименьшая оценка: 2.

Размах = Наибольшее значение - Наименьшее значение.

Размах = $5 - 2 = 3$.

Ответ: Размах этого измерения равен 3.

в) Укажите моду измерения. Сколько раз она встретилась?

Мода измерения — это значение, которое встречается в наборе данных чаще всего. По данным из таблицы в пункте а):

• Оценка «н» встретилась 1 раз.
• Оценка «2» встретилась 2 раза.
• Оценка «3» встретилась 4 раза.
• Оценка «4» встретилась 8 раз.
• Оценка «5» встретилась 5 раз.

Чаще всего встречается оценка «4».

Ответ: Мода измерения — оценка «4». Она встретилась 8 раз.

г) Постройте круговую диаграмму по данным таблицы из пункта а).

Для построения круговой диаграммы необходимо рассчитать, какую часть круга (в градусах) будет занимать каждый сектор, соответствующий определенной оценке. Полный круг составляет $360^\circ$. Общее число оценок — 20.

Формула для расчета угла сектора:

$Угол = \frac{\text{Частота оценки}}{\text{Общее число оценок}} \times 360^\circ$

Выполним расчеты для каждой оценки:

• Оценка «н»: $ \frac{1}{20} \times 360^\circ = 18^\circ $
• Оценка «2»: $ \frac{2}{20} \times 360^\circ = \frac{1}{10} \times 360^\circ = 36^\circ $
• Оценка «3»: $ \frac{4}{20} \times 360^\circ = \frac{1}{5} \times 360^\circ = 72^\circ $
• Оценка «4»: $ \frac{8}{20} \times 360^\circ = \frac{2}{5} \times 360^\circ = 144^\circ $
• Оценка «5»: $ \frac{5}{20} \times 360^\circ = \frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ $

Проверка: $18^\circ + 36^\circ + 72^\circ + 144^\circ + 90^\circ = 360^\circ$.

Ниже представлена круговая диаграмма с соответствующей легендой.

Ответ: Круговая диаграмма построена на основе расчетов углов для каждого сектора: «н» - $18^\circ$, «2» - $36^\circ$, «3» - $72^\circ$, «4» - $144^\circ$, «5» - $90^\circ$.

23.5 Среди следующих равенств есть верные, но могут быть и неверные:

$(a^5 : a^2)^3 = a^9$, $(b^3)^2 = b^5$, $(x^3 \cdot x^4)^5 = x^{35}$,
$(a^5 : a : a^2)^2 = a^4$, $(t^2)^5 : t = t^9$.

На карточке № 1 записывают одно из равенств, а на карточке № 2 — одно из оставшихся равенств.

а) Сколько существует способов такого выбора двух равенств?

б) В скольких случаях на обеих карточках будут верные равенства?

в) В скольких случаях на обеих карточках будут неверные равенства?

г) В скольких случаях основания степеней на обеих карточках совпадут между собой?

Для решения задачи сначала проанализируем каждое из пяти предложенных равенств, используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

1. $(a^5 : a^2)^3 = (a^{5-2})^3 = (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$. Равенство $a^9 = a^9$ верное. Основание степени — $a$.
2. $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$. Равенство $b^6 = b^5$ неверное (в общем случае). Основание степени — $b$.
3. $(x^3 \cdot x^4)^5 = (x^{3+4})^5 = (x^7)^5 = x^{7 \cdot 5} = x^{35}$. Равенство $x^{35} = x^{35}$ верное. Основание степени — $x$.
4. $(a^5 : a : a^2)^2 = (a^{5-1} : a^2)^2 = (a^4 : a^2)^2 = (a^{4-2})^2 = (a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$. Равенство $a^4 = a^4$ верное. Основание степени — $a$.
5. $(t^2)^5 : t = t^{2 \cdot 5} : t^1 = t^{10} : t^1 = t^{10-1} = t^9$. Равенство $t^9 = t^9$ верное. Основание степени — $t$.

Таким образом, у нас есть 4 верных равенства и 1 неверное.

а) Сколько существует способов такого выбора двух равенств?

Нам нужно выбрать 2 равенства из 5 и разместить их на двух пронумерованных карточках. Порядок выбора важен. Количество способов выбора первого равенства (на карточку № 1) равно 5. После этого для второй карточки останется 4 равенства. Общее число способов равно произведению вариантов:

$5 \cdot 4 = 20$

Это число размещений из 5 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20$.

Ответ: 20.

б) В скольких случаях на обеих карточках будут верные равенства?

Всего верных равенств — 4. Нам нужно выбрать 2 из них и разместить на двух карточках. Для карточки № 1 есть 4 варианта выбора (любое из верных равенств). Для карточки № 2 останется 3 варианта.

Число способов равно:

$4 \cdot 3 = 12$

Или, используя формулу размещений из 4 по 2:

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: 12.

в) В скольких случаях на обеих карточках будут неверные равенства?

Согласно нашему анализу, существует только одно неверное равенство: $(b^3)^2 = b^5$. Чтобы на обеих карточках были неверные равенства, необходимо выбрать два различных неверных равенства. Так как неверное равенство всего одно, это сделать невозможно.

Число таких случаев равно 0.

Ответ: 0.

г) В скольких случаях основания степеней на обеих карточках совпадут между собой?

Основания степеней в равенствах следующие: $a$, $b$, $x$, $a$, $t$.

Совпадающие основания есть только у равенств 1 и 4 (основание $a$). Следовательно, чтобы основания совпали, на карточках должны быть именно эти два равенства.

Существует два способа их размещения:

1. На карточке № 1 — равенство 1, на карточке № 2 — равенство 4.
2. На карточке № 1 — равенство 4, на карточке № 2 — равенство 1.

Таким образом, существует всего 2 таких способа.

Ответ: 2.