Страница 114, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

24.19 Измерения прямоугольного параллелепипеда относятся как 2 : 3 : 4, а его объём равен $648 \text{ дм}^3$. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда — это его длина a, ширина b и высота c. Согласно условию, их отношение равно 2:3:4. Введём коэффициент пропорциональности x, тогда измерения можно выразить следующим образом:
$a = 2x$
$b = 3x$
$c = 4x$

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. По условию, объём равен 648 дм³. Подставим выражения для измерений в формулу объёма и приравняем к заданному значению:

$(2x) \cdot (3x) \cdot (4x) = 648$

Решим полученное уравнение, чтобы найти значение x:
$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot x^3 = 648$
$24x^3 = 648$
$x^3 = \frac{648}{24}$
$x^3 = 27$
$x = \sqrt[3]{27}$
$x = 3$

Теперь, зная коэффициент пропорциональности $x = 3$, мы можем найти фактические значения измерений параллелепипеда:
Первое измерение: $a = 2x = 2 \cdot 3 = 6$ дм
Второе измерение: $b = 3x = 3 \cdot 3 = 9$ дм
Третье измерение: $c = 4x = 4 \cdot 3 = 12$ дм

Для проверки можно перемножить полученные измерения: $6 \cdot 9 \cdot 12 = 54 \cdot 12 = 648$ дм³, что соответствует условию задачи.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда равны 6 дм, 9 дм и 12 дм.

Выясните, являются ли данные одночлены подобными:

25.1 а) $3a$ и $4a$;

б) $19x^2$ и $35x^2$;

в) $3y^3$ и $3y^3$;

г) $m^n$ и $5m^n$.

Подобными называются одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть и могут отличаться только числовыми коэффициентами.

а) 3a и 4a

Рассмотрим одночлены $3a$ и $4a$. У первого одночлена коэффициент равен 3, буквенная часть — $a$. У второго одночлена коэффициент равен 4, буквенная часть — $a$. Так как буквенные части у них одинаковые, то эти одночлены являются подобными.

Ответ: да, являются подобными.

б) 19x² и 35x²

Рассмотрим одночлены $19x^2$ и $35x^2$. У первого одночлена коэффициент равен 19, буквенная часть — $x^2$. У второго одночлена коэффициент равен 35, буквенная часть — $x^2$. Поскольку их буквенные части совпадают, данные одночлены являются подобными.

Ответ: да, являются подобными.

в) 3y³ и 3y³

Рассмотрим одночлены $3y^3$ и $3y^3$. У этих одночленов одинаковые и коэффициенты (3), и буквенные части ($y^3$). Они полностью идентичны. Любые идентичные одночлены также являются подобными, так как их буквенные части совпадают.

Ответ: да, являются подобными.

г) mⁿ и 5mⁿ

Рассмотрим одночлены $m^n$ и $5m^n$. Первый одночлен $m^n$ можно представить как $1 \cdot m^n$, где коэффициент равен 1. Буквенная часть — $m^n$. У второго одночлена $5m^n$ коэффициент равен 5, а буквенная часть также $m^n$. Так как их буквенные части одинаковы, одночлены являются подобными.

Ответ: да, являются подобными.

25.2 а) $3a^2b^3c$ и $4a^2b^3c$;

б) $6x^2$ и $15x^5$;

в) $17,8c^3d^6$ и $3,01c^{12}d^4$;

г) $\frac{3}{13}r^3s^2t^5$ и $\frac{11}{18}r^3s^2t^5$.

а) Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) одночленов $3a^2b^3c$ и $4a^2b^3c$, необходимо найти НОД их числовых коэффициентов и НОД их буквенных частей. Коэффициенты данных одночленов — это 3 и 4. Так как числа 3 и 4 не имеют общих делителей кроме 1, они являются взаимно простыми, и их наибольший общий делитель равен 1: $\text{НОД}(3, 4) = 1$. Буквенные части обоих одночленов одинаковы: $a^2b^3c$. Для нахождения НОД буквенных частей нужно взять каждую переменную с наименьшим показателем степени. В данном случае все показатели степеней у соответствующих переменных совпадают: для $a$ это 2, для $b$ это 3, для $c$ это 1. Таким образом, НОД буквенных частей равен $a^2b^3c$. Общий НОД одночленов равен произведению НОД коэффициентов и НОД буквенных частей: $1 \cdot a^2b^3c = a^2b^3c$.
Ответ: $a^2b^3c$

б) Рассмотрим одночлены $6x^2$ и $15x^5$. Сначала найдём наибольший общий делитель их коэффициентов 6 и 15. Разложим числа на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$ и $15 = 3 \cdot 5$. Общим множителем является 3, следовательно, $\text{НОД}(6, 15) = 3$. Далее найдём НОД буквенных частей $x^2$ и $x^5$. Для этого берём переменную $x$ с наименьшим из показателей степеней 2 и 5. Наименьший показатель равен 2, поэтому НОД буквенных частей равен $x^2$. Перемножив НОД коэффициентов и НОД буквенных частей, получаем искомый НОД одночленов: $3x^2$.
Ответ: $3x^2$

в) Даны одночлены $17,8c^3d^6$ и $3,01c^{12}d^4$. Коэффициенты 17,8 и 3,01 не являются целыми числами. При нахождении НОД одночленов с нецелыми коэффициентами, как правило, находят НОД только для буквенной части, а НОД коэффициентов условно принимают за 1. Найдём НОД буквенных частей $c^3d^6$ и $c^{12}d^4$. Для переменной $c$ наименьший показатель степени — $\min(3, 12) = 3$. Для переменной $d$ наименьший показатель степени — $\min(6, 4) = 4$. Таким образом, НОД буквенных частей равен $c^3d^4$. Так как НОД коэффициентов равен 1, то НОД исходных одночленов равен $c^3d^4$.
Ответ: $c^3d^4$

г) Даны одночлены $\frac{3}{13}r^3s^2t^5$ и $\frac{11}{18}r^3s^2t^5$. Коэффициенты $\frac{3}{13}$ и $\frac{11}{18}$ являются дробными. Как и в предыдущем случае, для нахождения НОД таких одночленов принято считать НОД коэффициентов равным 1 и находить НОД только для буквенной части. Буквенные части обоих одночленов полностью совпадают: $r^3s^2t^5$. Показатели степеней для каждой переменной ($r, s, t$) в обоих одночленах равны, поэтому НОД буквенных частей будет равен этой же части: $r^3s^2t^5$. Умножая на НОД коэффициентов (который мы приняли за 1), получаем итоговый результат.
Ответ: $r^3s^2t^5$

25.3 а) $7a^2$ и $3a^3$;

б) $\frac{2}{7}x^3y^4z$ и $\frac{9}{10}x^3y^4z$;

в) $-0,2m^2n^4p^8$ и $-0,38m^2p^8n^4$;

г) $\frac{1}{2}y^2z$ и $\frac{1}{3}yz^2$.

а) Подобными называются одночлены, у которых одинаковая буквенная часть. В данном случае рассматриваются одночлены $7a^2$ и $3a^3$. Буквенная часть первого одночлена — $a^2$, а второго — $a^3$. Так как степени переменной $a$ различны ($2 \neq 3$), буквенные части не совпадают. Следовательно, данные одночлены не являются подобными.
Ответ: одночлены не являются подобными.

б) Рассматриваются одночлены $\frac{2}{7}x^3y^4z$ и $\frac{9}{10}x^3y^4z$. Буквенная часть у обоих одночленов — $x^3y^4z$. Поскольку буквенные части полностью совпадают, данные одночлены являются подобными. Их можно сложить, для этого нужно сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть:$ (\frac{2}{7} + \frac{9}{10})x^3y^4z = (\frac{2 \cdot 10}{70} + \frac{9 \cdot 7}{70})x^3y^4z = (\frac{20 + 63}{70})x^3y^4z = \frac{83}{70}x^3y^4z $.
Ответ: одночлены являются подобными.

в) Рассматриваются одночлены $-0,2m^2n^4p^8$ и $-0,38m^2p^8n^4$. Для удобства сравнения приведем второй одночлен к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке: $-0,38m^2p^8n^4 = -0,38m^2n^4p^8$. Теперь видно, что буквенная часть обоих одночленов одинакова и равна $m^2n^4p^8$. Следовательно, одночлены являются подобными. Найдем их сумму, сложив коэффициенты:$ (-0,2 + (-0,38))m^2n^4p^8 = (-0,2 - 0,38)m^2n^4p^8 = -0,58m^2n^4p^8 $.
Ответ: одночлены являются подобными.

г) Рассматриваются одночлены $\frac{1}{2}y^2z$ и $\frac{1}{3}yz^2$. Буквенная часть первого одночлена — $y^2z$ (переменная $y$ во второй степени, а $z$ — в первой). Буквенная часть второго одночлена — $yz^2$ (переменная $y$ в первой степени, а $z$ — во второй). Так как степени у соответствующих переменных не совпадают, буквенные части этих одночленов различны. Следовательно, данные одночлены не являются подобными.
Ответ: одночлены не являются подобными.

25.4 Вместо символа * поставьте одночлен, подобный данному и такой, коэффициент которого в 3 раза больше, чем у данного одночлена:

a) $1,7x^2y^6$ и *;

б) * и $3,6a^2b^2c^9$;

в) $c^3d^{12}z^5$ и *;

г) $\frac{1}{3}m^2n^8p^{14}$ и *.

а) По условию задачи, нужно найти одночлен, подобный данному, с коэффициентом в 3 раза больше. Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть. Данный одночлен: $1,7x^2y^6$. Его буквенная часть — $x^2y^6$, а коэффициент — $1,7$. Найдем новый коэффициент, умножив данный на 3: $1,7 \cdot 3 = 5,1$. Искомый одночлен будет иметь ту же буквенную часть и новый коэффициент.
Ответ: $5,1x^2y^6$.

б) Данный одночлен: $3,6a^2b^2c^9$. Его буквенная часть — $a^2b^2c^9$, а коэффициент — $3,6$. Найдем новый коэффициент, который в 3 раза больше: $3,6 \cdot 3 = 10,8$. Искомый одночлен, подобный данному, будет иметь ту же буквенную часть и новый коэффициент.
Ответ: $10,8a^2b^2c^9$.

в) Данный одночлен: $c^3d^{12}z^5$. Его буквенная часть — $c^3d^{12}z^5$. Если коэффициент в одночлене не указан явно, он считается равным 1. Найдем новый коэффициент, умножив данный на 3: $1 \cdot 3 = 3$. Составляем искомый одночлен.
Ответ: $3c^3d^{12}z^5$.

г) Данный одночлен: $\frac{1}{3}m^2n^8p^{14}$. Его буквенная часть — $m^2n^8p^{14}$, а коэффициент — $\frac{1}{3}$. Найдем новый коэффициент, который в 3 раза больше: $\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$. Искомый одночлен: $1 \cdot m^2n^8p^{14}$. Если коэффициент равен 1, его принято не писать.
Ответ: $m^2n^8p^{14}$.

25.5 Среди данных одночленов найдите подобные:

а) $3x^2y$; $7x^2y$; $10xy^2$; $0,25x^2y$;

б) $12a^2b^2$; $5a^2b^2$; $1,2a^2b^3$; $2,04a^2b^2$;

в) $9c^5b^{12}$; $0,1c^5d^{12}$; $c^5d^{12}$; $c^3d^7$;

г) $\frac{1}{2}m^7n^{10}$; $\frac{1}{7}m^{11}n^{15}$; $-\frac{3}{8}m^{11}n^{15}$.

Подобные одночлены – это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть (произведение переменных в одинаковых степенях) и могут отличаться только коэффициентами. Для нахождения подобных одночленов в каждом пункте необходимо сравнить их буквенные части.

а) Даны одночлены: $3x^2y$; $7x^2y$; $10xy^2$; $0,25x^2y$.

Сравним их буквенные части. У одночленов $3x^2y$, $7x^2y$ и $0,25x^2y$ буквенная часть одинакова и равна $x^2y$. У одночлена $10xy^2$ буквенная часть другая — $xy^2$. Следовательно, подобные одночлены — это те, у которых буквенная часть $x^2y$.

Ответ: $3x^2y$, $7x^2y$, $0,25x^2y$.

б) Даны одночлены: $12a^2b^2$; $5a^2b^2$; $1,2a^2b^3$; $2,04a^2b^2$.

Сравним их буквенные части. У одночленов $12a^2b^2$, $5a^2b^2$ и $2,04a^2b^2$ буквенная часть одинакова и равна $a^2b^2$. У одночлена $1,2a^2b^3$ буквенная часть другая — $a^2b^3$. Таким образом, подобные одночлены в этой группе — это $12a^2b^2$, $5a^2b^2$ и $2,04a^2b^2$.

Ответ: $12a^2b^2$, $5a^2b^2$, $2,04a^2b^2$.

в) Даны одночлены: $9c^5b^{12}$; $0,1c^5d^{12}$; $c^5d^{12}$; $c^3d^7$.

Сравним их буквенные части. Буквенная часть одночлена $9c^5b^{12}$ — это $c^5b^{12}$. У одночленов $0,1c^5d^{12}$ и $c^5d^{12}$ буквенная часть одинакова и равна $c^5d^{12}$ (у одночлена $c^5d^{12}$ коэффициент равен 1). У одночлена $c^3d^7$ буквенная часть — $c^3d^7$. Подобными являются только одночлены с одинаковой буквенной частью $c^5d^{12}$.

Ответ: $0,1c^5d^{12}$, $c^5d^{12}$.

г) Даны одночлены: $\frac{1}{2}m^7n^{10}$; $\frac{1}{7}m^{11}n^{15}$; $-\frac{3}{8}m^{11}n^{15}$.

Сравним их буквенные части. У одночленов $\frac{1}{7}m^{11}n^{15}$ и $-\frac{3}{8}m^{11}n^{15}$ буквенная часть одинакова и равна $m^{11}n^{15}$. У одночлена $\frac{1}{2}m^7n^{10}$ буквенная часть другая — $m^7n^{10}$. Значит, подобными являются два последних одночлена.

Ответ: $\frac{1}{7}m^{11}n^{15}$, $-\frac{3}{8}m^{11}n^{15}$.