Страница 110, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Закончите предложение: «Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями ...».

1. Чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, нужно перемножить их основания, а показатель степени оставить без изменения.

Это является одним из ключевых свойств степеней. Правило гласит, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем, основание которой равно произведению оснований исходных степеней.

В общем виде это свойство записывается с помощью следующей формулы:

$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

где a и b являются основаниями степеней, а n — их общим показателем.

Пример:

Требуется найти значение выражения $4^3 \cdot 5^3$.

В данном случае основаниями являются числа 4 и 5, а общий показатель степени равен 3. Используя правило, мы перемножаем основания и возводим результат в общую степень:

$4^3 \cdot 5^3 = (4 \cdot 5)^3 = 20^3$

Теперь вычислим результат:

$20^3 = 20 \cdot 20 \cdot 20 = 8000$

Можно проверить это, вычислив каждую степень по отдельности:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$

$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

$64 \cdot 125 = 8000$

Как видно, результаты совпадают, что подтверждает правильность правила.

Ответ: ...нужно перемножить их основания, а показатель степени оставить без изменения.

2. Закончите предложение: «Чтобы разделить друг на друга степени с одинаковыми показателями ...».

Данный вопрос касается одного из свойств степеней, а именно деления степеней с одинаковыми показателями. Правило гласит: чтобы разделить одну степень на другую с таким же показателем, нужно разделить основание первой степени (делимого) на основание второй степени (делителя), а показатель степени оставить без изменений.

В виде математической формулы это правило выглядит следующим образом:

$ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $

Важным условием является то, что основание делителя $b$ не должно быть равно нулю, то есть $b \neq 0$.

Рассмотрим применение этого правила на конкретном примере. Вычислим значение выражения $20^5 : 10^5$.

1. Согласно правилу, разделим основания степеней: $20 : 10 = 2$.

2. Полученный результат возведем в исходную степень, то есть в 5-ю: $2^5$.

3. Вычислим конечный результат: $2^5 = 32$.

Таким образом, $20^5 : 10^5 = (20:10)^5 = 2^5 = 32$.

Для проверки можно вычислить значения степеней по отдельности и затем разделить их:

$ 20^5 = 3\ 200\ 000 $

$ 10^5 = 100\ 000 $

$ 3\ 200\ 000 : 100\ 000 = 32 $

Результаты совпадают, что подтверждает верность правила.

Следовательно, чтобы закончить предложение из задания, нужно сформулировать это правило в словесной форме.

Ответ: нужно разделить их основания, а показатель степени оставить без изменения.

3. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1 и 2 правил на математическом языке.

Поскольку в условии задачи не указано, какие именно правила были сформулированы в пунктах 1 и 2, приведем решение для одного из наиболее вероятных вариантов — распределительного свойства умножения, так как его часто проходят в виде двух отдельных правил для сложения и вычитания.

п. 1

Предполагаемое правило: Распределительное свойство умножения относительно сложения. Словесная формулировка: чтобы умножить число на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

На математическом языке это правило для любых чисел $a$, $b$ и $c$ записывается в виде тождества:

$a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

Свойство также справедливо, если множитель стоит после скобки: $(b + c) \cdot a = b \cdot a + c \cdot a$.

Ответ: $a(b + c) = ab + ac$.

п. 2

Предполагаемое правило: Распределительное свойство умножения относительно вычитания. Словесная формулировка: чтобы умножить число на разность двух чисел, можно умножить это число на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе.

На математическом языке это правило для любых чисел $a$, $b$ и $c$ записывается в виде тождества:

$a \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c$

Свойство также справедливо, если множитель стоит после скобки: $(b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a$.

Ответ: $a(b - c) = ab - ac$.

4. Верно ли, что $3^5 \cdot 4^5 = 12^5$? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней.

Да, данное равенство является верным.

Для проверки этого утверждения необходимо сослаться на свойство умножения степеней с одинаковыми показателями. Это свойство формулируется следующим образом: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем и основанием, равным произведению оснований исходных степеней.

В виде формулы это свойство выглядит так: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

Применим это свойство к левой части заданного равенства $3^5 \cdot 4^5$. В данном случае основаниями являются числа $a=3$ и $b=4$, а общим показателем степени является $n=5$.

$3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5$

Таким образом, мы преобразовали левую часть равенства и получили выражение, в точности совпадающее с правой частью. Следовательно, исходное равенство верно.

Ответ: да, равенство верно, так как оно является частным случаем свойства умножения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (ab)^n$.

5. Верно ли, что $\frac{3^5}{4^5} = (\frac{3}{4})^5$? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней.

Да, представленное равенство $\frac{3^5}{4^5} = \left(\frac{3}{4}\right)^5$ является верным.

Это равенство является прямым следствием свойства степени частного (или, что то же самое, свойства деления степеней с одинаковыми показателями). Это свойство гласит, что частное двух степеней с одинаковыми показателями равно частному их оснований, возведенному в тот же показатель.

В общем виде это свойство записывается следующей формулой:

$\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$, где $b \neq 0$.

Это свойство также можно прочитать в обратном порядке: чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.

В данном конкретном случае мы имеем:

• основание числителя $a = 3$
• основание знаменателя $b = 4$
• показатель степени $n = 5$

Применяя указанное выше свойство к этим значениям, мы получаем тождество, которое и было представлено в вопросе:

$\frac{3^5}{4^5} = \left(\frac{3}{4}\right)^5$

Таким образом, равенство верно.

Ответ: Да, равенство верно. Оно следует из свойства деления степеней с одинаковыми показателями, которое в общем виде записывается как $\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n$ (при $b \neq 0$).

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №4

Вариант 2

1 Найдите значение выражения и запишите ответ в виде десятичной дроби:

$\frac{\left(4\frac{1}{2}\right)^3 \cdot 1,8^2}{\left(1\frac{4}{5}\right)^3}$

Для нахождения значения выражения первым делом преобразуем все смешанные и десятичные дроби в неправильные дроби.

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$

$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$

$1\frac{4}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 4}{5} = \frac{9}{5}$

Теперь подставим полученные значения обратно в исходное выражение:

$\frac{\left(\frac{9}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{9}{5}\right)^2}{\left(\frac{9}{5}\right)^3}$

Воспользуемся свойством степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ для того, чтобы упростить дробь с основанием $\frac{9}{5}$:

$\frac{\left(\frac{9}{5}\right)^2}{\left(\frac{9}{5}\right)^3} = \left(\frac{9}{5}\right)^{2-3} = \left(\frac{9}{5}\right)^{-1} = \frac{5}{9}$

Таким образом, всё выражение упрощается до следующего вида:

$\left(\frac{9}{2}\right)^3 \cdot \frac{5}{9}$

Теперь выполним вычисления. Раскроем скобки и сократим дробь:

$\frac{9^3}{2^3} \cdot \frac{5}{9} = \frac{9^3 \cdot 5}{2^3 \cdot 9} = \frac{9^2 \cdot 5}{2^3} = \frac{81 \cdot 5}{8} = \frac{405}{8}$

На последнем шаге переведем полученную неправильную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:

$\frac{405}{8} = 50,625$

Ответ: 50,625

2 Вычислите:

$\frac{\left(\frac{12}{25}\right)^3 \cdot \left(-1\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-1\frac{1}{5}\right)^2}$

Для решения данного примера выполним следующие действия по шагам.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. Это первый шаг к упрощению выражения.

$$ -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3} $$

$$ -1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5} $$

2. Подставим полученные неправильные дроби в исходное выражение:

$$ \frac{(\frac{12}{25})^3 \cdot (-\frac{5}{3})^2}{(-\frac{6}{5})^2} $$

3. Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) дает положительный результат. Поэтому мы можем убрать знаки минуса:

$$ (-\frac{5}{3})^2 = (\frac{5}{3})^2 \quad \text{и} \quad (-\frac{6}{5})^2 = (\frac{6}{5})^2 $$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{(\frac{12}{25})^3 \cdot (\frac{5}{3})^2}{(\frac{6}{5})^2} $$

4. Для удобства вычислений можно переписать выражение, используя свойство степеней $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $:

$$ \left(\frac{12}{25}\right)^3 \cdot \left(\frac{\frac{5}{3}}{\frac{6}{5}}\right)^2 $$

Упростим частное дробей в скобках. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь:

$$ \frac{5}{3} \div \frac{6}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{18} $$

5. Теперь подставим упрощенную дробь обратно в выражение:

$$ \left(\frac{12}{25}\right)^3 \cdot \left(\frac{25}{18}\right)^2 $$

6. Раскроем скобки, возведя числитель и знаменатель каждой дроби в соответствующую степень:

$$ \frac{12^3}{25^3} \cdot \frac{25^2}{18^2} $$

7. Сократим степени с одинаковым основанием $25$:

$$ \frac{12^3}{25^{3-2} \cdot 18^2} = \frac{12^3}{25 \cdot 18^2} $$

8. Представим степени как произведения чисел и выполним сокращение:

$$ \frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{25 \cdot 18 \cdot 18} $$

Сокращаем пары чисел $12$ и $18$ на их наибольший общий делитель $6$ ($12=2 \cdot 6$, $18=3 \cdot 6$):

$$ \frac{12 \cdot (2 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 6)}{25 \cdot (3 \cdot 6) \cdot (3 \cdot 6)} = \frac{12 \cdot 2 \cdot 2}{25 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 9} $$

Теперь сократим $12$ и $9$ на их общий делитель $3$ ($12=4 \cdot 3$, $9=3 \cdot 3$):

$$ \frac{(4 \cdot 3) \cdot 4}{25 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 3} $$

9. Вычислим конечный результат:

$$ \frac{16}{75} $$

Ответ: $ \frac{16}{75} $.

3 Представьте число 50625 в виде произведения степеней простых чисел.

Чтобы представить число 50625 в виде произведения степеней простых чисел, необходимо разложить его на простые множители. Это делается путем последовательного деления числа на наименьшие возможные простые делители до тех пор, пока в результате не получится 1.

1. Сначала проверим делимость на наименьшее простое число, 2. Число 50625 — нечетное, поэтому на 2 не делится.

2. Проверим делимость на следующее простое число, 3. Признак делимости на 3 — сумма цифр числа должна делиться на 3. Сумма цифр числа 50625 равна $5+0+6+2+5=18$. Поскольку 18 делится на 3, то и 50625 делится на 3. Будем делить на 3, пока это возможно:
$50625 \div 3 = 16875$
Сумма цифр числа 16875 равна $1+6+8+7+5=27$. 27 делится на 3.
$16875 \div 3 = 5625$
Сумма цифр числа 5625 равна $5+6+2+5=18$. 18 делится на 3.
$5625 \div 3 = 1875$
Сумма цифр числа 1875 равна $1+8+7+5=21$. 21 делится на 3.
$1875 \div 3 = 625$

3. Теперь у нас число 625. Сумма его цифр $6+2+5=13$. 13 не делится на 3, значит, 625 на 3 не делится. Проверяем следующее простое число — 5. Признак делимости на 5 — число оканчивается на 0 или 5. Число 625 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5. Будем делить на 5, пока это возможно:
$625 \div 5 = 125$
$125 \div 5 = 25$
$25 \div 5 = 5$
$5 \div 5 = 1$

Процесс разложения на множители завершен. Мы получили следующие простые множители: четыре раза число 3 и четыре раза число 5.

Теперь запишем число 50625 в виде произведения этих множителей: $50625 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5$

Сгруппируем одинаковые множители и запишем их в виде степеней: $50625 = 3^4 \cdot 5^4$

Ответ: $50625 = 3^4 \cdot 5^4$

4 Расположите числа в порядке возрастания: $(-2,4)^3$; $-(\frac{7}{9})^2$; $(-\frac{3}{4})^3$; $2,3^3$.

Для того чтобы расположить числа в порядке возрастания, необходимо вычислить значение каждого выражения и затем сравнить полученные результаты.

$(-2,4)^3$

Основание степени является отрицательным числом, а показатель степени (3) — нечетным. Следовательно, результат будет отрицательным.

$(-2,4)^3 = (-2,4) \cdot (-2,4) \cdot (-2,4) = 5,76 \cdot (-2,4) = -13,824$.

$-\left(\frac{7}{9}\right)^2$

Сначала возводим в квадрат дробь в скобках. Результат возведения в квадрат всегда положителен. Затем применяем знак "минус", который стоит перед скобками.

$-\left(\frac{7}{9}\right)^2 = - \frac{7^2}{9^2} = -\frac{49}{81}$.

$\left(-\frac{3}{4}\right)^3$

Основание степени — отрицательное число, а показатель степени (3) — нечетное, поэтому результат будет отрицательным.

$\left(-\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{(-3)^3}{4^3} = -\frac{27}{64}$.

$2,3^3$

Основание степени — положительное число, поэтому результат будет положительным.

$2,3^3 = 2,3 \cdot 2,3 \cdot 2,3 = 5,29 \cdot 2,3 = 12,167$.

Теперь у нас есть четыре числа: $-13,824$; $-\frac{49}{81}$; $-\frac{27}{64}$; $12,167$.

Сравним эти числа. Три числа являются отрицательными и одно положительным. Положительное число всегда больше любого отрицательного, поэтому $2,3^3 = 12,167$ — самое большое число в ряду.

Теперь сравним отрицательные числа: $-13,824$; $-\frac{49}{81}$; $-\frac{27}{64}$.

Из отрицательных чисел наименьшим является то, у которого наибольший модуль. Число $-13,824$ имеет наибольший модуль, следовательно, это самое маленькое число.

Осталось сравнить $-\frac{49}{81}$ и $-\frac{27}{64}$. Для этого сравним их модули $\frac{49}{81}$ и $\frac{27}{64}$. Приведем дроби к общему знаменателю $81 \cdot 64 = 5184$:

$\frac{49}{81} = \frac{49 \cdot 64}{5184} = \frac{3136}{5184}$

$\frac{27}{64} = \frac{27 \cdot 81}{5184} = \frac{2187}{5184}$

Поскольку $3136 > 2187$, то $\frac{49}{81} > \frac{27}{64}$.

Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{49}{81} < -\frac{27}{64}$.

Таким образом, упорядоченная последовательность значений выглядит так: $-13,824$, затем $-\frac{49}{81}$, затем $-\frac{27}{64}$, и, наконец, $12,167$.

Запишем исходные выражения в этом порядке, чтобы получить окончательный ответ.

Ответ: $(-2,4)^3$; $-\left(\frac{7}{9}\right)^2$; $\left(-\frac{3}{4}\right)^3$; $2,3^3$.

5 Представьте $27m^9n^6$ в виде степени произведения.

Чтобы представить данное выражение $27m^9n^6$ в виде степени произведения, необходимо каждый его множитель представить в виде степени с одним и тем же показателем.

1. Рассмотрим числовой коэффициент 27. Его можно представить как третью степень числа 3:

$27 = 3^3$

2. Рассмотрим множитель $m^9$. Используя свойство степени $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$, мы можем представить $m^9$ как степень с показателем 3:

$m^9 = m^{3 \cdot 3} = (m^3)^3$

3. Аналогично поступим с множителем $n^6$:

$n^6 = n^{2 \cdot 3} = (n^2)^3$

Теперь, когда все множители представлены в виде степени с показателем 3, мы можем переписать исходное выражение:

$27m^9n^6 = 3^3 \cdot (m^3)^3 \cdot (n^2)^3$

Используя свойство степени произведения $(a \cdot b \cdot c)^k = a^k \cdot b^k \cdot c^k$ в обратном порядке, объединим все основания под общим показателем степени 3:

$3^3 (m^3)^3 (n^2)^3 = (3m^3n^2)^3$

Ответ: $(3m^3n^2)^3$

6 Вычислите наиболее рациональным способом:

$\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6}$

Для наиболее рационального вычисления данного выражения необходимо разложить основания степеней на простые множители и применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} $$

Сначала разберемся со знаками. Так как $(-3)^2 = 3^2$ (четная степень убирает минус), а множитель $(-25)$ отрицательный, итоговый результат будет отрицательным. Вынесем знак минус за дробь:

$$ -\frac{3^2 \cdot 15^3 \cdot 25}{5^4 \cdot 3^6} $$

Теперь представим числа 15 и 25 в виде произведения простых множителей:

$15 = 3 \cdot 5$

$25 = 5^2$

Подставим эти значения в выражение:

$$ -\frac{3^2 \cdot (3 \cdot 5)^3 \cdot 5^2}{5^4 \cdot 3^6} $$

Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки в числителе:

$$ -\frac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 5^2}{5^4 \cdot 3^6} $$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$$ -\frac{3^{2+3} \cdot 5^{3+2}}{5^4 \cdot 3^6} = -\frac{3^5 \cdot 5^5}{5^4 \cdot 3^6} $$

Теперь сократим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ -(3^{5-6} \cdot 5^{5-4}) = -(3^{-1} \cdot 5^1) $$

Учитывая, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем конечный результат:

$$ -(\frac{1}{3} \cdot 5) = -\frac{5}{3} $$

Ответ: $-\frac{5}{3}$

7 Решите уравнение

$\frac{(x^3)^2 \cdot x^7}{x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4} = 25.$

Решение:

Для решения данного уравнения необходимо сначала упростить левую часть, используя свойства степеней. Прежде всего, отметим, что знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x \neq 0$.

Исходное уравнение: $$ \frac{(x^3)^2 \cdot x^7}{x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4} = 25 $$

1. Упростим числитель дроби. Применим правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$ (x^3)^2 \cdot x^7 = x^{3 \cdot 2} \cdot x^7 = x^6 \cdot x^7 = x^{6+7} = x^{13} $$

2. Упростим знаменатель дроби, используя те же правила: $$ x^2 \cdot (x^2)^3 \cdot x^4 = x^2 \cdot x^{2 \cdot 3} \cdot x^4 = x^2 \cdot x^6 \cdot x^4 = x^{2+6+4} = x^{12} $$

3. Подставим упрощенные выражения обратно в уравнение: $$ \frac{x^{13}}{x^{12}} = 25 $$

4. Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$ x^{13-12} = 25 $$ $$ x^1 = 25 $$ $$ x = 25 $$

Найденный корень $x=25$ не равен нулю, следовательно, он удовлетворяет области допустимых значений.

Ответ: $25$

8 Вместо символа * поставьте степень с основанием b так, чтобы выпольнялось верное равенство

$\frac{(-b^2)^3 \cdot b^2 \cdot b^4}{*} = -b^9$

Для решения задачи необходимо найти такое выражение с основанием b, при подстановке которого вместо символа * равенство станет верным. Обозначим искомое выражение за X.

Исходное равенство:

$ \frac{(-b^2)^3 \cdot b^2 \cdot b^4}{X} = -b^9 $

1. Сначала упростим выражение в числителе дроби, используя свойства степеней.

Возведем в степень первый множитель $ (-b^2)^3 $. При возведении степени в степень показатели перемножаются ($ (a^m)^n = a^{mn} $), а так как степень нечетная (3), знак "минус" сохраняется:

$ (-b^2)^3 = -b^{2 \cdot 3} = -b^6 $

Теперь перемножим все степени в числителе, используя правило сложения показателей при умножении степеней с одинаковым основанием ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $):

$ -b^6 \cdot b^2 \cdot b^4 = -b^{6+2+4} = -b^{12} $

2. Подставим упрощенный числитель обратно в уравнение:

$ \frac{-b^{12}}{X} = -b^9 $

3. Выразим X из этого уравнения. Чтобы найти неизвестный делитель, нужно делимое разделить на частное:

$ X = \frac{-b^{12}}{-b^9} $

При делении отрицательного выражения на отрицательное результат будет положительным. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):

$ X = b^{12-9} = b^3 $

Таким образом, вместо символа * нужно подставить степень $ b^3 $.

Проверим правильность решения:

$ \frac{-b^{12}}{b^3} = -b^{12-3} = -b^9 $

Равенство $ -b^9 = -b^9 $ верно.

Ответ: $b^3$

9 При каком значении $x$ верно равенство $2^{4-5x} = 512$?

Для решения данного показательного уравнения $2^{4-5x} = 512$ необходимо привести обе части уравнения к одному и тому же основанию.

Левая часть уравнения уже представлена в виде степени с основанием 2. Представим правую часть, число 512, также в виде степени с основанием 2.
Мы знаем, что $2^9 = 512$.

Теперь исходное уравнение можно переписать в следующем виде:
$2^{4-5x} = 2^9$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$4 - 5x = 9$

Теперь решим полученное линейное уравнение. Перенесем 4 из левой части в правую, изменив знак:
$-5x = 9 - 4$
$-5x = 5$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -5:
$x = \frac{5}{-5}$
$x = -1$

Ответ: -1

10 Сколько всего значений принимает выражение $2^n \cdot 5^k$ при $n=0, 1, 2, 3, 4$ и $k=0, 1$?

Для нахождения общего количества значений, которое может принимать выражение $2^n \cdot 5^k$, необходимо определить количество уникальных комбинаций переменных $n$ и $k$ и убедиться, что каждая комбинация дает уникальный результат.

Согласно условию, переменная $n$ может принимать 5 различных значений из множества $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Переменная $k$ может принимать 2 различных значения из множества $\{0, 1\}$.

Общее количество возможных пар $(n, k)$ равно произведению числа вариантов для каждой переменной: $5 \text{ (вариантов для } n) \times 2 \text{ (варианта для } k) = 10 \text{ пар}$.

Теперь необходимо проверить, будут ли все значения, полученные для этих 10 пар, уникальными. Выражение $2^n \cdot 5^k$ представляет собой разложение числа на простые множители, где единственными простыми множителями являются 2 и 5.

В соответствии с основной теоремой арифметики, каждое натуральное число больше 1 имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители. Это означает, что если для двух различных пар $(n_1, k_1)$ и $(n_2, k_2)$ значения выражения совпадают, то есть $2^{n_1} \cdot 5^{k_1} = 2^{n_2} \cdot 5^{k_2}$, то из-за единственности разложения на простые множители должно следовать, что $n_1 = n_2$ и $k_1 = k_2$.

Таким образом, каждая из 10 различных пар $(n, k)$ будет давать уникальное значение. Следовательно, общее количество различных значений, которые принимает выражение, равно общему количеству пар.

Ответ: 10.