Страница 116, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Свойства степеней с целыми неотрицательными показателями.

Степенью числа a с целым неотрицательным показателем n называется выражение вида $a^n$, где a — это основание степени, а n — показатель степени. Целые неотрицательные показатели — это числа 0, 1, 2, 3, ...

Определение степени:

• Если $n > 1$, то степень $a^n$ — это произведение n множителей, каждый из которых равен a:
  $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$
• Если $n = 1$, то $a^1 = a$.
• Если $n = 0$ и $a \neq 0$, то $a^0 = 1$.

Основные свойства степеней с целыми неотрицательными показателями (для любых чисел a, b и целых неотрицательных m, n):

1. Умножение степеней с одинаковым основанием

При умножении степеней с одинаковым основанием их основание остается прежним, а показатели степеней складываются.

Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

Пример: $3^2 \cdot 3^3 = (3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 3 \cdot 3) = 3^5 = 243$. Используя свойство: $3^{2+3} = 3^5 = 243$.

Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Деление степеней с одинаковым основанием

При делении степеней с одинаковым основанием (при $a \neq 0$ и $m \ge n$) их основание остается прежним, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Пример: $\frac{5^4}{5^2} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5}{5 \cdot 5} = 5^2 = 25$. Используя свойство: $5^{4-2} = 5^2 = 25$.

Ответ: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ (при $a \neq 0$, $m \ge n$)

3. Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели перемножаются.

Формула: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Пример: $(2^3)^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2)^2 = 8^2 = 64$. Используя свойство: $2^{3 \cdot 2} = 2^6 = 64$.

Ответ: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

4. Возведение произведения в степень

Чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень и результаты перемножить.

Формула: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

Пример: $(2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$. Используя свойство: $2^3 \cdot 5^3 = 8 \cdot 125 = 1000$.

Ответ: $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$

5. Возведение дроби (частного) в степень

Чтобы возвести дробь в степень (при $b \neq 0$), нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель, и первый результат разделить на второй.

Формула: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Пример: $(\frac{6}{3})^4 = 2^4 = 16$. Используя свойство: $\frac{6^4}{3^4} = \frac{1296}{81} = 16$.

Ответ: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$ (при $b \neq 0$)

2. Таблицы распределения данных. Круговые диаграммы.

Таблицы распределения данных

Таблица распределения данных, также известная как частотная таблица, является основным инструментом в статистике для организации и суммирования набора данных. Она показывает, как часто каждое значение (или группа значений) встречается в выборке. Это позволяет наглядно увидеть структуру данных, выявить наиболее и наименее частые значения, а также подготовить данные для дальнейшего анализа и визуализации.

Основные компоненты таблицы распределения:
1. Категории или значения: Это уникальные значения или интервалы, на которые разбиты данные.
2. Частота (абсолютная частота): Количество раз, которое встречается каждая категория. Обозначается как $f$.
3. Относительная частота: Доля каждой категории в общем объеме данных. Рассчитывается как отношение частоты категории к общему числу наблюдений $n$. Формула: $f_{отн} = \frac{f}{n}$. Сумма всех относительных частот равна 1.
4. Процентная частота: Относительная частота, выраженная в процентах. Формула: $f_{\%} = f_{отн} \cdot 100\% = \frac{f}{n} \cdot 100\%$. Сумма всех процентных частот равна 100%.

Пример: Пусть имеются оценки 20 учеников по контрольной работе: 5, 4, 4, 3, 5, 2, 4, 5, 3, 4, 4, 5, 5, 3, 4, 2, 5, 4, 3, 4. Общее число наблюдений $n = 20$.
Составим таблицу распределения:

Ответ: Таблица распределения данных — это инструмент для систематизации и анализа набора данных, который показывает абсолютную и относительную частоту появления каждого значения или категории.

Круговые диаграммы

Круговая диаграмма (pie chart) — это тип диаграммы, который представляет собой круг, разделенный на секторы. Каждый сектор иллюстрирует долю или процентное соотношение определенной категории в общем объеме данных. Круговые диаграммы особенно полезны, когда нужно показать, как целое делится на части.

Для построения круговой диаграммы необходимо выполнить следующие шаги:
1. Иметь данные, представленные в виде частот или долей (процентов). Обычно для этого сначала составляется таблица распределения.
2. Полный круг составляет $360^\circ$. Чтобы найти угол каждого сектора, соответствующего определенной категории, нужно ее долю (относительную частоту) умножить на $360^\circ$.
3. Формула для расчета центрального угла сектора: $ \alpha = f_{отн} \cdot 360^\circ = \frac{f}{n} \cdot 360^\circ$.

Пример: Построим круговую диаграмму на основе данных об оценках учеников из предыдущего примера.
Расчет углов секторов:
- Оценка "2": $0.1 \cdot 360^\circ = 36^\circ$
- Оценка "3": $0.2 \cdot 360^\circ = 72^\circ$
- Оценка "4": $0.4 \cdot 360^\circ = 144^\circ$
- Оценка "5": $0.3 \cdot 360^\circ = 108^\circ$
Проверка: $36^\circ + 72^\circ + 144^\circ + 108^\circ = 360^\circ$.

Далее чертится круг и с помощью транспортира откладываются секторы с рассчитанными углами. Каждый сектор подписывается или окрашивается в свой цвет с соответствующей легендой.

Ответ: Круговая диаграмма — это графический способ представления структуры данных в виде круга, разделенного на секторы, где размер каждого сектора (его центральный угол и площадь) пропорционален доле соответствующей категории в общем объеме.

Упростите выражение:

25.16 а) $5x \cdot 2y + 3x \cdot 6y + 2x \cdot 7y;$

б) $3y^2x + 6x \cdot 3y \cdot 2y + 2yxy;$

в) $-11ab + a \cdot 8 \cdot b + 5ab;$

г) $ab^2 + 9abb + 3bab + abb.$

а) Чтобы упростить выражение $5x \cdot 2y + 3x \cdot 6y + 2x \cdot 7y$, сначала выполним умножение в каждом слагаемом. Это действие называется приведением одночленов к стандартному виду.
Первое слагаемое: $5x \cdot 2y = (5 \cdot 2) \cdot (x \cdot y) = 10xy$.
Второе слагаемое: $3x \cdot 6y = (3 \cdot 6) \cdot (x \cdot y) = 18xy$.
Третье слагаемое: $2x \cdot 7y = (2 \cdot 7) \cdot (x \cdot y) = 14xy$.
Теперь выражение имеет вид: $10xy + 18xy + 14xy$.
Все слагаемые являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $xy$. Сложим их коэффициенты:
$10 + 18 + 14 = 42$.
Таким образом, упрощенное выражение равно $42xy$.
Ответ: $42xy$

б) Упростим выражение $3y^2x + 6x \cdot 3y \cdot 2y + 2yxy$.
Приведем каждое слагаемое к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке.
Первое слагаемое: $3y^2x = 3xy^2$.
Второе слагаемое: $6x \cdot 3y \cdot 2y = (6 \cdot 3 \cdot 2) \cdot x \cdot (y \cdot y) = 36xy^2$.
Третье слагаемое: $2yxy = 2 \cdot x \cdot (y \cdot y) = 2xy^2$.
Получаем выражение: $3xy^2 + 36xy^2 + 2xy^2$.
Все слагаемые являются подобными с буквенной частью $xy^2$. Сложим их коэффициенты:
$3 + 36 + 2 = 41$.
Результат упрощения: $41xy^2$.
Ответ: $41xy^2$

в) Рассмотрим выражение $-11ab + a \cdot 8 \cdot b + 5ab$.
Упростим второе слагаемое: $a \cdot 8 \cdot b = 8ab$.
Выражение принимает вид: $-11ab + 8ab + 5ab$.
Все слагаемые подобны, так как имеют одинаковую буквенную часть $ab$. Сложим их коэффициенты:
$-11 + 8 + 5 = -3 + 5 = 2$.
Упрощенное выражение: $2ab$.
Ответ: $2ab$

г) Упростим выражение $ab^2 + 9abb + 3bab + abb$.
Приведем каждое слагаемое к стандартному виду.
Первое слагаемое уже в стандартном виде: $ab^2$. Его коэффициент равен 1.
Второе слагаемое: $9abb = 9a(b \cdot b) = 9ab^2$.
Третье слагаемое: $3bab = 3(b \cdot a \cdot b) = 3a(b \cdot b) = 3ab^2$ (используя переместительное свойство умножения).
Четвертое слагаемое: $abb = a(b \cdot b) = ab^2$. Его коэффициент равен 1.
Теперь сложим все подобные слагаемые: $ab^2 + 9ab^2 + 3ab^2 + ab^2$.
Складываем коэффициенты: $1 + 9 + 3 + 1 = 14$.
Итоговое выражение: $14ab^2$.
Ответ: $14ab^2$

25.17 a) $3a^2b + 7a \cdot 9ba + 10b \cdot 3a^2(-1);$

б) $x^2y^2 \cdot 7 + 19x \cdot 2xyy - 9x \cdot 3yxy;$

в) $az^3 + 7az^3 - 6z \cdot 2az^2 - 5az^3;$

г) $m^8n^4 + 2m^3 \cdot 3m^5n^4 - 7m^8n^4.$

а) $3a^2b + 7a \cdot 9ba + 10b \cdot 3a^2(-1)$

Для решения приведем все члены многочлена к стандартному виду. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных.

Первый член $3a^2b$ уже в стандартном виде.

Упростим второй член, перемножив числовые коэффициенты и сгруппировав переменные: $7a \cdot 9ba = (7 \cdot 9) \cdot (a \cdot a \cdot b) = 63a^2b$.

Упростим третий член: $10b \cdot 3a^2(-1) = (10 \cdot 3 \cdot (-1)) \cdot (a^2b) = -30a^2b$.

Теперь выражение выглядит так: $3a^2b + 63a^2b - 30a^2b$.

Все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2b$. Сложим их коэффициенты:

$(3 + 63 - 30)a^2b = 36a^2b$.

Ответ: $36a^2b$.

б) $x^2y^2 \cdot 7 + 19x \cdot 2xyy - 9x \cdot 3yxy$

Приведем каждый член выражения к стандартному виду.

Первый член: $x^2y^2 \cdot 7 = 7x^2y^2$.

Второй член: $19x \cdot 2xyy = (19 \cdot 2) \cdot (x \cdot x \cdot y \cdot y) = 38x^2y^2$.

Третий член: $-9x \cdot 3yxy = (-9 \cdot 3) \cdot (x \cdot x \cdot y \cdot y) = -27x^2y^2$.

Теперь выполним сложение и вычитание полученных подобных членов с одинаковой буквенной частью $x^2y^2$:

$7x^2y^2 + 38x^2y^2 - 27x^2y^2 = (7 + 38 - 27)x^2y^2 = (45 - 27)x^2y^2 = 18x^2y^2$.

Ответ: $18x^2y^2$.

в) $az^3 + 7az^3 - 6z \cdot 2az^2 - 5az^3$

Упростим члены выражения, которые не приведены к стандартному виду.

Третий член: $-6z \cdot 2az^2 = (-6 \cdot 2) \cdot (a \cdot z \cdot z^2) = -12a z^{1+2} = -12az^3$.

Теперь выражение имеет вид: $az^3 + 7az^3 - 12az^3 - 5az^3$.

Все члены являются подобными (буквенная часть $az^3$). Приведем подобные слагаемые, сложив их коэффициенты (учитывая, что коэффициент первого члена равен 1):

$(1 + 7 - 12 - 5)az^3 = (8 - 17)az^3 = -9az^3$.

Ответ: $-9az^3$.

г) $m^8n^4 + 2m^3 \cdot 3m^5n^4 - 7m^8n^4$

Упростим второй член выражения, перемножив коэффициенты и сложив степени одинаковых переменных по правилу $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.

$2m^3 \cdot 3m^5n^4 = (2 \cdot 3) \cdot (m^3 \cdot m^5 \cdot n^4) = 6m^{3+5}n^4 = 6m^8n^4$.

Подставим упрощенный член обратно в выражение:

$m^8n^4 + 6m^8n^4 - 7m^8n^4$.

Все члены являются подобными (буквенная часть $m^8n^4$). Сложим их коэффициенты:

$(1 + 6 - 7)m^8n^4 = 0 \cdot m^8n^4 = 0$.

Ответ: $0$.

Решите уравнение:

25.18 a) $0.5x + 0.4x = 9;$

б) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x = 5;$

в) $x - \frac{13}{18}x = \frac{1}{3};$

г) $20x - 13x - 12x = 0.6.$

а) $0,5x + 0,4x = 9$

Сначала сложим коэффициенты при переменной $x$ в левой части уравнения, чтобы упростить его:

$(0,5 + 0,4)x = 9$

$0,9x = 9$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $0,9$:

$x = \frac{9}{0,9}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{9 \cdot 10}{0,9 \cdot 10} = \frac{90}{9}$

$x = 10$

Ответ: $10$

б) $\frac{1}{3}x + \frac{1}{4}x - \frac{1}{12}x = 5$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки в левой части уравнения:

$(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{12})x = 5$

Чтобы выполнить действия с дробями в скобках, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 3, 4 и 12 это 12:

$(\frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{1}{12})x = 5$

$(\frac{4}{12} + \frac{3}{12} - \frac{1}{12})x = 5$

Теперь выполним сложение и вычитание в числителе:

$\frac{4+3-1}{12}x = 5$

$\frac{6}{12}x = 5$

Сократим дробь $\frac{6}{12}$ на 6:

$\frac{1}{2}x = 5$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 2:

$x = 5 \cdot 2$

$x = 10$

Ответ: $10$

в) $x - \frac{13}{18}x = \frac{1}{3}$

В левой части уравнения вынесем $x$ за скобки. Коэффициент при первом $x$ равен 1:

$(1 - \frac{13}{18})x = \frac{1}{3}$

Представим 1 в виде дроби со знаменателем 18, чтобы выполнить вычитание:

$(\frac{18}{18} - \frac{13}{18})x = \frac{1}{3}$

Выполним вычитание дробей в скобках:

$\frac{18-13}{18}x = \frac{1}{3}$

$\frac{5}{18}x = \frac{1}{3}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $\frac{5}{18}$. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь $\frac{18}{5}$:

$x = \frac{1}{3} \cdot \frac{18}{5}$

$x = \frac{1 \cdot 18}{3 \cdot 5} = \frac{18}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$x = \frac{6}{5}$

Эту дробь можно также записать в виде десятичной $1,2$ или смешанного числа $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

г) $20x - 13x - 12x = 0,6$

Упростим левую часть уравнения, приведя подобные слагаемые (выполнив действия с коэффициентами при $x$):

$(20 - 13 - 12)x = 0,6$

Выполним вычитание в скобках по порядку:

$(7 - 12)x = 0,6$

$-5x = 0,6$

Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на -5:

$x = \frac{0,6}{-5}$

$x = -0,12$

Ответ: $-0,12$

25.19 а) $0,71x - 13 = 9 - 0,39x$;

б) $1,2 + \frac{3}{10}x = \frac{8}{15}x + 0,78$;

в) $8x - 1,79 = 4,61 - 8x$;

г) $\frac{5}{12}x + 1,3 = 0,53 + \frac{7}{8}x$.

а) Исходное уравнение: $0,71x - 13 = 9 - 0,39x$.

Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены — в правую. Для этого прибавим $0,39x$ к обеим частям и прибавим $13$ к обеим частям:

$0,71x + 0,39x = 9 + 13$

Упростим обе части уравнения, выполнив сложение:

$1,1x = 22$

Теперь найдем $x$, разделив обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $1,1$:

$x = \frac{22}{1,1}$

Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{22 \cdot 10}{1,1 \cdot 10} = \frac{220}{11}$

$x = 20$

Ответ: $20$

б) Исходное уравнение: $1,2 + \frac{3}{10}x = \frac{8}{15}x + 0,78$.

В этом уравнении смешаны десятичные и обыкновенные дроби. Проще всего будет работать, если привести все к одному виду. Поскольку $\frac{8}{15}$ дает бесконечную периодическую дробь, удобнее преобразовать десятичные дроби в обыкновенные.

$1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

$0,78 = \frac{78}{100} = \frac{39}{50}$

Уравнение принимает вид: $\frac{6}{5} + \frac{3}{10}x = \frac{8}{15}x + \frac{39}{50}$.

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$\frac{6}{5} - \frac{39}{50} = \frac{8}{15}x - \frac{3}{10}x$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю. Для левой части общий знаменатель 50, для правой — 30.

$\frac{6 \cdot 10}{5 \cdot 10} - \frac{39}{50} = (\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3})x$

$\frac{60}{50} - \frac{39}{50} = (\frac{16}{30} - \frac{9}{30})x$

$\frac{21}{50} = \frac{7}{30}x$

Чтобы найти $x$, разделим $\frac{21}{50}$ на $\frac{7}{30}$:

$x = \frac{21}{50} \div \frac{7}{30} = \frac{21}{50} \cdot \frac{30}{7}$

Сократим дробь:

$x = \frac{21 \cdot 30}{50 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 10}{5 \cdot 10 \cdot 7} = \frac{3 \cdot 3}{5} = \frac{9}{5}$

Преобразуем результат в десятичную дробь:

$x = 1,8$

Ответ: $1,8$

в) Исходное уравнение: $8x - 1,79 = 4,61 - 8x$.

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую. Для этого прибавим $8x$ и $1,79$ к обеим частям:

$8x + 8x = 4,61 + 1,79$

Упростим обе части:

$16x = 6,4$

Разделим обе части на 16, чтобы найти $x$:

$x = \frac{6,4}{16}$

$x = 0,4$

Ответ: $0,4$

г) Исходное уравнение: $\frac{5}{12}x + 1,3 = 0,53 + \frac{7}{8}x$.

Снова преобразуем десятичные дроби в обыкновенные для удобства вычислений.

$1,3 = \frac{13}{10}$

$0,53 = \frac{53}{100}$

Уравнение принимает вид: $\frac{5}{12}x + \frac{13}{10} = \frac{53}{100} + \frac{7}{8}x$.

Перенесем слагаемые с переменной в одну сторону, а постоянные члены в другую. Чтобы коэффициент при $x$ был положительным, перенесем $x$ вправо, а числа влево (так как $\frac{7}{8} > \frac{5}{12}$):

$\frac{13}{10} - \frac{53}{100} = \frac{7}{8}x - \frac{5}{12}x$

Приведем дроби в каждой части к общему знаменателю. Для левой части общий знаменатель 100:

$\frac{13 \cdot 10}{10 \cdot 10} - \frac{53}{100} = \frac{130 - 53}{100} = \frac{77}{100}$

Для правой части общий знаменатель 24:

$(\frac{7 \cdot 3}{8 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2})x = (\frac{21 - 10}{24})x = \frac{11}{24}x$

Теперь уравнение выглядит так:

$\frac{77}{100} = \frac{11}{24}x$

Найдем $x$, разделив $\frac{77}{100}$ на $\frac{11}{24}$:

$x = \frac{77}{100} \div \frac{11}{24} = \frac{77}{100} \cdot \frac{24}{11}$

Сократим дробь:

$x = \frac{7 \cdot 11 \cdot 24}{100 \cdot 11} = \frac{7 \cdot 24}{100} = \frac{168}{100}$

Представим ответ в виде десятичной дроби:

$x = 1,68$

Ответ: $1,68$

25.20 а) $2x^3 + 3x^3 = 40;$

б) $9x^2 - 6x^2 = 192;$

в) $7x^3 - 5x^3 = -54;$

г) $x^8 + 7x^8 = -8.$

а) $2x^3 + 3x^3 = 40$

Сначала упростим левую часть уравнения, сложив подобные слагаемые (члены с одинаковой переменной в одинаковой степени):

$(2+3)x^3 = 40$

$5x^3 = 40$

Теперь разделим обе части уравнения на 5, чтобы найти $x^3$:

$x^3 = \frac{40}{5}$

$x^3 = 8$

Чтобы найти $x$, извлечем кубический корень из обеих частей уравнения:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $2$.

б) $9x^2 - 6x^2 = 192$

Упростим левую часть уравнения, вычтя подобные слагаемые:

$(9-6)x^2 = 192$

$3x^2 = 192$

Разделим обе части уравнения на 3, чтобы найти $x^2$:

$x^2 = \frac{192}{3}$

$x^2 = 64$

Чтобы найти $x$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что при извлечении квадратного корня из положительного числа получается два решения: положительное и отрицательное.

$x = \pm\sqrt{64}$

$x_1 = 8$, $x_2 = -8$

Ответ: $\pm 8$.

в) $7x^3 - 5x^3 = -54$

Упростим левую часть уравнения, вычтя подобные слагаемые:

$(7-5)x^3 = -54$

$2x^3 = -54$

Разделим обе части уравнения на 2:

$x^3 = \frac{-54}{2}$

$x^3 = -27$

Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. Кубический корень из отрицательного числа является отрицательным числом.

$x = \sqrt[3]{-27}$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

г) $x^8 + 7x^8 = -8$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1+7)x^8 = -8$

$8x^8 = -8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$x^8 = \frac{-8}{8}$

$x^8 = -1$

Переменная $x$ возведена в четную степень (8). Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат (то есть больше или равно нулю). Таким образом, $x^8 \ge 0$ для любого действительного $x$.

Уравнение $x^8 = -1$ не имеет решений в области действительных чисел, так как его левая часть всегда неотрицательна, а правая — отрицательна.

Ответ: нет действительных корней.

25.21 Сумма двух третей неизвестного числа и его половины на 7 больше самого неизвестного числа. Найдите это число.

25.21

Пусть неизвестное число равно $x$.

Тогда две трети этого числа можно записать как $\frac{2}{3}x$, а его половину — как $\frac{1}{2}x$.

Согласно условию, сумма этих двух частей на 7 больше самого неизвестного числа. На основе этого составим уравнение:

$\frac{2}{3}x + \frac{1}{2}x = x + 7$

Чтобы решить уравнение, сначала приведем дроби в левой части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 2 — это 6.

$\frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3}x = x + 7$

$\frac{4}{6}x + \frac{3}{6}x = x + 7$

Теперь сложим дроби в левой части уравнения:

$\frac{7}{6}x = x + 7$

Перенесем $x$ из правой части в левую, изменив знак:

$\frac{7}{6}x - x = 7$

Представим $x$ как дробь со знаменателем 6 ($x = \frac{6}{6}x$):

$\frac{7}{6}x - \frac{6}{6}x = 7$

$\frac{1}{6}x = 7$

Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на 6:

$x = 7 \cdot 6$

$x = 42$

Проведем проверку: найдем сумму двух третей и половины числа 42.
$\frac{2}{3} \cdot 42 + \frac{1}{2} \cdot 42 = 2 \cdot 14 + 21 = 28 + 21 = 49$.
Найдем само число, увеличенное на 7: $42 + 7 = 49$.
Так как $49 = 49$, решение найдено верно.

Ответ: 42

25.22 Сумма $\frac{1}{4}x$ и $\frac{1}{6}x$ на 5 меньше $\frac{1}{2}x$. Найдите это число.

25.22

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение. Пусть искомое неизвестное число — это $x$.

Согласно условию, нам нужно выразить его части:

• Одна четвёртая часть числа: $\frac{1}{4}x$ или $\frac{x}{4}$
• Одна шестая часть числа: $\frac{1}{6}x$ или $\frac{x}{6}$
• Половина числа: $\frac{1}{2}x$ или $\frac{x}{2}$

В условии сказано, что сумма одной четвёртой и одной шестой части на 5 меньше половины этого числа. Это можно записать в виде следующего уравнения:

$\frac{x}{4} + \frac{x}{6} = \frac{x}{2} - 5$

Теперь решим это уравнение. Для удобства избавимся от дробей, умножив обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (4, 6 и 2). Наименьшее общее кратное для этих чисел — 12.

$12 \cdot (\frac{x}{4} + \frac{x}{6}) = 12 \cdot (\frac{x}{2} - 5)$

$12 \cdot \frac{x}{4} + 12 \cdot \frac{x}{6} = 12 \cdot \frac{x}{2} - 12 \cdot 5$

Выполним умножение:

$3x + 2x = 6x - 60$

Упростим левую часть уравнения:

$5x = 6x - 60$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну сторону, а числа — в другую:

$60 = 6x - 5x$

$x = 60$

Таким образом, неизвестное число равно 60.

Выполним проверку:
Сумма $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$ от 60: $\frac{60}{4} + \frac{60}{6} = 15 + 10 = 25$.
Половина от 60: $\frac{60}{2} = 30$.
Проверим, действительно ли сумма (25) на 5 меньше половины (30): $30 - 25 = 5$.
Условие задачи выполняется.

Ответ: 60

25.23 Первое число в 1,5 раза больше второго. Известно, что удвоенное первое число на 24 больше, чем третья часть второго. Найдите эти числа.

Для решения задачи введем переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Исходя из условия "Первое число в 1,5 раза больше второго", мы можем составить первое уравнение:

$x = 1.5y$

Из условия "удвоенное первое число на 24 больше, чем третья часть второго" составим второе уравнение. Удвоенное первое число — это $2x$. Третья часть второго — это $\frac{y}{3}$. Запишем уравнение:

$2x = \frac{y}{3} + 24$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} x = 1.5y \\ 2x = \frac{y}{3} + 24 \end{cases}$

Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$2(1.5y) = \frac{y}{3} + 24$

Теперь решим это уравнение относительно $y$:

$3y = \frac{y}{3} + 24$

Чтобы избавиться от дроби, умножим все члены уравнения на 3:

$3 \cdot 3y = 3 \cdot \frac{y}{3} + 3 \cdot 24$

$9y = y + 72$

Перенесем все слагаемые с $y$ в левую часть уравнения:

$9y - y = 72$

$8y = 72$

$y = \frac{72}{8}$

$y = 9$

Таким образом, второе число равно 9. Теперь найдем первое число, подставив значение $y$ в первое уравнение системы:

$x = 1.5 \cdot y = 1.5 \cdot 9 = 13.5$

Итак, первое число равно 13,5, а второе число равно 9. Проверим правильность решения. Удвоенное первое число: $2 \cdot 13.5 = 27$. Треть второго числа: $\frac{9}{3} = 3$. Разность: $27 - 3 = 24$, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ: первое число 13,5; второе число 9.