Страница 123, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Упростите выражение:

26.29 а) $(10a^2y)^2 \cdot (3ay^2)^3;$

б) $(-\frac{1}{2}xy^3)^3 \cdot (4y^5)^2;$

в) $-(3x^6y^2)^3 \cdot (-x^2y)^4;$

г) $(-5ab^6)^4 \cdot (0,3a^6b)^4.$

а) Чтобы упростить выражение $(10a^2y)^2 \cdot (3ay^2)^3$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала возведем каждый одночлен в соответствующую степень, используя правило возведения произведения в степень $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и правило возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:
$(10a^2y)^2 = 10^2 \cdot (a^2)^2 \cdot y^2 = 100a^{2 \cdot 2}y^2 = 100a^4y^2$.
$(3ay^2)^3 = 3^3 \cdot a^3 \cdot (y^2)^3 = 27a^3y^{2 \cdot 3} = 27a^3y^6$.
Теперь перемножим полученные одночлены:
$100a^4y^2 \cdot 27a^3y^6$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями:
$(100 \cdot 27) \cdot (a^4 \cdot a^3) \cdot (y^2 \cdot y^6)$.
Используя правило умножения степеней с одинаковыми основаниями $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, получим:
$2700 \cdot a^{4+3} \cdot y^{2+6} = 2700a^7y^8$.
Ответ: $2700a^7y^8$.

б) Упростим выражение $(-\frac{1}{2}xy^3)^3 \cdot (4y^5)^2$.
Возведем каждый одночлен в степень:
$(-\frac{1}{2}xy^3)^3 = (-\frac{1}{2})^3 \cdot x^3 \cdot (y^3)^3 = -\frac{1}{8}x^3y^{3 \cdot 3} = -\frac{1}{8}x^3y^9$.
$(4y^5)^2 = 4^2 \cdot (y^5)^2 = 16y^{5 \cdot 2} = 16y^{10}$.
Перемножим результаты:
$(-\frac{1}{8}x^3y^9) \cdot (16y^{10})$.
Сгруппируем и вычислим:
$(-\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot x^3 \cdot (y^9 \cdot y^{10}) = -2x^3y^{9+10} = -2x^3y^{19}$.
Ответ: $-2x^3y^{19}$.

в) Упростим выражение $-(3x^6y^2)^3 \cdot (-x^2y)^4$.
Сначала раскроем скобки, возведя каждый одночлен в степень:
$(3x^6y^2)^3 = 3^3 \cdot (x^6)^3 \cdot (y^2)^3 = 27x^{18}y^6$.
$(-x^2y)^4$. Так как степень четная (4), знак минус исчезает: $(-1)^4=1$.
$(-x^2y)^4 = (-1)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot y^4 = x^8y^4$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$-(27x^{18}y^6) \cdot (x^8y^4)$.
Знак минус перед первым множителем сохраняется. Теперь перемножим одночлены:
$-27 \cdot (x^{18} \cdot x^8) \cdot (y^6 \cdot y^4) = -27x^{18+8}y^{6+4} = -27x^{26}y^{10}$.
Ответ: $-27x^{26}y^{10}$.

г) Упростим выражение $(-5ab^6)^4 \cdot (0,3a^6b)^4$.
Поскольку оба множителя возводятся в одну и ту же степень, мы можем использовать свойство $(x \cdot y)^n = x^n y^n$ в обратном порядке $x^n y^n = (x \cdot y)^n$:
$(-5ab^6 \cdot 0,3a^6b)^4$.
Сначала упростим выражение в скобках, перемножив одночлены:
$(-5 \cdot 0,3) \cdot (a^1 \cdot a^6) \cdot (b^6 \cdot b^1) = -1,5a^{1+6}b^{6+1} = -1,5a^7b^7$.
Теперь возведем полученный одночлен в четвертую степень:
$(-1,5a^7b^7)^4 = (-1,5)^4 \cdot (a^7)^4 \cdot (b^7)^4$.
Вычислим каждый множитель:
$(-1,5)^4 = (1,5)^2 \cdot (1,5)^2 = 2,25 \cdot 2,25 = 5,0625$.
$(a^7)^4 = a^{7 \cdot 4} = a^{28}$.
$(b^7)^4 = b^{7 \cdot 4} = b^{28}$.
Соберем все вместе:
$5,0625a^{28}b^{28}$.
Ответ: $5,0625a^{28}b^{28}$.

26.30 а) $(-4a^3b^4)^2 \cdot 0,25b^7;$

Б) $(-\frac{2}{3} pq^4)^0 \cdot (-27pq^5);$

В) $(0,4a^2bc)^2 \cdot (-1,5ab^3c^4);$

Г) $(\frac{1}{4} m^4n)^3 \cdot (-32m^4n).$

а) Для упрощения выражения $(-4a^3b^4)^2 \cdot 0,25b^7$ необходимо выполнить действия по порядку. Сначала возведем в степень первый множитель, используя свойство возведения в степень произведения и степени в степени: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(-4a^3b^4)^2 = (-4)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2 = 16 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot b^{4 \cdot 2} = 16a^6b^8$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель:
$16a^6b^8 \cdot 0,25b^7$.
Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями и перемножим их, используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:
$(16 \cdot 0,25) \cdot a^6 \cdot (b^8 \cdot b^7) = 4 \cdot a^6 \cdot b^{8+7} = 4a^6b^{15}$.
Ответ: $4a^6b^{15}$.

б) В выражении $(-\frac{2}{3}pq^4)^0 \cdot (-27pq^5)$ первый множитель возводится в нулевую степень. Любое ненулевое выражение в степени 0 равно 1.
$(-\frac{2}{3}pq^4)^0 = 1$.
Теперь умножим результат на второй множитель:
$1 \cdot (-27pq^5) = -27pq^5$.
Ответ: $-27pq^5$.

в) Упростим выражение $(0,4a^2bc)^2 \cdot (-1,5ab^3c^4)$. Сначала возведем в квадрат первый множитель:
$(0,4a^2bc)^2 = (0,4)^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 \cdot c^2 = 0,16a^{2 \cdot 2}b^2c^2 = 0,16a^4b^2c^2$.
Теперь умножим полученный одночлен на второй множитель:
$0,16a^4b^2c^2 \cdot (-1,5ab^3c^4)$.
Сгруппируем коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$(0,16 \cdot (-1,5)) \cdot (a^4 \cdot a) \cdot (b^2 \cdot b^3) \cdot (c^2 \cdot c^4)$.
Выполним вычисления:
$-0,24 \cdot a^{4+1} \cdot b^{2+3} \cdot c^{2+4} = -0,24a^5b^5c^6$.
Ответ: $-0,24a^5b^5c^6$.

г) Упростим выражение $(\frac{1}{4}m^4n)^3 \cdot (-32m^4n)$. Сначала возведем в куб первый множитель:
$(\frac{1}{4}m^4n)^3 = (\frac{1}{4})^3 \cdot (m^4)^3 \cdot n^3 = \frac{1}{64}m^{4 \cdot 3}n^3 = \frac{1}{64}m^{12}n^3$.
Теперь умножим результат на второй множитель:
$\frac{1}{64}m^{12}n^3 \cdot (-32m^4n)$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные:
$(\frac{1}{64} \cdot (-32)) \cdot (m^{12} \cdot m^4) \cdot (n^3 \cdot n)$.
Выполним вычисления:
$-\frac{32}{64} \cdot m^{12+4} \cdot n^{3+1} = -\frac{1}{2}m^{16}n^4$.
Ответ: $-\frac{1}{2}m^{16}n^4$.

26.31 а) $ (-4.5a^3b^2y)^2 \cdot (-2aby); $

б) $ (-3bc^3d)^3 \cdot \left(-\frac{1}{27}b^2cd\right); $

в) $ (-0.8p^3x^2z)^2 \cdot (-2.5px^3z^4); $

г) $ \left(-3\frac{1}{3}a^2\right)^3 \cdot 81a^7. $

а) $(-4,5a^3b^2y)^2 \cdot (-2aby)$
Чтобы упростить выражение, сначала возведем в степень первый одночлен, а затем выполним умножение.
1. Возводим в квадрат $(-4,5a^3b^2y)$:
$(-4,5)^2 = 20,25$
$(a^3)^2 = a^{3 \cdot 2} = a^6$
$(b^2)^2 = b^{2 \cdot 2} = b^4$
$y^2 = y^2$
Результат первого действия: $20,25a^6b^4y^2$.
2. Умножаем полученный результат на второй одночлен:
$20,25a^6b^4y^2 \cdot (-2aby)$
Перемножаем числовые коэффициенты: $20,25 \cdot (-2) = -40,5$.
Перемножаем переменные с одинаковыми основаниями, складывая их показатели степеней (используя правило $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$a^6 \cdot a^1 = a^{6+1} = a^7$
$b^4 \cdot b^1 = b^{4+1} = b^5$
$y^2 \cdot y^1 = y^{2+1} = y^3$
Объединяем все части: $-40,5a^7b^5y^3$.
Ответ: $-40,5a^7b^5y^3$

б) $(-3bc^3d)^3 \cdot (-\frac{1}{27}b^2cd)$
1. Возводим в куб первый одночлен $(-3bc^3d)$:
$(-3)^3 = -27$
$b^3 = b^3$
$(c^3)^3 = c^{3 \cdot 3} = c^9$
$d^3 = d^3$
Результат: $-27b^3c^9d^3$.
2. Умножаем полученное выражение на второй одночлен:
$-27b^3c^9d^3 \cdot (-\frac{1}{27}b^2cd)$
Перемножаем коэффициенты: $-27 \cdot (-\frac{1}{27}) = 1$.
Перемножаем переменные:
$b^3 \cdot b^2 = b^{3+2} = b^5$
$c^9 \cdot c^1 = c^{9+1} = c^{10}$
$d^3 \cdot d^1 = d^{3+1} = d^4$
Объединяем: $1 \cdot b^5c^{10}d^4$.
Ответ: $b^5c^{10}d^4$

в) $(-0,8p^3x^2z)^2 \cdot (-2,5px^3z^4)$
1. Возводим в квадрат первый одночлен $(-0,8p^3x^2z)$:
$(-0,8)^2 = 0,64$
$(p^3)^2 = p^{3 \cdot 2} = p^6$
$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$
$z^2 = z^2$
Результат: $0,64p^6x^4z^2$.
2. Умножаем результат на второй одночлен:
$0,64p^6x^4z^2 \cdot (-2,5px^3z^4)$
Перемножаем коэффициенты: $0,64 \cdot (-2,5) = -1,6$.
Перемножаем переменные:
$p^6 \cdot p^1 = p^{6+1} = p^7$
$x^4 \cdot x^3 = x^{4+3} = x^7$
$z^2 \cdot z^4 = z^{2+4} = z^6$
Объединяем: $-1,6p^7x^7z^6$.
Ответ: $-1,6p^7x^7z^6$

г) $(-3\frac{1}{3}a^2)^3 \cdot 81a^7$
1. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-3\frac{1}{3} = -(\frac{3 \cdot 3 + 1}{3}) = -\frac{10}{3}$
Теперь выражение выглядит так: $(-\frac{10}{3}a^2)^3 \cdot 81a^7$.
2. Возводим в куб первый множитель $(-\frac{10}{3}a^2)$:
$(-\frac{10}{3})^3 = -\frac{10^3}{3^3} = -\frac{1000}{27}$
$(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$
Результат: $-\frac{1000}{27}a^6$.
3. Умножаем результат на второй множитель:
$-\frac{1000}{27}a^6 \cdot 81a^7$
Перемножаем коэффициенты: $-\frac{1000}{27} \cdot 81$. Мы можем сократить 81 и 27 на 27, так как $81 = 3 \cdot 27$.
$-\frac{1000}{27} \cdot 81 = -1000 \cdot \frac{81}{27} = -1000 \cdot 3 = -3000$.
Перемножаем переменные:
$a^6 \cdot a^7 = a^{6+7} = a^{13}$
Объединяем: $-3000a^{13}$.
Ответ: $-3000a^{13}$

26.32 a) $(-6a^3x^2)^2 \cdot \left(-\frac{1}{3}a^2x^2\right)^3;$

Б) $(-3m^3n^2)^5 \cdot \left(-\frac{1}{3}mn^4\right)^4;$

В) $\left(-\frac{1}{9}a^2c^4\right)^2 \cdot (-3a^5c^3)^2;$

Г) $\left(-\frac{3}{2}a^7b^4\right)^2 \cdot \left(-\frac{2}{3}a^6b\right)^0.$

а) Чтобы упростить выражение $ (-6a^3x^2)^2 \cdot (-\frac{1}{3}a^2x^2)^3 $, необходимо последовательно выполнить следующие действия.
1. Возведем в степень каждый из одночленов-множителей, используя правило возведения в степень произведения $ (xyz)^n = x^n y^n z^n $ и правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{mn} $.
Для первого множителя: $ (-6a^3x^2)^2 = (-6)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (x^2)^2 = 36 \cdot a^{3 \cdot 2} \cdot x^{2 \cdot 2} = 36a^6x^4 $.
Для второго множителя: $ (-\frac{1}{3}a^2x^2)^3 = (-\frac{1}{3})^3 \cdot (a^2)^3 \cdot (x^2)^3 = -\frac{1}{27} \cdot a^{2 \cdot 3} \cdot x^{2 \cdot 3} = -\frac{1}{27}a^6x^6 $.
2. Перемножим полученные результаты: $ (36a^6x^4) \cdot (-\frac{1}{27}a^6x^6) $.
3. Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями:
$ (36 \cdot (-\frac{1}{27})) \cdot (a^6 \cdot a^6) \cdot (x^4 \cdot x^6) = -\frac{36}{27} \cdot a^{6+6} \cdot x^{4+6} = -\frac{4}{3}a^{12}x^{10} $.
Ответ: $ -\frac{4}{3}a^{12}x^{10} $

б) Упростим выражение $ (-3m^3n^2)^5 \cdot (-\frac{1}{3}mn^4)^4 $.
1. Возведем в степень каждый одночлен:
$ (-3m^3n^2)^5 = (-3)^5 \cdot (m^3)^5 \cdot (n^2)^5 = -243m^{15}n^{10} $.
$ (-\frac{1}{3}mn^4)^4 = (-\frac{1}{3})^4 \cdot m^4 \cdot (n^4)^4 = \frac{1}{81}m^4n^{16} $. (Знак минус исчезает, так как степень четная).
2. Перемножим полученные одночлены:
$ (-243m^{15}n^{10}) \cdot (\frac{1}{81}m^4n^{16}) = (-243 \cdot \frac{1}{81}) \cdot (m^{15} \cdot m^4) \cdot (n^{10} \cdot n^{16}) $.
3. Упростим коэффициенты и переменные:
$ -\frac{243}{81} \cdot m^{15+4} \cdot n^{10+16} = -3m^{19}n^{26} $.
Ответ: $ -3m^{19}n^{26} $

в) Упростим выражение $ (-\frac{1}{9}a^2c^4)^2 \cdot (-3a^5c^3)^2 $.
1. Возведем в степень каждый одночлен (в обоих случаях степень четная, поэтому результат будет положительным):
$ (-\frac{1}{9}a^2c^4)^2 = (-\frac{1}{9})^2 \cdot (a^2)^2 \cdot (c^4)^2 = \frac{1}{81}a^4c^8 $.
$ (-3a^5c^3)^2 = (-3)^2 \cdot (a^5)^2 \cdot (c^3)^2 = 9a^{10}c^6 $.
2. Перемножим полученные результаты:
$ (\frac{1}{81}a^4c^8) \cdot (9a^{10}c^6) = (\frac{1}{81} \cdot 9) \cdot (a^4 \cdot a^{10}) \cdot (c^8 \cdot c^6) $.
3. Упростим выражение:
$ \frac{9}{81} \cdot a^{4+10} \cdot c^{8+6} = \frac{1}{9}a^{14}c^{14} $.
Ответ: $ \frac{1}{9}a^{14}c^{14} $

г) Упростим выражение $ (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 \cdot (-\frac{2}{3}a^6b)^0 $.
1. Вспомним свойство степени: любое ненулевое число (или выражение) в нулевой степени равно 1. Следовательно, $ (-\frac{2}{3}a^6b)^0 = 1 $ (при условии, что $ a \neq 0 $ и $ b \neq 0 $).
2. Выражение принимает вид: $ (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 \cdot 1 = (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 $.
3. Возведем оставшийся одночлен в квадрат:
$ (-\frac{3}{2}a^7b^4)^2 = (-\frac{3}{2})^2 \cdot (a^7)^2 \cdot (b^4)^2 = \frac{9}{4}a^{7 \cdot 2}b^{4 \cdot 2} = \frac{9}{4}a^{14}b^8 $.
Ответ: $ \frac{9}{4}a^{14}b^8 $

26.33 Решите уравнение:

а) $ (5x^2)^3 \cdot (2x^3)^5 = 2^2 \cdot 10^3; $

б) $ (9x^4)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right)^8 = \left(\frac{3}{4}\right)^4; $

в) $ (3x^3)^4 \cdot (4x^5)^3 = -72^2; $

г) $ (8x^5)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}x^4\right)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3. $

а) $(5x^2)^3 \cdot (2x^3)^5 = 2^2 \cdot 10^3$

Упростим левую часть уравнения, используя свойства степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:
$(5x^2)^3 = 5^3 \cdot (x^2)^3 = 125x^6$
$(2x^3)^5 = 2^5 \cdot (x^3)^5 = 32x^{15}$
Теперь перемножим полученные выражения, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$125x^6 \cdot 32x^{15} = (125 \cdot 32) \cdot (x^6 \cdot x^{15}) = 4000x^{21}$
Упростим правую часть уравнения:
$2^2 \cdot 10^3 = 4 \cdot 1000 = 4000$
Приравняем левую и правую части:
$4000x^{21} = 4000$
Разделим обе части на 4000:
$x^{21} = 1$
Извлекая корень нечетной степени, получаем единственный действительный корень:
$x = 1$

Ответ: $x=1$

б) $(9x^4)^2 \cdot \left(\frac{1}{2}x^2\right)^8 = \left(\frac{3}{4}\right)^4$

Упростим левую часть уравнения:
$(9x^4)^2 = 9^2 \cdot (x^4)^2 = 81x^8$
$\left(\frac{1}{2}x^2\right)^8 = \left(\frac{1}{2}\right)^8 \cdot (x^2)^8 = \frac{1}{256}x^{16}$
Перемножим полученные выражения:
$81x^8 \cdot \frac{1}{256}x^{16} = \frac{81}{256}x^{8+16} = \frac{81}{256}x^{24}$
Упростим правую часть уравнения:
$\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{3^4}{4^4} = \frac{81}{256}$
Получаем уравнение:
$\frac{81}{256}x^{24} = \frac{81}{256}$
Разделим обе части на $\frac{81}{256}$:
$x^{24} = 1$
Так как показатель степени 24 - четное число, уравнение имеет два действительных корня:
$x = 1$ и $x = -1$

Ответ: $x=1$; $x=-1$

в) $(3x^3)^4 \cdot (4x^5)^3 = -72^2$

Упростим левую часть уравнения:
$(3x^3)^4 = 3^4 \cdot (x^3)^4 = 81x^{12}$
$(4x^5)^3 = 4^3 \cdot (x^5)^3 = 64x^{15}$
Перемножим полученные выражения:
$81x^{12} \cdot 64x^{15} = (81 \cdot 64) \cdot x^{12+15} = 5184x^{27}$
Вычислим правую часть уравнения:
$-72^2 = -(72 \cdot 72) = -5184$
Получаем уравнение:
$5184x^{27} = -5184$
Разделим обе части на 5184:
$x^{27} = -1$
Так как показатель степени 27 - нечетное число, уравнение имеет один действительный корень:
$x = \sqrt[27]{-1} = -1$

Ответ: $x=-1$

г) $(8x^5)^2 \cdot \left(\frac{1}{5}x^4\right)^3 = \left(\frac{4}{5}\right)^3$

Упростим левую часть уравнения:
$(8x^5)^2 = 8^2 \cdot (x^5)^2 = 64x^{10}$
$\left(\frac{1}{5}x^4\right)^3 = \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot (x^4)^3 = \frac{1}{125}x^{12}$
Перемножим полученные выражения:
$64x^{10} \cdot \frac{1}{125}x^{12} = \frac{64}{125}x^{10+12} = \frac{64}{125}x^{22}$
Упростим правую часть уравнения:
$\left(\frac{4}{5}\right)^3 = \frac{4^3}{5^3} = \frac{64}{125}$
Получаем уравнение:
$\frac{64}{125}x^{22} = \frac{64}{125}$
Разделим обе части на $\frac{64}{125}$:
$x^{22} = 1$
Так как показатель степени 22 - четное число, уравнение имеет два действительных корня:
$x = 1$ и $x = -1$

Ответ: $x=1$; $x=-1$

26.34 Вместо символов * запишите такие одночлены, чтобы получилось верное равенство:

а) $(*)^2 \cdot (*)^3 = 4a^3b^2c^5$

б) $(*)^3 \cdot (*)^2 = -27p^3x^4y^2$

в) $(*)^4 \cdot (*)^3 = 8c^4d^{13}n^3$

г) $(*)^5 \cdot (*)^2 = 81b^{13}n^5t^4$

Заданное равенство: $ (*)^2 \cdot (*)^3 = 4a^3b^2c^5 $. Обозначим первый одночлен как $M_1$, а второй — как $M_2$. Тогда равенство можно записать в виде $ (M_1)^2 \cdot (M_2)^3 = 4a^3b^2c^5 $. Представим искомые одночлены в общем виде: $ M_1 = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2} $. Подставив эти выражения в равенство и раскрыв скобки, получим:

$ (k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1})^2 \cdot (k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2})^3 = k_1^2 k_2^3 \cdot a^{2x_1+3x_2} \cdot b^{2y_1+3y_2} \cdot c^{2z_1+3z_2} $

Сравнивая полученное выражение с правой частью равенства $ 4a^3b^2c^5 $, мы можем составить систему уравнений для коэффициентов и показателей степеней для каждой переменной:

$ k_1^2 k_2^3 = 4 $

$ 2x_1 + 3x_2 = 3 $ (для переменной $a$)

$ 2y_1 + 3y_2 = 2 $ (для переменной $b$)

$ 2z_1 + 3z_2 = 5 $ (для переменной $c$)

Решим эти уравнения, подбирая целые неотрицательные решения. Из уравнения для коэффициентов $ k_1^2 k_2^3 = 4 $ выберем простое решение в целых числах: пусть $k_2=1$, тогда $k_1^2=4$, откуда $k_1=2$. Из уравнения для показателей степени $a$: $ 2x_1 + 3x_2 = 3 $. Единственное решение в неотрицательных целых числах: $x_1=0, x_2=1$. Из уравнения для $b$: $ 2y_1 + 3y_2 = 2 $. Единственное решение: $y_1=1, y_2=0$. Из уравнения для $c$: $ 2z_1 + 3z_2 = 5 $. Единственное решение: $z_1=1, z_2=1$.

Теперь соберем одночлены на основе найденных значений: $ M_1 = k_1 a^{x_1} b^{y_1} c^{z_1} = 2 a^0 b^1 c^1 = 2bc $. $ M_2 = k_2 a^{x_2} b^{y_2} c^{z_2} = 1 a^1 b^0 c^1 = ac $.

Ответ: $(2bc)^2 \cdot (ac)^3 = 4a^3b^2c^5$.

Заданное равенство: $ (*)^3 \cdot (*)^2 = -27p^3x^4y^2 $. Обозначим одночлены как $M_1$ и $M_2$: $ (M_1)^3 \cdot (M_2)^2 = -27p^3x^4y^2 $. Пусть $ M_1 = k_1 p^{x_1} x^{y_1} y^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 p^{x_2} x^{y_2} y^{z_2} $. После подстановки и возведения в степень получаем:

$ k_1^3 k_2^2 \cdot p^{3x_1+2x_2} \cdot x^{3y_1+2y_2} \cdot y^{3z_1+2z_2} = -27p^3x^4y^2 $

Приравнивая коэффициенты и показатели степеней, получаем систему:

$ k_1^3 k_2^2 = -27 $

$ 3x_1 + 2x_2 = 3 $ (для переменной $p$)

$ 3y_1 + 2y_2 = 4 $ (для переменной $x$)

$ 3z_1 + 2z_2 = 2 $ (для переменной $y$)

Решаем систему в целых неотрицательных числах. Из $ k_1^3 k_2^2 = -27 $, так как $k_2^2 > 0$, то $k_1^3$ должно быть отрицательным. Пусть $k_1 = -3$, тогда $(-3)^3 k_2^2 = -27$, $-27k_2^2 = -27$, $k_2^2=1$, откуда $k_2=1$. Для $p$: $ 3x_1 + 2x_2 = 3 \implies x_1=1, x_2=0 $. Для $x$: $ 3y_1 + 2y_2 = 4 \implies y_1=0, y_2=2 $. Для $y$: $ 3z_1 + 2z_2 = 2 \implies z_1=0, z_2=1 $.

Собираем одночлены: $ M_1 = k_1 p^{x_1} x^{y_1} y^{z_1} = -3 p^1 x^0 y^0 = -3p $. $ M_2 = k_2 p^{x_2} x^{y_2} y^{z_2} = 1 p^0 x^2 y^1 = x^2y $.

Ответ: $(-3p)^3 \cdot (x^2y)^2 = -27p^3x^4y^2$.

Заданное равенство: $ (*)^4 \cdot (*)^3 = 8c^4d^{13}n^3 $. Обозначим одночлены как $M_1$ и $M_2$: $ (M_1)^4 \cdot (M_2)^3 = 8c^4d^{13}n^3 $. Пусть $ M_1 = k_1 c^{x_1} d^{y_1} n^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 c^{x_2} d^{y_2} n^{z_2} $. После подстановки получаем:

$ k_1^4 k_2^3 \cdot c^{4x_1+3x_2} \cdot d^{4y_1+3y_2} \cdot n^{4z_1+3z_2} = 8c^4d^{13}n^3 $

Система уравнений:

$ k_1^4 k_2^3 = 8 $

$ 4x_1 + 3x_2 = 4 $ (для переменной $c$)

$ 4y_1 + 3y_2 = 13 $ (для переменной $d$)

$ 4z_1 + 3z_2 = 3 $ (для переменной $n$)

Решаем систему в целых неотрицательных числах. Из $ k_1^4 k_2^3 = 8 $, так как $k_1^4 > 0$, $k_2^3$ должно быть положительным. Пусть $k_2=2$, тогда $k_1^4 \cdot 2^3 = 8$, $8k_1^4 = 8$, $k_1^4 = 1$, откуда $k_1=1$. Для $c$: $ 4x_1 + 3x_2 = 4 \implies x_1=1, x_2=0 $. Для $d$: $ 4y_1 + 3y_2 = 13 \implies y_1=1, y_2=3 $. Для $n$: $ 4z_1 + 3z_2 = 3 \implies z_1=0, z_2=1 $.

Собираем одночлены: $ M_1 = k_1 c^{x_1} d^{y_1} n^{z_1} = 1 c^1 d^1 n^0 = cd $. $ M_2 = k_2 c^{x_2} d^{y_2} n^{z_2} = 2 c^0 d^3 n^1 = 2d^3n $.

Ответ: $(cd)^4 \cdot (2d^3n)^3 = 8c^4d^{13}n^3$.

Заданное равенство: $ (*)^5 \cdot (*)^2 = 81b^{13}n^5t^4 $. Обозначим одночлены как $M_1$ и $M_2$: $ (M_1)^5 \cdot (M_2)^2 = 81b^{13}n^5t^4 $. Пусть $ M_1 = k_1 b^{x_1} n^{y_1} t^{z_1} $ и $ M_2 = k_2 b^{x_2} n^{y_2} t^{z_2} $. После подстановки получаем:

$ k_1^5 k_2^2 \cdot b^{5x_1+2x_2} \cdot n^{5y_1+2y_2} \cdot t^{5z_1+2z_2} = 81b^{13}n^5t^4 $

Система уравнений:

$ k_1^5 k_2^2 = 81 $

$ 5x_1 + 2x_2 = 13 $ (для переменной $b$)

$ 5y_1 + 2y_2 = 5 $ (для переменной $n$)

$ 5z_1 + 2z_2 = 4 $ (для переменной $t$)

Решаем систему в целых неотрицательных числах. Из $ k_1^5 k_2^2 = 81 $, подберем целые значения. Пусть $k_1=1$, тогда $k_2^2 = 81$, откуда $k_2=9$. Для $b$: $ 5x_1 + 2x_2 = 13 \implies x_1=1, x_2=4 $. Для $n$: $ 5y_1 + 2y_2 = 5 \implies y_1=1, y_2=0 $. Для $t$: $ 5z_1 + 2z_2 = 4 \implies z_1=0, z_2=2 $.

Собираем одночлены: $ M_1 = k_1 b^{x_1} n^{y_1} t^{z_1} = 1 b^1 n^1 t^0 = bn $. $ M_2 = k_2 b^{x_2} n^{y_2} t^{z_2} = 9 b^4 n^0 t^2 = 9b^4t^2 $.

Ответ: $(bn)^5 \cdot (9b^4t^2)^2 = 81b^{13}n^5t^4$.