Страница 124, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Какие одночлены называют подобными? Приведите пример двух подобных одночленов и пример двух неподобных одночленов.

Какие одночлены называют подобными?

Подобными одночленами называют одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. Буквенная часть считается одинаковой, если она состоит из одних и тех же переменных, возведенных в одинаковые степени. Коэффициенты (числовые множители) у подобных одночленов могут быть разными. Также любые два числа (одночлены, не содержащие переменных) считаются подобными.

Ответ: Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью.

Пример двух подобных одночленов

Рассмотрим одночлены $7ab^2$ и $-2ab^2$. У них одинаковая буквенная часть $ab^2$ (переменная $a$ в первой степени и переменная $b$ во второй степени). Отличаются они только числовыми коэффициентами ($7$ и $-2$). Следовательно, эти одночлены являются подобными.

Ответ: $7ab^2$ и $-2ab^2$.

Пример двух неподобных одночленов

Рассмотрим одночлены $3x^2y$ и $3xy^2$. Несмотря на то что у них одинаковые коэффициенты и одинаковый набор переменных, их буквенные части различны. В первом одночлене буквенная часть — $x^2y$, а во втором — $xy^2$. Поскольку показатели степеней у переменных $x$ и $y$ не совпадают, эти одночлены не являются подобными.

Ответ: $3x^2y$ и $3xy^2$.

2. Будет ли сумма или разность двух подобных одночленов одночленом? Приведите два соответствующих примера.

Да, сумма или разность двух подобных одночленов всегда является одночленом. Это следует из определения подобных одночленов и распределительного свойства умножения.

Подобные одночлены — это одночлены с одинаковой буквенной частью, которые могут отличаться только числовыми коэффициентами. При их сложении или вычитании мы можем вынести общую буквенную часть за скобки, а коэффициенты сложить или вычесть. Если взять два подобных одночлена $k_1 \cdot A$ и $k_2 \cdot A$ (где $k_1$, $k_2$ — коэффициенты, а $A$ — общая буквенная часть), то их сумма и разность будут выглядеть так:

Сумма: $k_1 \cdot A + k_2 \cdot A = (k_1 + k_2) \cdot A$

Разность: $k_1 \cdot A - k_2 \cdot A = (k_1 - k_2) \cdot A$

Поскольку результат сложения или вычитания коэффициентов $(k_1 \pm k_2)$ — это новое число, итоговое выражение представляет собой произведение числа на буквенную часть, что по определению является одночленом. Даже если в результате вычислений коэффициент становится равным нулю, мы получаем одночлен 0.

Пример 1

Найдем сумму двух подобных одночленов $5x^2y$ и $8x^2y$. Их общая буквенная часть — $x^2y$.

$5x^2y + 8x^2y = (5 + 8)x^2y = 13x^2y$

Выражение $13x^2y$ является одночленом.

Пример 2

Найдем разность двух подобных одночленов $10a^4b$ и $3a^4b$. Их общая буквенная часть — $a^4b$.

$10a^4b - 3a^4b = (10 - 3)a^4b = 7a^4b$

Выражение $7a^4b$ также является одночленом.

Ответ: Да, сумма или разность двух подобных одночленов всегда является одночленом.

3. Будет ли сумма или разность двух неподобных одночленов одночленом?

Для ответа на этот вопрос необходимо сначала определить, что такое одночлен и какие одночлены называются подобными, а какие — неподобными.

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числового коэффициента и переменных в неотрицательных целых степенях. Например, выражения $5x^2$, $-7ab$, $y^4$ и $12$ являются одночленами.

Подобные одночлены — это одночлены, имеющие одинаковую буквенную часть (то есть одинаковый набор переменных с одинаковыми показателями степеней). Они могут отличаться только коэффициентами. Складывать и вычитать можно только подобные одночлены, при этом их буквенная часть не меняется, а коэффициенты складываются или вычитаются. В результате всегда получается одночлен (или 0). Например: $3a^2b + 2a^2b = (3+2)a^2b = 5a^2b$.

Неподобные одночлены — это одночлены, у которых буквенные части различны. Например, $4x$ и $4y$ неподобны, так как у них разные переменные. Одночлены $6x^2y$ и $9xy^2$ также неподобны, так как степени у переменных $x$ и $y$ в них не совпадают.

Теперь рассмотрим, что происходит при сложении или вычитании двух неподобных одночленов. Поскольку их буквенные части разные, мы не можем применить правило приведения подобных слагаемых и объединить их в один член. В результате такой операции получается алгебраическая сумма, состоящая из двух членов. Такое выражение по определению является многочленом (а именно, двучленом), но не одночленом.

Например, сумма неподобных одночленов $5a$ и $3b$ равна выражению $5a + 3b$. Это двучлен. Аналогично, разность неподобных одночленов $8x^2$ и $2x^3$ равна $8x^2 - 2x^3$, что также является двучленом.

Таким образом, сумма или разность двух ненулевых неподобных одночленов никогда не может быть упрощена до одного члена.

Ответ: Нет, сумма или разность двух неподобных одночленов не является одночленом. Такое выражение является многочленом, состоящим из двух членов (двучленом).

4. Используя переменные $m$ и $n$, составьте одночлен с коэффициентом $36$ и представьте его в виде суммы одночленов несколькими способами.

Задача состоит из двух частей. Сначала нужно составить одночлен с переменными $m$ и $n$ и коэффициентом 36. Затем этот одночлен нужно представить в виде суммы других одночленов несколькими способами.

1. Составление одночлена.
Одночлен — это произведение числового коэффициента и переменных в некоторых степенях. Согласно условию, коэффициент равен 36, а переменные — $m$ и $n$. Мы можем выбрать любые целые неотрицательные степени для переменных. Возьмем для примера одночлен, где $m$ во второй степени, а $n$ в первой: $36m^2n$.

2. Представление одночлена в виде суммы.
Чтобы представить одночлен $36m^2n$ в виде суммы, нужно найти несколько подобных ему одночленов, сумма которых равна исходному. Подобные одночлены имеют одинаковую буквенную часть (в нашем случае это $m^2n$). Следовательно, задача сводится к тому, чтобы представить коэффициент 36 в виде суммы или разности нескольких чисел.

Ниже приведены несколько примеров такого представления.

Способ 1: Сумма двух одночленов.
Представим коэффициент 36 как сумму двух чисел, например, $36 = 15 + 21$.
Тогда искомое представление будет: $36m^2n = 15m^2n + 21m^2n$.

Способ 2: Сумма трех одночленов.
Представим 36 как сумму трех чисел, например, $36 = 30 + 5 + 1$.
Тогда получаем: $36m^2n = 30m^2n + 5m^2n + m^2n$.

Способ 3: Алгебраическая сумма (с использованием вычитания).
Представим 36 как разность двух чисел, например, $36 = 50 - 14$.
Тогда представление будет иметь вид: $36m^2n = 50m^2n - 14m^2n$.

Ответ: В качестве примера возьмем одночлен $36m^2n$. Его можно представить в виде суммы одночленов несколькими способами:
1) $36m^2n = 15m^2n + 21m^2n$;
2) $36m^2n = 30m^2n + 5m^2n + m^2n$;
3) $36m^2n = 50m^2n - 14m^2n$.

5. В каком случае сумма двух подобных одночленов, содержащих буквенные части, является числом? Что это за число?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, давайте разберемся, что такое подобные одночлены и как их складывать.

Подобные одночлены — это одночлены, которые имеют одинаковую буквенную часть. Например, $5xy$ и $-2xy$ являются подобными, так как у них одна и та же буквенная часть $xy$. Их числовые части (коэффициенты) — это 5 и -2.

Обозначим два общих подобных одночлена, содержащих буквенную часть, как $k_1 \cdot L$ и $k_2 \cdot L$. Здесь $k_1$ и $k_2$ — это их числовые коэффициенты, а $L$ — их общая буквенная часть (например, $L$ может быть $x^2$, $ab^3$, $xyz$ и т.д.). По условию, буквенная часть $L$ существует и не равна 1.

Чтобы сложить два подобных одночлена, нужно сложить их коэффициенты, а буквенную часть оставить без изменений. Найдем сумму наших одночленов: $k_1 L + k_2 L = (k_1 + k_2)L$

Теперь проанализируем результат. Выражение $(k_1 + k_2)L$ является произведением числа $(k_1 + k_2)$ и буквенной части $L$. По условию задачи, эта сумма должна быть числом, то есть не должна содержать буквенной части.

Это возможно только в одном-единственном случае: если множитель при буквенной части $L$ равен нулю. То есть, должно выполняться условие: $k_1 + k_2 = 0$

Условие $k_1 + k_2 = 0$ означает, что коэффициенты $k_1$ и $k_2$ являются противоположными числами. Например, 3 и -3, или -15.8 и 15.8.

Теперь ответим на второй вопрос: что это за число? Если $k_1 + k_2 = 0$, то сумма наших одночленов будет равна: $(k_1 + k_2)L = 0 \cdot L = 0$

Независимо от того, какая у одночленов буквенная часть $L$, при умножении на ноль результат всегда будет равен нулю.

Пример: Возьмем два подобных одночлена $12a^2b$ и $-12a^2b$. Их коэффициенты 12 и -12 являются противоположными числами. Их сумма: $12a^2b + (-12a^2b) = (12 - 12)a^2b = 0 \cdot a^2b = 0$. Результат — число 0.

Ответ: Сумма двух подобных одночленов, содержащих буквенные части, является числом в том случае, если их числовые коэффициенты являются противоположными числами. Это число всегда равно нулю.

Выполните деление одночлена на одночлен:

27.1 а) $a^3 : a^2$;

б) $x^8 : x^3$;

в) $y^{20} : y^{18}$;

г) $z^{54} : z^{50}.$

а) Чтобы выполнить деление одночленов $a^3$ на $a^2$, необходимо воспользоваться свойством деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней с одинаковыми основаниями основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит так: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

Применим это правило к данному выражению:

$a^3 : a^2 = a^{3-2} = a^1 = a$.

Ответ: $a$.

б) Аналогично предыдущему пункту, применяем правило деления степеней с одинаковым основанием $x^m : x^n = x^{m-n}$ к выражению $x^8 : x^3$.

Выполним вычитание показателей степеней:

$x^8 : x^3 = x^{8-3} = x^5$.

Ответ: $x^5$.

в) Для деления одночлена $y^{20}$ на $y^{18}$ снова используем то же свойство степеней, так как основания у них одинаковые.

Основание $y$ остается без изменений, а показатели степеней вычитаются:

$y^{20} : y^{18} = y^{20-18} = y^2$.

Ответ: $y^2$.

г) В последнем примере, $z^{54} : z^{50}$, мы также выполняем деление степеней с одинаковым основанием $z$.

Вычитаем показатель степени делителя из показателя степени делимого:

$z^{54} : z^{50} = z^{54-50} = z^4$.

Ответ: $z^4$.

27.2 а) $ \frac{1}{3}x : 3;$

б) $ \frac{1}{5}y : \frac{10}{11};$

в) $ \frac{5}{7}a : \left(-\frac{25}{49}\right);$

г) $ -\frac{13}{15}b : \left(-\frac{26}{45}\right).$

а) Чтобы разделить выражение с коэффициентом на число, нужно разделить коэффициент на это число. Деление на 3 равносильно умножению на обратное число, то есть на $\frac{1}{3}$.

$\frac{1}{3}x : 3 = \frac{1}{3}x \cdot \frac{1}{3} = (\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3})x = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3}x = \frac{1}{9}x$.

Ответ: $\frac{1}{9}x$.

б) Чтобы разделить выражение на дробь, нужно умножить его на дробь, обратную делителю. Обратной для дроби $\frac{10}{11}$ является дробь $\frac{11}{10}$.

$\frac{1}{5}y : \frac{10}{11} = \frac{1}{5}y \cdot \frac{11}{10} = (\frac{1}{5} \cdot \frac{11}{10})y = \frac{1 \cdot 11}{5 \cdot 10}y = \frac{11}{50}y$.

Ответ: $\frac{11}{50}y$.

в) При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь. Обратной для дроби $-\frac{25}{49}$ является дробь $-\frac{49}{25}$.

$\frac{5}{7}a : (-\frac{25}{49}) = \frac{5}{7}a \cdot (-\frac{49}{25}) = -(\frac{5}{7} \cdot \frac{49}{25})a$.

Перед умножением сократим дроби: числитель 5 и знаменатель 25 делятся на 5; числитель 49 и знаменатель 7 делятся на 7.

$-(\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{7}^1} \cdot \frac{\cancel{49}^7}{\cancel{25}^5})a = -(\frac{1}{1} \cdot \frac{7}{5})a = -\frac{7}{5}a$.

Ответ: $-\frac{7}{5}a$.

г) При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным. Деление на дробь заменяем умножением на обратную ей дробь. Обратной для дроби $-\frac{26}{45}$ является дробь $-\frac{45}{26}$.

$-\frac{13}{15}b : (-\frac{26}{45}) = (-\frac{13}{15}b) \cdot (-\frac{45}{26}) = (\frac{13}{15} \cdot \frac{45}{26})b$.

Перед умножением сократим дроби: числитель 13 и знаменатель 26 делятся на 13; числитель 45 и знаменатель 15 делятся на 15.

$(\frac{\cancel{13}^1}{\cancel{15}^1} \cdot \frac{\cancel{45}^3}{\cancel{26}^2})b = (\frac{1}{1} \cdot \frac{3}{2})b = \frac{3}{2}b$.

Ответ: $\frac{3}{2}b$.

27.3 а) $-8x : (-4x);$

б) $3c : c;$

в) $7a : (-a);$

г) $-9b : (-b).$

а) Чтобы выполнить деление одночлена $-8x$ на одночлен $-4x$, необходимо разделить коэффициент делимого на коэффициент делителя и буквенную часть делимого на буквенную часть делителя.
Запишем деление в виде дроби:
$-8x : (-4x) = \frac{-8x}{-4x}$
1. Разделим числовые коэффициенты: $-8$ на $-4$. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным: $ -8 : (-4) = 2$.
2. Разделим буквенные части: $x$ на $x$. При делении переменной на саму себя результат равен 1 (при условии, что $x \neq 0$): $x : x = 1$.
3. Перемножим полученные результаты: $2 \cdot 1 = 2$.
Ответ: 2

б) Выполним деление одночлена $3c$ на одночлен $c$.
Запишем деление в виде дроби:
$3c : c = \frac{3c}{c}$
1. Разделим числовые коэффициенты. Коэффициент одночлена $c$ равен 1. $3 : 1 = 3$.
2. Разделим буквенные части: $c : c = 1$ (при условии, что $c \neq 0$).
3. Перемножим полученные результаты: $3 \cdot 1 = 3$.
Ответ: 3

в) Выполним деление одночлена $7a$ на одночлен $-a$.
Запишем деление в виде дроби:
$7a : (-a) = \frac{7a}{-a}$
1. Разделим числовые коэффициенты. Коэффициент одночлена $-a$ равен -1. При делении положительного числа на отрицательное результат будет отрицательным: $7 : (-1) = -7$.
2. Разделим буквенные части: $a : a = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).
3. Перемножим полученные результаты: $-7 \cdot 1 = -7$.
Ответ: -7

г) Выполним деление одночлена $-9b$ на одночлен $-b$.
Запишем деление в виде дроби:
$-9b : (-b) = \frac{-9b}{-b}$
1. Разделим числовые коэффициенты. Коэффициент одночлена $-b$ равен -1. При делении двух отрицательных чисел результат будет положительным: $-9 : (-1) = 9$.
2. Разделим буквенные части: $b : b = 1$ (при условии, что $b \neq 0$).
3. Перемножим полученные результаты: $9 \cdot 1 = 9$.
Ответ: 9

27.4 а) $6x^3 : x^2;$

б) $-27y^2 : (-9y^2);$

в) $-15z^8 : z^8;$

г) $-90p^4 : (-5p).$

а) Чтобы разделить одночлен $6x^3$ на одночлен $x^2$, необходимо выполнить деление их коэффициентов и деление их переменных частей. Деление степеней с одинаковым основанием производится по правилу $a^m : a^n = a^{m-n}$.

1. Делим коэффициенты: коэффициент одночлена $6x^3$ равен 6, а коэффициент $x^2$ равен 1. Получаем $6 : 1 = 6$.

2. Делим переменные части: $x^3 : x^2 = x^{3-2} = x^1 = x$.

3. Объединяем результаты: $6 \cdot x = 6x$.

Выражение целиком: $6x^3 : x^2 = (6:1) \cdot (x^3:x^2) = 6x^{3-2} = 6x$.

Ответ: $6x$.

б) Для выполнения деления $-27y^2 : (-9y^2)$ разделим коэффициенты и переменные по отдельности.

1. Деление коэффициентов: $-27 : (-9) = 3$. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное.

2. Деление переменных: $y^2 : y^2 = y^{2-2} = y^0 = 1$. Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.

3. Результат: $3 \cdot 1 = 3$.

Полное решение: $-27y^2 : (-9y^2) = (-27:-9) \cdot (y^2:y^2) = 3 \cdot y^0 = 3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3$.

в) Выполним деление $-15z^8 : z^8$.

1. Делим коэффициенты: коэффициент делимого равен -15, а коэффициент делителя - 1. Получаем $-15 : 1 = -15$.

2. Делим переменные: $z^8 : z^8 = z^{8-8} = z^0 = 1$.

3. Итоговый результат: $-15 \cdot 1 = -15$.

Таким образом, $-15z^8 : z^8 = (-15:1) \cdot (z^8:z^8) = -15 \cdot z^0 = -15$.

Ответ: $-15$.

г) Выполним деление $-90p^4 : (-5p)$.

1. Делим числовые коэффициенты: $-90 : (-5) = 18$.

2. Делим переменные части. Учитываем, что $p$ это $p^1$: $p^4 : p^1 = p^{4-1} = p^3$.

3. Объединяем полученные части: $18p^3$.

Полное решение выглядит так: $-90p^4 : (-5p) = (-90:-5) \cdot (p^4:p) = 18 \cdot p^{4-1} = 18p^3$.

Ответ: $18p^3$.

27.5 а) $-19a : (-19a)$;

б) $-45b : (-15b)$;

в) $-100cd : (20cd)$;

г) $18dy : (6dy)$.

а)

Чтобы разделить одночлен $-19a$ на одночлен $-19a$, нужно разделить коэффициент первого одночлена на коэффициент второго и буквенную часть первого на буквенную часть второго.

Представим это деление в виде дроби: $(-19a) : (-19a) = \frac{-19a}{-19a}$

Разделим коэффициенты: $-19 : (-19) = 1$.

Разделим буквенные части: $a : a = 1$ (при условии, что $a \neq 0$).

Результатом будет произведение этих частных: $1 \cdot 1 = 1$.

Ответ: $1$

б)

Чтобы разделить одночлен $-45b$ на одночлен $-15b$, выполним деление их коэффициентов и буквенных частей.

Запишем деление в виде дроби: $(-45b) : (-15b) = \frac{-45b}{-15b}$

Разделим коэффициенты. При делении отрицательного числа на отрицательное получается положительное: $-45 : (-15) = 3$.

Разделим буквенные части: $b : b = 1$ (при $b \neq 0$).

Перемножим полученные результаты: $3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3$

в)

Чтобы разделить одночлен $-100cd$ на одночлен $20cd$, разделим их числовые коэффициенты и буквенные части.

Представим операцию деления в виде дроби: $(-100cd) : (20cd) = \frac{-100cd}{20cd}$

Разделим коэффициенты. При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное: $-100 : 20 = -5$.

Разделим буквенные части: $cd : cd = 1$ (при $c \neq 0$ и $d \neq 0$).

Итоговый результат: $-5 \cdot 1 = -5$.

Ответ: $-5$

г)

Чтобы разделить одночлен $18dy$ на одночлен $6dy$, разделим их коэффициенты и буквенные части.

Запишем это деление в виде дроби: $18dy : (6dy) = \frac{18dy}{6dy}$

Разделим коэффициенты: $18 : 6 = 3$.

Разделим буквенные части: $dy : dy = 1$ (при $d \neq 0$ и $y \neq 0$).

Перемножим полученные значения: $3 \cdot 1 = 3$.

Ответ: $3$

27.6 a) $16abc : (8a);$

Б) $24pqr : (-4pq);$

В) $-42cdm : (12c);$

Г) $-99xyz : (-9x).$

а)

Чтобы разделить одночлен $16abc$ на одночлен $8a$, необходимо выполнить деление коэффициентов и деление переменных.

1. Деление коэффициентов: $16 : 8 = 2$.

2. Деление переменных: $abc : a$. При делении степеней с одинаковыми основаниями их показатели вычитаются. В данном случае переменная $a$ в делимом и делителе находится в первой степени, поэтому при делении она сокращается: $\frac{a}{a} = a^{1-1} = a^0 = 1$. Переменные $b$ и $c$ остаются.

Объединяем результаты: $16abc : (8a) = \frac{16abc}{8a} = \frac{16}{8} \cdot \frac{a}{a} \cdot b \cdot c = 2 \cdot 1 \cdot bc = 2bc$.

Ответ: $2bc$.

б)

Чтобы разделить одночлен $24pqr$ на одночлен $-4pq$, разделим их коэффициенты и переменные части.

1. Деление коэффициентов: $24 : (-4) = -6$.

2. Деление переменных: $pqr : pq$. Переменные $p$ и $q$ сокращаются ($\frac{p}{p}=1$, $\frac{q}{q}=1$), остается переменная $r$.

Соединяем результаты: $24pqr : (-4pq) = \frac{24pqr}{-4pq} = \frac{24}{-4} \cdot \frac{pq}{pq} \cdot r = -6 \cdot 1 \cdot r = -6r$.

Ответ: $-6r$.

в)

Выполним деление одночлена $-42cdm$ на одночлен $12c$.

1. Сначала разделим коэффициенты: $-42 : 12$. Это можно записать в виде дроби $\frac{-42}{12}$. Сократим дробь на их наибольший общий делитель, равный 6: $\frac{-42:6}{12:6} = \frac{-7}{2} = -3.5$.

2. Теперь разделим переменные: $cdm : c$. Переменная $c$ сокращается, остаются переменные $d$ и $m$.

Объединяем полученные результаты: $\frac{-42cdm}{12c} = \frac{-42}{12} \cdot \frac{c}{c} \cdot d \cdot m = -3.5dm$.

Ответ: $-3.5dm$.

г)

Выполним деление одночлена $-99xyz$ на одночлен $-9x$.

1. Делим коэффициенты: $-99 : (-9)$. Деление отрицательного числа на отрицательное дает положительное число: $99 : 9 = 11$.

2. Делим переменные: $xyz : x$. Переменная $x$ сокращается, остаются переменные $y$ и $z$.

Соединяем результаты: $\frac{-99xyz}{-9x} = \frac{-99}{-9} \cdot \frac{x}{x} \cdot y \cdot z = 11yz$.

Ответ: $11yz$.

27.7 а) $4,8axy : (1,6xy)$

б) $(-0,88abc) : (1,1b)$

в) $-0,81pqs : (0,009pq)$

г) $6,5xz : (-1,3z)$

а) Чтобы выполнить деление одночленов $4,8axy : (1,6xy)$, необходимо разделить их коэффициенты и переменные части.
Запишем деление в виде дроби: $ \frac{4,8axy}{1,6xy} $.
Сначала разделим числовые коэффициенты: $4,8 : 1,6$. Для удобства можно умножить делимое и делитель на 10, чтобы избавиться от дробей: $48 : 16 = 3$.
Теперь разделим переменные части: $ \frac{axy}{xy} $. Сократим одинаковые переменные $x$ и $y$ в числителе и знаменателе, в результате останется $a$.
Объединим результаты: $3 \cdot a = 3a$.
Ответ: $3a$

б) Выполним деление одночленов $(-0,88abc) : (1,1b)$.
Запишем выражение в виде дроби: $ \frac{-0,88abc}{1,1b} $.
Разделим числовые коэффициенты: $-0,88 : 1,1$. Для удобства вычислений можно представить это как $-8,8 : 11 = -0,8$.
Разделим переменные части: $ \frac{abc}{b} $. Сократив переменную $b$, получим $ac$.
Объединим результаты: $-0,8 \cdot ac = -0,8ac$.
Ответ: $-0,8ac$

в) Выполним деление одночленов $-0,81pqs : (0,009pq)$.
Запишем деление в виде дроби: $ \frac{-0,81pqs}{0,009pq} $.
Разделим числовые коэффициенты: $-0,81 : 0,009$. Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим делимое и делитель на 1000: $-810 : 9 = -90$.
Разделим переменные части: $ \frac{pqs}{pq} $. Сократим одинаковые переменные $p$ и $q$, в результате останется $s$.
Объединим результаты: $-90 \cdot s = -90s$.
Ответ: $-90s$

г) Выполним деление одночленов $6,5xz : (-1,3z)$.
Запишем выражение в виде дроби: $ \frac{6,5xz}{-1,3z} $.
Разделим числовые коэффициенты: $6,5 : (-1,3)$. Умножим оба числа на 10 для упрощения: $65 : (-13) = -5$.
Разделим переменные части: $ \frac{xz}{z} $. Сократив переменную $z$, получим $x$.
Объединим результаты: $-5 \cdot x = -5x$.
Ответ: $-5x$

27.8 а) $18a^{12} : (6a^4)$;

б) $24b^{10} : (6b^{10});$

в) $12a^{7}y^{4} : (6a^2y^3);$

г) $6b^{5}x^{3} : (3b^3x^2).$

а) Для того чтобы разделить одночлен $18a^{12}$ на одночлен $6a^4$, необходимо выполнить деление коэффициентов и деление степеней с одинаковыми основаниями.
Запишем выражение в виде дроби:
$18a^{12} : (6a^4) = \frac{18a^{12}}{6a^4}$
Разделим числовые коэффициенты: $18 : 6 = 3$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно свойству степени $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$. Для переменной $a$ получаем:
$a^{12} : a^4 = a^{12-4} = a^8$.
Объединив результаты, получаем итоговый одночлен: $3a^8$.
Ответ: $3a^8$.

б) Разделим одночлен $24b^{10}$ на $6b^{10}$.
$24b^{10} : (6b^{10}) = \frac{24b^{10}}{6b^{10}}$
Разделим коэффициенты: $24 : 6 = 4$.
Разделим степени с основанием $b$: $b^{10} : b^{10} = b^{10-10} = b^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице, поэтому $b^0 = 1$ (при $b \neq 0$).
Итоговый результат: $4 \cdot 1 = 4$.
Ответ: $4$.

в) Выполним деление одночлена $12a^7y^4$ на $6a^2y^3$.
$12a^7y^4 : (6a^2y^3) = \frac{12a^7y^4}{6a^2y^3}$
Сначала разделим коэффициенты: $12 : 6 = 2$.
Затем разделим степени для каждой переменной отдельно:
Для переменной $a$: $a^7 : a^2 = a^{7-2} = a^5$.
Для переменной $y$: $y^4 : y^3 = y^{4-3} = y^1 = y$.
Соединим полученные части: $2a^5y$.
Ответ: $2a^5y$.

г) Разделим одночлен $6b^5x^3$ на $3b^3x^2$.
$6b^5x^3 : (3b^3x^2) = \frac{6b^5x^3}{3b^3x^2}$
Разделим числовые коэффициенты: $6 : 3 = 2$.
Разделим степени для каждой переменной:
Для переменной $b$: $b^5 : b^3 = b^{5-3} = b^2$.
Для переменной $x$: $x^3 : x^2 = x^{3-2} = x^1 = x$.
Объединим результаты в один одночлен: $2b^2x$.
Ответ: $2b^2x$.

27.9 а) $44a^3b^2c^6 : (11a^2bc^5);$

б) $198x^4y^4z^2 : (2x^4y^3z);$

в) $144m^8n^9k^4 : (12m^2n^7k);$

г) $258p^8q^4r^{17} : (3p^6q^2r^{15}).$

а) Чтобы разделить одночлен $44a^3b^2c^6$ на $11a^2bc^5$, необходимо разделить их коэффициенты и соответствующие степени переменных. Деление можно представить в виде дроби: $\frac{44a^3b^2c^6}{11a^2bc^5}$.
Разделим коэффициенты: $44 : 11 = 4$.
Разделим переменные, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n})$:
$\frac{a^3}{a^2} = a^{3-2} = a$
$\frac{b^2}{b} = b^{2-1} = b$
$\frac{c^6}{c^5} = c^{6-5} = c$
Объединяя результаты, получаем итоговый одночлен.
Ответ: $4abc$.

б) Выполним деление $198x^4y^4z^2$ на $2x^4y^3z$. Запишем выражение в виде дроби: $\frac{198x^4y^4z^2}{2x^4y^3z}$.
Сначала разделим числовые коэффициенты: $198 : 2 = 99$.
Затем разделим переменные:
$\frac{x^4}{x^4} = x^{4-4} = x^0 = 1$
$\frac{y^4}{y^3} = y^{4-3} = y$
$\frac{z^2}{z} = z^{2-1} = z$
Перемножив полученные части, имеем: $99 \cdot 1 \cdot y \cdot z = 99yz$.
Ответ: $99yz$.

в) Разделим одночлен $144m^8n^9k^4$ на $12m^2n^7k$. Представим деление в виде дроби: $\frac{144m^8n^9k^4}{12m^2n^7k}$.
Деление коэффициентов: $144 : 12 = 12$.
Деление переменных с одинаковыми основаниями:
$\frac{m^8}{m^2} = m^{8-2} = m^6$
$\frac{n^9}{n^7} = n^{9-7} = n^2$
$\frac{k^4}{k} = k^{4-1} = k^3$
Результатом является произведение полученных частей.
Ответ: $12m^6n^2k^3$.

г) Найдем частное от деления $258p^8q^4r^{17}$ на $3p^6q^2r^{15}$. Запишем это как дробь: $\frac{258p^8q^4r^{17}}{3p^6q^2r^{15}}$.
Выполним деление коэффициентов: $258 : 3 = 86$.
Выполним деление переменных, вычитая показатели степеней:
$\frac{p^8}{p^6} = p^{8-6} = p^2$
$\frac{q^4}{q^2} = q^{4-2} = q^2$
$\frac{r^{17}}{r^{15}} = r^{17-15} = r^2$
Соединим результаты в один одночлен.
Ответ: $86p^2q^2r^2$.

27.10 Какое из предложенных заданий корректно, а какое некорректно:

а) разделить $8c^3$ на $4c^{10}$;

б) сложить $12ab$, $-5ab$ и $8ab$;

в) сложить $15a^3$ и $2a^2$;

г) разделить $4c^{10}$ на $8c^3$?

Для определения корректности каждого задания необходимо проанализировать, является ли предложенная операция выполнимой в рамках стандартных правил алгебры для одночленов. Основное правило для сложения и вычитания — оперировать можно только с подобными членами (имеющими одинаковую буквенную часть). Умножение и деление выполнимы для любых одночленов (кроме деления на ноль).

а) разделить 8c³ на 4c¹⁰;

Это задание на деление двух одночленов. Деление одночленов является всегда корректной операцией. Выполним действие:
$ \frac{8c^3}{4c^{10}} = \frac{8}{4} \cdot c^{3-10} = 2c^{-7} $
Так как операция выполнима, задание является корректным.
Ответ: задание корректно.

б) сложить 12ab, -5ab и 8ab;

Это задание на сложение одночленов. Чтобы их можно было сложить (привести подобные), они должны иметь одинаковую буквенную часть. Все три одночлена ($12ab$, $-5ab$ и $8ab$) имеют одинаковую буквенную часть $ab$, следовательно, они являются подобными.
Выполним сложение их коэффициентов:
$ 12ab - 5ab + 8ab = (12 - 5 + 8)ab = 15ab $
Поскольку операция приведения подобных слагаемых выполнима, задание корректно.
Ответ: задание корректно.

в) сложить 15a³ и 2a²;

Это задание на сложение одночленов. Одночлен $15a^3$ имеет буквенную часть $a^3$, а одночлен $2a^2$ — буквенную часть $a^2$. Так как буквенные части различны ($a^3 \neq a^2$), эти одночлены не являются подобными. Их нельзя сложить и представить результат в виде одного одночлена, то есть упростить. Их сумма записывается как многочлен $15a^3 + 2a^2$. Следовательно, задание на упрощение (приведение подобных) является некорректным.
Ответ: задание некорректно.

г) разделить 4c¹⁰ на 8c³?

Это задание на деление двух одночленов. Как и в пункте а), данная операция является корректной.
Выполним действие:
$ \frac{4c^{10}}{8c^3} = \frac{4}{8} \cdot c^{10-3} = \frac{1}{2}c^7 $
Так как операция выполнима, задание является корректным.
Ответ: задание корректно.