Страница 118, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Упростите выражение:

25.31 а) $3x \cdot 2y + 5x \cdot 2y + 6x \cdot 2y;$

б) $1,2a^2b + 3,2aba + 6,8aab + 8,8baa;$

в) $\frac{1}{2}xy^2x + \frac{1}{3}xyxy + \frac{1}{6}xy^2x;$

г) $1\frac{3}{5}mn^3r^8 + \frac{7}{10}n^2r^5nr^3m + \frac{3}{20}mr^7n^2rn.$

а) $3x \cdot 2y + 5x \cdot 2y + 6x \cdot 2y$

Для упрощения выражения сначала перемножим коэффициенты и переменные в каждом слагаемом (одночлене):
$3x \cdot 2y = (3 \cdot 2) \cdot (x \cdot y) = 6xy$
$5x \cdot 2y = (5 \cdot 2) \cdot (x \cdot y) = 10xy$
$6x \cdot 2y = (6 \cdot 2) \cdot (x \cdot y) = 12xy$
Теперь сложим полученные подобные слагаемые:
$6xy + 10xy + 12xy = (6 + 10 + 12)xy = 28xy$
Ответ: $28xy$

б) $1,2a^2b + 3,2aba + 6,8aab + 8,8baa$

Приведем каждый член выражения к стандартному виду, расположив переменные в алфавитном порядке и объединив степени:
$3,2aba = 3,2 \cdot (a \cdot a) \cdot b = 3,2a^2b$
$6,8aab = 6,8 \cdot (a \cdot a) \cdot b = 6,8a^2b$
$8,8baa = 8,8 \cdot (a \cdot a) \cdot b = 8,8a^2b$
Теперь все слагаемые являются подобными. Сложим их коэффициенты:
$1,2a^2b + 3,2a^2b + 6,8a^2b + 8,8a^2b = (1,2 + 3,2 + 6,8 + 8,8)a^2b = 20a^2b$
Ответ: $20a^2b$

в) $\frac{1}{2}xy^2x + \frac{1}{3}xyxy + \frac{1}{6}xy^2x$

Приведем каждый одночлен к стандартному виду:
$\frac{1}{2}xy^2x = \frac{1}{2}(x \cdot x)y^2 = \frac{1}{2}x^2y^2$
$\frac{1}{3}xyxy = \frac{1}{3}(x \cdot x)(y \cdot y) = \frac{1}{3}x^2y^2$
$\frac{1}{6}xy^2x = \frac{1}{6}(x \cdot x)y^2 = \frac{1}{6}x^2y^2$
Сложим коэффициенты подобных слагаемых, приведя их к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2}x^2y^2 + \frac{1}{3}x^2y^2 + \frac{1}{6}x^2y^2 = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6})x^2y^2 = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6})x^2y^2 = \frac{6}{6}x^2y^2 = x^2y^2$
Ответ: $x^2y^2$

г) $1\frac{3}{5}mn^3r^8 + \frac{7}{10}n^2r^5nr^3m + \frac{3}{20}mr^7n^2rn$

Приведем все слагаемые к стандартному виду. Для этого переставим переменные в алфавитном порядке (m, n, r) и сложим степени одинаковых переменных.
Второй член: $\frac{7}{10}n^2r^5nr^3m = \frac{7}{10}m(n^2 \cdot n)(r^5 \cdot r^3) = \frac{7}{10}mn^3r^8$
Третий член: $\frac{3}{20}mr^7n^2rn = \frac{3}{20}m(n^2 \cdot n)(r^7 \cdot r) = \frac{3}{20}mn^3r^8$
Все слагаемые являются подобными. Для сложения коэффициентов переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$.
Сложим коэффициенты, приведя дроби к общему знаменателю 20:
$(\frac{8}{5} + \frac{7}{10} + \frac{3}{20})mn^3r^8 = (\frac{8 \cdot 4}{20} + \frac{7 \cdot 2}{20} + \frac{3}{20})mn^3r^8 = (\frac{32}{20} + \frac{14}{20} + \frac{3}{20})mn^3r^8 = \frac{49}{20}mn^3r^8$
Переведем неправильную дробь обратно в смешанное число: $\frac{49}{20} = 2\frac{9}{20}$.
Ответ: $2\frac{9}{20}mn^3r^8$

25.32 a) $21xyx^2y^3x - 8x^2y^2xyxy - 2xy^3x^3y - 3x^4y^3y;$

б) $5z^n q^n - 3z^{n-1}q^n z - q^{n-1}zq^{n-1}.$

а) $21xyx^2y^3x - 8x^2y^2xyxy - 2xy^3x^3y - 3x^4y^3y$

Для решения задачи необходимо упростить данное выражение. Сначала приведем каждый одночлен (член многочлена) к стандартному виду. Для этого перемножим все числовые множители и все степени с одинаковыми буквенными основаниями, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Упростим первый член: $21xyx^2y^3x = 21 \cdot (x \cdot x^2 \cdot x) \cdot (y \cdot y^3) = 21 \cdot x^{1+2+1} \cdot y^{1+3} = 21x^4y^4$.

2. Упростим второй член: $-8x^2y^2xyxy = -8 \cdot (x^2 \cdot x \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y \cdot y) = -8 \cdot x^{2+1+1} \cdot y^{2+1+1} = -8x^4y^4$.

3. Упростим третий член: $-2xy^3x^3y = -2 \cdot (x \cdot x^3) \cdot (y^3 \cdot y) = -2 \cdot x^{1+3} \cdot y^{3+1} = -2x^4y^4$.

4. Упростим четвертый член: $-3x^4y^3y = -3 \cdot x^4 \cdot (y^3 \cdot y) = -3 \cdot x^4 \cdot y^{3+1} = -3x^4y^4$.

Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение:

$21x^4y^4 - 8x^4y^4 - 2x^4y^4 - 3x^4y^4$

Все члены этого выражения являются подобными, так как у них одинаковая буквенная часть $x^4y^4$. Чтобы их сложить (или вычесть), нужно выполнить действия с их коэффициентами:

$(21 - 8 - 2 - 3)x^4y^4 = (13 - 2 - 3)x^4y^4 = (11 - 3)x^4y^4 = 8x^4y^4$.

Ответ: $8x^4y^4$.

б) $5z^nq^n - 3z^{n-1}q^nz - q^{n-1}zqz^{n-1}$

Как и в предыдущем задании, приведем каждый член выражения к стандартному виду, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

1. Первый член $5z^nq^n$ уже представлен в стандартном виде.

2. Упростим второй член: $-3z^{n-1}q^nz = -3 \cdot (z^{n-1} \cdot z^1) \cdot q^n = -3 \cdot z^{(n-1)+1} \cdot q^n = -3z^nq^n$.

3. Упростим третий член: $-q^{n-1}zqz^{n-1} = -1 \cdot (q^{n-1} \cdot q^1) \cdot (z^1 \cdot z^{n-1}) = -1 \cdot q^{(n-1)+1} \cdot z^{1+(n-1)} = -q^nz^n$. Для удобства запишем в алфавитном порядке: $-z^nq^n$.

Теперь запишем выражение с упрощенными членами:

$5z^nq^n - 3z^nq^n - z^nq^n$

Все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $z^nq^n$. Выполним действия с их коэффициентами:

$(5 - 3 - 1)z^nq^n = (2 - 1)z^nq^n = 1 \cdot z^nq^n = z^nq^n$.

Ответ: $z^nq^n$.

25.33 a) $ \frac{1}{2}abca + \frac{3}{4}b(-a)ca - \frac{1}{12}acba + \frac{5}{24}(-b)aca; $

б) $ 3nmk \cdot 4n - \frac{3}{8}nm \cdot \left(2\frac{2}{3}\right) \cdot nk + \frac{2}{9}n^2m \cdot \left(-4\frac{1}{2}\right)k. $

а)

Для упрощения данного выражения необходимо привести каждый одночлен к стандартному виду, а затем сложить подобные члены. Стандартный вид одночлена — это произведение числового множителя (коэффициента) и степеней различных переменных, записанных в алфавитном порядке.

Исходное выражение:

$\frac{1}{2}abca + \frac{3}{4}b(-a)ca - \frac{1}{12}acba + \frac{5}{24}(-b)aca$

1. Приведем каждый член к стандартному виду. Для этого перемножим числовые коэффициенты и сгруппируем одинаковые переменные, записав их в виде степеней в алфавитном порядке ($a, b, c$).

• Первый член: $\frac{1}{2}abca = \frac{1}{2}(a \cdot a)bc = \frac{1}{2}a^2bc$
• Второй член: $\frac{3}{4}b(-a)ca = \frac{3}{4} \cdot (-1) \cdot (a \cdot a)bc = -\frac{3}{4}a^2bc$
• Третий член: $-\frac{1}{12}acba = -\frac{1}{12}(a \cdot a)bc = -\frac{1}{12}a^2bc$
• Четвертый член: $\frac{5}{24}(-b)aca = \frac{5}{24} \cdot (-1) \cdot (a \cdot a)bc = -\frac{5}{24}a^2bc$

2. Теперь, когда все члены приведены к стандартному виду, мы видим, что они являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^2bc$. Сложим их коэффициенты.

$\frac{1}{2}a^2bc - \frac{3}{4}a^2bc - \frac{1}{12}a^2bc - \frac{5}{24}a^2bc = (\frac{1}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{12} - \frac{5}{24})a^2bc$

3. Вычислим сумму коэффициентов, приведя дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 2, 4, 12 и 24 равен 24.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 12}{2 \cdot 12} = \frac{12}{24}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{18}{24}$

$\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{2}{24}$

Подставим значения в выражение:

$(\frac{12}{24} - \frac{18}{24} - \frac{2}{24} - \frac{5}{24})a^2bc = \frac{12 - 18 - 2 - 5}{24}a^2bc = \frac{-6 - 2 - 5}{24}a^2bc = \frac{-13}{24}a^2bc$

Ответ: $-\frac{13}{24}a^2bc$

б)

Упростим данное выражение, приведя каждый член к стандартному виду и выполнив действия с подобными членами.

Исходное выражение:

$3nmk \cdot 4n - \frac{3}{8}nm \cdot (2\frac{2}{3}) \cdot nk + \frac{2}{9}n^2m \cdot (-4\frac{1}{2})k$

1. Упростим каждый член выражения отдельно. Для этого перемножим числовые коэффициенты, а переменные запишем в виде степеней.

• Первый член: $3nmk \cdot 4n = (3 \cdot 4) \cdot (n \cdot n) \cdot m \cdot k = 12n^2mk$
• Второй член: $-\frac{3}{8}nm \cdot (2\frac{2}{3}) \cdot nk$. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$.
  Теперь перемножим: $(-\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}) \cdot (n \cdot n) \cdot m \cdot k = -1 \cdot n^2mk = -n^2mk$
• Третий член: $\frac{2}{9}n^2m \cdot (-4\frac{1}{2})k$. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $-4\frac{1}{2} = -\frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = -\frac{9}{2}$.
  Перемножим: $(\frac{2}{9} \cdot (-\frac{9}{2})) \cdot n^2 \cdot m \cdot k = -1 \cdot n^2mk = -n^2mk$

2. Теперь подставим упрощенные члены обратно в выражение.

$12n^2mk - n^2mk - n^2mk$

3. Все члены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $n^2mk$. Сложим их коэффициенты.

$(12 - 1 - 1)n^2mk = 10n^2mk$

Ответ: $10n^2mk$

25.34 a) К разности одночленов $16x^2y^4$ и $13x^2y^4$ прибавьте сумму одночленов $23x^2y^4$ и $10x^2y^4$.

б) К сумме одночленов $43a^3b^2$ и $-27a^3b^2$ прибавьте разность одночленов $34a^3b^2$ и $20a^3b^2$.

а) Чтобы к разности одночленов $16x^2y^4$ и $13x^2y^4$ прибавить сумму одночленов $23x^2y^4$ и $10x^2y^4$, нужно сначала выполнить действия в скобках. Все представленные одночлены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $x^2y^4$.
Запишем выражение в соответствии с условием задачи: $(16x^2y^4 - 13x^2y^4) + (23x^2y^4 + 10x^2y^4)$
1. Вычислим разность в первой скобке:
$16x^2y^4 - 13x^2y^4 = (16 - 13)x^2y^4 = 3x^2y^4$
2. Вычислим сумму во второй скобке:
$23x^2y^4 + 10x^2y^4 = (23 + 10)x^2y^4 = 33x^2y^4$
3. Сложим полученные результаты:
$3x^2y^4 + 33x^2y^4 = (3 + 33)x^2y^4 = 36x^2y^4$
Таким образом, результат выражения: $(16x^2y^4 - 13x^2y^4) + (23x^2y^4 + 10x^2y^4) = 3x^2y^4 + 33x^2y^4 = 36x^2y^4$.
Ответ: $36x^2y^4$.

б) Чтобы к сумме одночленов $43a^3b^2$ и $-27a^3b^2$ прибавить разность одночленов $34a^3b^2$ и $20a^3b^2$, составим соответствующее выражение. Все представленные одночлены являются подобными, так как имеют одинаковую буквенную часть $a^3b^2$.
Запишем выражение: $(43a^3b^2 + (-27a^3b^2)) + (34a^3b^2 - 20a^3b^2)$
1. Вычислим сумму в первой скобке:
$43a^3b^2 - 27a^3b^2 = (43 - 27)a^3b^2 = 16a^3b^2$
2. Вычислим разность во второй скобке:
$34a^3b^2 - 20a^3b^2 = (34 - 20)a^3b^2 = 14a^3b^2$
3. Сложим полученные результаты:
$16a^3b^2 + 14a^3b^2 = (16 + 14)a^3b^2 = 30a^3b^2$
Таким образом, результат выражения: $(43a^3b^2 - 27a^3b^2) + (34a^3b^2 - 20a^3b^2) = 16a^3b^2 + 14a^3b^2 = 30a^3b^2$.
Ответ: $30a^3b^2$.

25.35 a) Из суммы одночленов $2,38n^4p$ и $-1,48n^4p$ вычтите разность одночленов $4,72n^4p$ и $-1,28n^4p$.

б) Из разности одночленов $2,57k^3n^4$ и $-1,43k^3n^4$ вычтите сумму одночленов $-8,39k^3n^4$ и $5,39k^3n^4$.

а) Для выполнения этого задания необходимо составить выражение и упростить его. Выражение будет иметь вид: из суммы первых двух одночленов вычитается разность двух других.

1. Запишем сумму одночленов $2,38n^4p$ и $-1,48n^4p$:
$2,38n^4p + (-1,48n^4p)$

2. Запишем разность одночленов $4,72n^4p$ и $-1,28n^4p$:
$4,72n^4p - (-1,28n^4p)$

3. Составим итоговое выражение, вычитая второе из первого, и раскроем скобки:
$(2,38n^4p - 1,48n^4p) - (4,72n^4p - (-1,28n^4p)) = 2,38n^4p - 1,48n^4p - 4,72n^4p - 1,28n^4p$

4. Сгруппируем и вычислим коэффициенты у подобных слагаемых:
$(2,38 - 1,48 - 4,72 - 1,28)n^4p = (0,9 - 6)n^4p = -5,1n^4p$

Ответ: $-5,1n^4p$.

б) Для выполнения этого задания также необходимо составить выражение. Из разности первых двух одночленов вычитается сумма двух других.

1. Запишем разность одночленов $2,57k^3n^4$ и $-1,43k^3n^4$:
$2,57k^3n^4 - (-1,43k^3n^4)$

2. Запишем сумму одночленов $-8,39k^3n^4$ и $5,39k^3n^4$:
$-8,39k^3n^4 + 5,39k^3n^4$

3. Составим итоговое выражение, вычитая второе из первого, и раскроем скобки:
$(2,57k^3n^4 - (-1,43k^3n^4)) - (-8,39k^3n^4 + 5,39k^3n^4) = 2,57k^3n^4 + 1,43k^3n^4 - (-8,39k^3n^4) - 5,39k^3n^4 = 2,57k^3n^4 + 1,43k^3n^4 + 8,39k^3n^4 - 5,39k^3n^4$

4. Сгруппируем и вычислим коэффициенты у подобных слагаемых:
$(2,57 + 1,43 + 8,39 - 5,39)k^3n^4 = (4 + 3)k^3n^4 = 7k^3n^4$

Ответ: $7k^3n^4$.

25.36 В данном выражении вместо многоточия расставьте знаки «+» и «-» так, чтобы получилось верное равенство:

а) $25a^2b^4 = 3a^2b^4 \dots 5a^2b^4 \dots 7a^2b^4 \dots 10a^2b^4;$

б) $43x^3y^9 = 50x^3y^9 \dots 7x^3y^9;$

в) $79c^8d^{10} = 85c^8d^{10} \dots 10c^8d^{10} \dots 4c^8d^{10};$

г) $99p^nq^nz^n = 100p^nq^nz^n \dots 10p^nq^nz^n \dots 15p^nq^nz^n \dots 4p^nq^nz^n.$

а) В данном равенстве все слагаемые являются подобными одночленами с общей буквенной частью $a^2b^4$. Поэтому задача сводится к расстановке знаков между их коэффициентами так, чтобы получилось верное числовое равенство:

$25 = 3 \dots 5 \dots 7 \dots 10$

Проверим, что будет, если поставить везде знаки «+»:

$3 + 5 + 7 + 10 = 8 + 7 + 10 = 15 + 10 = 25$

Равенство выполняется, если все знаки — плюсы. Таким образом, исходное равенство будет выглядеть так:

$25a^2b^4 = 3a^2b^4 + 5a^2b^4 + 7a^2b^4 + 10a^2b^4$

Ответ: $25a^2b^4 = 3a^2b^4 + 5a^2b^4 + 7a^2b^4 + 10a^2b^4$

б) Все слагаемые имеют одинаковую буквенную часть $x^3y^9$. Рассмотрим равенство для коэффициентов:

$43 = 50 \dots 7$

Чтобы из 50 получить 43, необходимо вычесть 7:

$50 - 7 = 43$

Следовательно, вместо многоточия нужно поставить знак «-».

Ответ: $43x^3y^9 = 50x^3y^9 - 7x^3y^9$

в) Буквенная часть всех одночленов — $c^8d^{10}$. Равенство для коэффициентов:

$79 = 85 \dots 10 \dots 4$

Подберем знаки. Нам нужно получить 79, начав с 85. Это меньше, чем 85, поэтому логично предположить, что первый знак будет «-».

$85 - 10 = 75$

Теперь нужно из 75 получить 79, используя 4. Для этого нужно прибавить 4:

$75 + 4 = 79$

Значит, искомая комбинация знаков: «-» и «+».

Ответ: $79c^8d^{10} = 85c^8d^{10} - 10c^8d^{10} + 4c^8d^{10}$

г) Общая буквенная часть слагаемых — $p^nq^nz^n$. Рассмотрим равенство для коэффициентов:

$99 = 100 \dots 10 \dots 15 \dots 4$

Чтобы упростить подбор, перенесем 100 в левую часть:

$99 - 100 = \dots 10 \dots 15 \dots 4$

$-1 = \dots 10 \dots 15 \dots 4$

Теперь нужно подобрать знаки у чисел 10, 15 и 4 так, чтобы их алгебраическая сумма была равна -1. Пробуем разные комбинации:

$+10 - 15 = -5$

$-5 + 4 = -1$

Эта комбинация подходит. Значит, перед 10 должен стоять «+», перед 15 — «-», а перед 4 — «+». Проверим исходное равенство с этими знаками:

$100 + 10 - 15 + 4 = 110 - 15 + 4 = 95 + 4 = 99$

Равенство верно.

Ответ: $99p^nq^nz^n = 100p^nq^nz^n + 10p^nq^nz^n - 15p^nq^nz^n + 4p^nq^nz^n$

25.37 Некоторое число уменьшили на 15%, а затем результат увеличили на 10%. После этого получили число, которое на 13 меньше первоначального. Найдите первоначальное число.

Пусть первоначальное число равно $x$.

Первый шаг — уменьшение числа на 15%. Чтобы уменьшить число на 15%, нужно умножить его на коэффициент, соответствующий оставшейся части, то есть $100\% - 15\% = 85\%$. В виде десятичной дроби это 0,85.
Число после первого изменения: $x \cdot 0.85 = 0.85x$.

Второй шаг — увеличение результата на 10%. Чтобы увеличить число на 10%, нужно умножить его на коэффициент $100\% + 10\% = 110\%$, что в виде десятичной дроби равно 1,1.
Применяем это изменение к результату первого шага: $(0.85x) \cdot 1.1$.
Вычислим произведение коэффициентов: $0.85 \cdot 1.1 = 0.935$.
Таким образом, итоговое число равно $0.935x$.

По условию задачи, полученное число на 13 меньше первоначального. Это можно записать в виде уравнения:
$x - 0.935x = 13$
Упростим левую часть уравнения:
$(1 - 0.935)x = 13$
$0.065x = 13$
Теперь выразим $x$:
$x = \frac{13}{0.065}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель дроби на 1000, чтобы избавиться от десятичного знака в знаменателе:
$x = \frac{13 \cdot 1000}{0.065 \cdot 1000} = \frac{13000}{65}$
Сократим полученную дробь. Заметим, что и числитель, и знаменатель делятся на 13:
$x = \frac{13000 \div 13}{65 \div 13} = \frac{1000}{5}$
$x = 200$

Проверим результат:
1. Первоначальное число: 200.
2. Уменьшаем на 15%: $200 \cdot (1 - 0.15) = 200 \cdot 0.85 = 170$.
3. Увеличиваем результат на 10%: $170 \cdot (1 + 0.10) = 170 \cdot 1.1 = 187$.
4. Сравниваем итоговое число с первоначальным: $200 - 187 = 13$.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 200

25.38 Задуманное число сначала увеличили на 12%, а затем результат уменьшили на 24%. Полученное при этом число оказалось на 186 меньше задуманного. Найдите задуманное число.

Пусть $x$ — это задуманное число.

Сначала число увеличили на 12%. Чтобы увеличить число на 12%, нужно умножить его на 1,12. Получим новое число:

$x \cdot (1 + \frac{12}{100}) = x \cdot 1.12 = 1.12x$

Затем полученный результат уменьшили на 24%. Чтобы уменьшить число на 24%, нужно умножить его на (1 - 0,24) = 0,76. Получим конечное число:

$1.12x \cdot (1 - \frac{24}{100}) = 1.12x \cdot 0.76$

Вычислим, во сколько раз в итоге изменилось число:

$1.12 \cdot 0.76 = 0.8512$

Таким образом, конечное число равно $0.8512x$.

По условию задачи, полученное число оказалось на 186 меньше задуманного. Это можно записать в виде уравнения:

$x - 0.8512x = 186$

Решим это уравнение, чтобы найти $x$:

$(1 - 0.8512)x = 186$

$0.1488x = 186$

$x = \frac{186}{0.1488}$

$x = 1250$

Следовательно, задуманное число равно 1250.

Ответ: 1250