Страница 121, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

26.14 Представьте данный одночлен в виде квадрата некоторого одночлена:

а) $81a^4;$

б) $36b^6;$

в) $144c^{12};$

г) $169d^4.$

а) Чтобы представить одночлен $81a^4$ в виде квадрата некоторого одночлена, необходимо найти такое выражение, которое при возведении в квадрат даст исходный одночлен. Для этого воспользуемся свойством степени $(xy)^n = x^n y^n$.

Рассмотрим числовой коэффициент 81. Мы знаем, что $9^2 = 81$.

Рассмотрим переменную часть $a^4$. Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$, мы можем представить $a^4$ как $(a^2)^2$, поскольку $2 \cdot 2 = 4$.

Объединяя обе части, получаем: $81a^4 = 9^2 \cdot (a^2)^2 = (9a^2)^2$.

Ответ: $(9a^2)^2$.

б) Представим одночлен $36b^6$ в виде квадрата.

Числовой коэффициент 36 можно представить как квадрат числа 6, то есть $36 = 6^2$.

Переменную часть $b^6$ можно представить в виде квадрата, разделив показатель степени на 2: $b^6 = (b^3)^2$, так как $3 \cdot 2 = 6$.

Таким образом, $36b^6 = 6^2 \cdot (b^3)^2 = (6b^3)^2$.

Ответ: $(6b^3)^2$.

в) Представим одночлен $144c^{12}$ в виде квадрата.

Находим квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{144} = 12$, следовательно, $144 = 12^2$.

Для переменной части $c^{12}$ делим показатель степени на 2: $c^{12} = (c^{12/2})^2 = (c^6)^2$.

Соединяя результаты, получаем: $144c^{12} = 12^2 \cdot (c^6)^2 = (12c^6)^2$.

Ответ: $(12c^6)^2$.

г) Представим одночлен $169d^4$ в виде квадрата.

Числовой коэффициент 169 является квадратом числа 13: $169 = 13^2$.

Переменную часть $d^4$ представляем в виде квадрата: $d^4 = (d^{4/2})^2 = (d^2)^2$.

Следовательно, итоговое выражение: $169d^4 = 13^2 \cdot (d^2)^2 = (13d^2)^2$.

Ответ: $(13d^2)^2$.

26.15 Представьте данный одночлен в виде куба некоторого одночлена:

а) $0.008b^6$;

б) $0.027b^9$;

в) $0.001y^{24}$;

г) $-\frac{8}{27}a^6$.

а) Чтобы представить одночлен $0,008b^6$ в виде куба некоторого одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении в третью степень (в куб) даст исходное выражение. Для этого воспользуемся свойствами степеней: $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
Искомый одночлен будет иметь вид $(A)^3$, где $A$ — это некоторый одночлен. Чтобы найти $A$, нужно извлечь кубический корень из каждого множителя исходного одночлена.
1. Найдём кубический корень из числового коэффициента: $\sqrt[3]{0,008}$. Так как $0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,008$, то $\sqrt[3]{0,008} = 0,2$.
2. Найдём корень из переменной в степени. Для этого показатель степени нужно разделить на 3: $\sqrt[3]{b^6} = b^{6/3} = b^2$.
Таким образом, искомый одночлен, который нужно возвести в куб, — это $0,2b^2$. Проверим: $(0,2b^2)^3 = (0,2)^3 \cdot (b^2)^3 = 0,008b^6$. Следовательно, представление данного одночлена в виде куба: $0,008b^6 = (0,2b^2)^3$.
Ответ: $(0,2b^2)^3$.

б) Представим одночлен $0,027b^9$ в виде куба. Для этого найдём одночлен, третья степень которого равна исходному выражению.
1. Найдём кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,027}$. Так как $0,3^3 = 0,027$, то $\sqrt[3]{0,027} = 0,3$.
2. Найдём кубический корень из переменной в степени, разделив её показатель на 3: $\sqrt[3]{b^9} = b^{9/3} = b^3$.
Таким образом, искомый одночлен — это $0,3b^3$. Запишем исходный одночлен в виде куба: $0,027b^9 = (0,3b^3)^3$.
Ответ: $(0,3b^3)^3$.

в) Представим одночлен $0,001y^{24}$ в виде куба.
1. Найдём кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{0,001}$. Так как $0,1^3 = 0,001$, то $\sqrt[3]{0,001} = 0,1$.
2. Найдём кубический корень из переменной в степени, разделив её показатель на 3: $\sqrt[3]{y^{24}} = y^{24/3} = y^8$.
Значит, одночлен, который мы ищем, — это $0,1y^8$. Представление в виде куба: $0,001y^{24} = (0,1y^8)^3$.
Ответ: $(0,1y^8)^3$.

г) Представим одночлен $-\frac{8}{27}a^6$ в виде куба.
1. Найдём кубический корень из коэффициента: $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}}$. Так как $\sqrt[3]{-8} = -2$ и $\sqrt[3]{27} = 3$, то $\sqrt[3]{-\frac{8}{27}} = \frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} = -\frac{2}{3}$.
2. Найдём кубический корень из переменной в степени, разделив её показатель на 3: $\sqrt[3]{a^6} = a^{6/3} = a^2$.
Следовательно, одночлен, который нужно возвести в куб, — это $-\frac{2}{3}a^2$. Запишем представление в виде куба: $-\frac{8}{27}a^6 = (-\frac{2}{3}a^2)^3$.
Ответ: $(-\frac{2}{3}a^2)^3$.

Упростите выражение:

26.16

а) $20a^3 \cdot (5a)^2$;

б) $-0,4x^5 \cdot (2x^3)^4$;

в) $(-c^3)^2 \cdot 12c^6$;

г) $(4ac^2)^3 \cdot 0,5a^3c$.

а) $20a^3 \cdot (5a)^2$

Для упрощения выражения сначала возведем в степень множитель в скобках, используя свойство степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$:

$(5a)^2 = 5^2 \cdot a^2 = 25a^2$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$20a^3 \cdot 25a^2$

Далее перемножим числовые коэффициенты и степени с одинаковым основанием, используя правило умножения степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$(20 \cdot 25) \cdot (a^3 \cdot a^2) = 500 \cdot a^{3+2} = 500a^5$

Ответ: $500a^5$

б) $-0,4x^5 \cdot (2x^3)^4$

Сначала упростим выражение в скобках, используя свойства степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$ и возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(2x^3)^4 = 2^4 \cdot (x^3)^4 = 16 \cdot x^{3 \cdot 4} = 16x^{12}$

Подставим полученное выражение обратно в исходное:

$-0,4x^5 \cdot 16x^{12}$

Теперь перемножим коэффициенты и степени с одинаковым основанием:

$(-0,4 \cdot 16) \cdot (x^5 \cdot x^{12}) = -6,4 \cdot x^{5+12} = -6,4x^{17}$

Ответ: $-6,4x^{17}$

в) $(-c^3)^2 \cdot 12c^6$

Упростим первый множитель. Так как отрицательное основание возводится в четную степень, результат будет положительным. Используем свойство возведения степени в степень $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(-c^3)^2 = (c^3)^2 = c^{3 \cdot 2} = c^6$

Подставим упрощенный множитель в выражение:

$c^6 \cdot 12c^6$

Перемножим, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$12 \cdot (c^6 \cdot c^6) = 12 \cdot c^{6+6} = 12c^{12}$

Ответ: $12c^{12}$

г) $(4ac^2)^3 \cdot 0,5a^3c$

Сначала возведем в степень выражение в скобках, используя свойства $(xyz)^n = x^n y^n z^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:

$(4ac^2)^3 = 4^3 \cdot a^3 \cdot (c^2)^3 = 64 \cdot a^3 \cdot c^{2 \cdot 3} = 64a^3c^6$

Подставим полученный результат в исходное выражение:

$64a^3c^6 \cdot 0,5a^3c$

Сгруппируем и перемножим числовые коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями (учитывая, что $c = c^1$):

$(64 \cdot 0,5) \cdot (a^3 \cdot a^3) \cdot (c^6 \cdot c^1) = 32 \cdot a^{3+3} \cdot c^{6+1} = 32a^6c^7$

Ответ: $32a^6c^7$

26.17 а) $(3x^6y^3)^4 \cdot (-\frac{1}{81}xy^2)$;

б) $(\frac{2}{3}x^2y^3)^3 \cdot (-9x^4)^2$;

в) $(3a^2)^2 \cdot (-6a^3)$;

г) $(\frac{1}{8}x^2y^3) \cdot (2x^6y)^4$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней: $(ab)^n = a^n b^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.
Сначала возведем в степень первый множитель:
$(3x^6y^3)^4 = 3^4 \cdot (x^6)^4 \cdot (y^3)^4 = 81x^{6 \cdot 4}y^{3 \cdot 4} = 81x^{24}y^{12}$.
Теперь умножим полученное выражение на второй множитель:
$81x^{24}y^{12} \cdot (-\frac{1}{81}xy^2)$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные:
$(81 \cdot (-\frac{1}{81})) \cdot (x^{24} \cdot x) \cdot (y^{12} \cdot y^2) = -1 \cdot x^{24+1} \cdot y^{12+2} = -x^{25}y^{14}$.
Ответ: $-x^{25}y^{14}$.

б) Применим свойства степеней к обоим множителям.
Возведем в степень первый множитель:
$(\frac{2}{3}x^2y^3)^3 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (x^2)^3 \cdot (y^3)^3 = \frac{8}{27}x^{2 \cdot 3}y^{3 \cdot 3} = \frac{8}{27}x^6y^9$.
Возведем в степень второй множитель. Так как степень четная (2), знак минус исчезнет:
$(-9x^4)^2 = (-9)^2 \cdot (x^4)^2 = 81x^{4 \cdot 2} = 81x^8$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\frac{8}{27}x^6y^9 \cdot 81x^8$.
Сгруппируем и упростим:
$(\frac{8}{27} \cdot 81) \cdot (x^6 \cdot x^8) \cdot y^9 = (8 \cdot \frac{81}{27}) \cdot x^{6+8} \cdot y^9 = (8 \cdot 3) \cdot x^{14} \cdot y^9 = 24x^{14}y^9$.
Ответ: $24x^{14}y^9$.

в) Сначала упростим первый множитель, возведя его в степень:
$(3a^2)^2 = 3^2 \cdot (a^2)^2 = 9a^{2 \cdot 2} = 9a^4$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель:
$9a^4 \cdot (-6a^3)$.
Перемножим коэффициенты и степени с одинаковым основанием:
$(9 \cdot (-6)) \cdot (a^4 \cdot a^3) = -54a^{4+3} = -54a^7$.
Ответ: $-54a^7$.

г) В этом примере нужно возвести в степень второй множитель.
$(2x^6y)^4 = 2^4 \cdot (x^6)^4 \cdot y^4 = 16x^{6 \cdot 4}y^4 = 16x^{24}y^4$.
Теперь перемножим его с первым множителем:
$(\frac{1}{8}x^2y^3) \cdot (16x^{24}y^4)$.
Сгруппируем коэффициенты и переменные для упрощения:
$(\frac{1}{8} \cdot 16) \cdot (x^2 \cdot x^{24}) \cdot (y^3 \cdot y^4) = 2 \cdot x^{2+24} \cdot y^{3+4} = 2x^{26}y^7$.
Ответ: $2x^{26}y^7$.

26.18 a) $(0,2b^6)^3 \cdot 5b;$

б) $\frac{9}{16}p^7 \cdot \left(-1\frac{1}{3}p^4\right)^0;$

в) $(2ab)^4 \cdot (-7a^7b);$

г) $\left(3\frac{1}{3}a^2\right)^3 \cdot 81a^5.$

а) $(0,2b^6)^3 \cdot 5b$

Чтобы упростить выражение, сначала возведем одночлен $(0,2b^6)$ в куб. Для этого используем свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$.
$(0,2b^6)^3 = (0,2)^3 \cdot (b^6)^3 = 0,008 \cdot b^{6 \cdot 3} = 0,008b^{18}$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель $5b$:
$0,008b^{18} \cdot 5b = (0,008 \cdot 5) \cdot (b^{18} \cdot b) = 0,04 \cdot b^{18+1} = 0,04b^{19}$.
Ответ: $0,04b^{19}$.

б) $\frac{9}{16}p^7 \cdot \left(-1\frac{1}{3}p^4\right)^0$

Любое число или выражение (кроме нуля), возведенное в нулевую степень, равно единице. То есть, $a^0 = 1$ при $a \neq 0$.
Поэтому, $\left(-1\frac{1}{3}p^4\right)^0 = 1$ (при условии, что $p \neq 0$).
Теперь умножим первый множитель на 1:
$\frac{9}{16}p^7 \cdot 1 = \frac{9}{16}p^7$.
Ответ: $\frac{9}{16}p^7$.

в) $(2ab)^4 \cdot (-7a^7b)$

Сначала возведем одночлен $(2ab)$ в четвертую степень. Используем свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.
$(2ab)^4 = 2^4 \cdot a^4 \cdot b^4 = 16a^4b^4$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель $(-7a^7b)$:
$16a^4b^4 \cdot (-7a^7b) = (16 \cdot (-7)) \cdot (a^4 \cdot a^7) \cdot (b^4 \cdot b)$.
Используем свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ для переменных:
$(16 \cdot (-7)) = -112$.
$(a^4 \cdot a^7) = a^{4+7} = a^{11}$.
$(b^4 \cdot b) = b^{4+1} = b^5$.
Собираем все вместе: $-112a^{11}b^5$.
Ответ: $-112a^{11}b^5$.

г) $\left(3\frac{1}{3}a^2\right)^3 \cdot 81a^5$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{10}{3}$.
Выражение примет вид: $\left(\frac{10}{3}a^2\right)^3 \cdot 81a^5$.
Возведем первый множитель в куб, используя свойства степени $(xy)^n = x^n y^n$ и $(x^m)^n = x^{mn}$:
$\left(\frac{10}{3}a^2\right)^3 = \left(\frac{10}{3}\right)^3 \cdot (a^2)^3 = \frac{10^3}{3^3} \cdot a^{2 \cdot 3} = \frac{1000}{27}a^6$.
Теперь умножим полученный результат на второй множитель $81a^5$:
$\frac{1000}{27}a^6 \cdot 81a^5 = \left(\frac{1000}{27} \cdot 81\right) \cdot (a^6 \cdot a^5)$.
Сократим дробь и число: $\frac{1000 \cdot 81}{27} = 1000 \cdot 3 = 3000$.
Перемножим переменные: $a^6 \cdot a^5 = a^{6+5} = a^{11}$.
Собираем все вместе: $3000a^{11}$.
Ответ: $3000a^{11}$.

Упростите выражение:

26.19 а) $\frac{3}{5}a^2b^2c \cdot 5ab^2c^3 \cdot \frac{1}{3}ac^2;$

б) $\frac{1}{8}x^5y^4z^3 \cdot (-8xy^3z);$

в) $3,5xz^3 \cdot \left(-3\frac{1}{2}x^2z\right) \cdot (-5xz);$

г) $2cd^3 \cdot \left(-\frac{1}{2}cd^2\right) \cdot (-2c^2d^2).$

а) Чтобы упростить выражение $\frac{3}{5}a^2b^2c \cdot 5ab^2c^3 \cdot \frac{1}{3}ac^2$, сгруппируем и перемножим отдельно числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
Произведение коэффициентов: $\frac{3}{5} \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 3} = 1$.
Произведение степеней с основанием $a$: $a^2 \cdot a \cdot a = a^{2+1+1} = a^4$.
Произведение степеней с основанием $b$: $b^2 \cdot b^2 = b^{2+2} = b^4$.
Произведение степеней с основанием $c$: $c \cdot c^3 \cdot c^2 = c^{1+3+2} = c^6$.
Объединяем полученные результаты: $1 \cdot a^4b^4c^6 = a^4b^4c^6$.
Ответ: $a^4b^4c^6$

б) Упростим выражение $\frac{1}{8}x^5y^4z^3 \cdot (-8xy^3z)$.
Перемножим коэффициенты: $\frac{1}{8} \cdot (-8) = -1$.
Перемножим степени с основанием $x$: $x^5 \cdot x = x^{5+1} = x^6$.
Перемножим степени с основанием $y$: $y^4 \cdot y^3 = y^{4+3} = y^7$.
Перемножим степени с основанием $z$: $z^3 \cdot z = z^{3+1} = z^4$.
Собираем всё вместе: $-1 \cdot x^6y^7z^4 = -x^6y^7z^4$.
Ответ: $-x^6y^7z^4$

в) Упростим выражение $3,5xz^3 \cdot (-3\frac{1}{2}x^2z) \cdot (-5xz)$.
Сначала преобразуем все коэффициенты в один формат. $3,5 = \frac{7}{2}$ и $-3\frac{1}{2} = -\frac{7}{2}$.
Выражение примет вид: $\frac{7}{2}xz^3 \cdot (-\frac{7}{2}x^2z) \cdot (-5xz)$.
Найдем произведение коэффициентов: $\frac{7}{2} \cdot (-\frac{7}{2}) \cdot (-5) = \frac{7 \cdot (-7) \cdot (-5)}{2 \cdot 2} = \frac{245}{4} = 61,25$.
Найдем произведение степеней с основанием $x$: $x \cdot x^2 \cdot x = x^{1+2+1} = x^4$.
Найдем произведение степеней с основанием $z$: $z^3 \cdot z \cdot z = z^{3+1+1} = z^5$.
Итоговый результат: $61,25x^4z^5$.
Ответ: $61,25x^4z^5$

г) Упростим выражение $2cd^3 \cdot (-\frac{1}{2}cd^2) \cdot (-2c^2d^2)$.
Перемножим числовые коэффициенты: $2 \cdot (-\frac{1}{2}) \cdot (-2) = -1 \cdot (-2) = 2$.
Перемножим степени с основанием $c$: $c \cdot c \cdot c^2 = c^{1+1+2} = c^4$.
Перемножим степени с основанием $d$: $d^3 \cdot d^2 \cdot d^2 = d^{3+2+2} = d^7$.
Объединяем результаты: $2c^4d^7$.
Ответ: $2c^4d^7$

26.20 a) $ab \cdot (-a^2b) \cdot (-ab^2);$

Б) $x^2y \cdot xy \cdot (-x^2y^2);$

В) $mn \cdot (-m^2n^5) \cdot (-m^8n^4);$

Г) $(-p^3q^4) \cdot (-pq) \cdot (-2p^2q^2).$

а) $ab \cdot (-a^2b) \cdot (-ab^2)$
Чтобы найти произведение одночленов, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и сложить показатели степеней для каждой переменной с одинаковым основанием.
1. Найдём произведение коэффициентов: $1 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$. Так как в произведении два отрицательных множителя, результат будет положительным.
2. Найдём произведение степеней с основанием $a$: $a^1 \cdot a^2 \cdot a^1 = a^{1+2+1} = a^4$.
3. Найдём произведение степеней с основанием $b$: $b^1 \cdot b^1 \cdot b^2 = b^{1+1+2} = b^4$.
4. Объединим полученные результаты: $1 \cdot a^4 \cdot b^4 = a^4b^4$.
Ответ: $a^4b^4$.

б) $x^2y \cdot xy \cdot (-x^2y^2)$
Для нахождения произведения данных одночленов воспользуемся тем же правилом.
1. Перемножим числовые коэффициенты: $1 \cdot 1 \cdot (-1) = -1$.
2. Перемножим степени с основанием $x$, сложив их показатели: $x^2 \cdot x^1 \cdot x^2 = x^{2+1+2} = x^5$.
3. Перемножим степени с основанием $y$, сложив их показатели: $y^1 \cdot y^1 \cdot y^2 = y^{1+1+2} = y^4$.
4. Запишем итоговый одночлен: $-1 \cdot x^5 \cdot y^4 = -x^5y^4$.
Ответ: $-x^5y^4$.

в) $mn \cdot (-m^2n^5) \cdot (-m^8n^4)$
Выполним умножение одночленов пошагово.
1. Найдём произведение коэффициентов: $1 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$.
2. Найдём произведение степеней с основанием $m$: $m^1 \cdot m^2 \cdot m^8 = m^{1+2+8} = m^{11}$.
3. Найдём произведение степеней с основанием $n$: $n^1 \cdot n^5 \cdot n^4 = n^{1+5+4} = n^{10}$.
4. Объединим результаты: $1 \cdot m^{11} \cdot n^{10} = m^{11}n^{10}$.
Ответ: $m^{11}n^{10}$.

г) $(-p^3q^4) \cdot (-pq) \cdot (-2p^2q^2)$
Чтобы решить данный пример, перемножим все компоненты одночленов.
1. Перемножим числовые коэффициенты: $(-1) \cdot (-1) \cdot (-2) = -2$. Произведение нечетного числа отрицательных множителей отрицательно.
2. Перемножим степени с основанием $p$: $p^3 \cdot p^1 \cdot p^2 = p^{3+1+2} = p^6$.
3. Перемножим степени с основанием $q$: $q^4 \cdot q^1 \cdot q^2 = q^{4+1+2} = q^7$.
4. Составим итоговый одночлен: $-2 \cdot p^6 \cdot q^7 = -2p^6q^7$.
Ответ: $-2p^6q^7$.

26.21 a) $1\frac{1}{6}cd \cdot \left(-\frac{6}{7}c^3d^2\right)$;

б) $-1\frac{1}{4}a^2b^3c^7 \cdot \left(-1\frac{1}{15}ab^7c^8\right)$;

в) $\frac{19}{23}mn^8p^9 \cdot \left(-\frac{46}{57}m^{10}n^3p^2\right)$;

г) $-\frac{1}{14}xyz \cdot \left(-2\frac{4}{5}x^2y^3z^6\right).$

а) Чтобы умножить два одночлена, нужно перемножить их числовые коэффициенты и перемножить степени с одинаковыми основаниями (при этом показатели степеней складываются).
$1\frac{1}{6}cd \cdot \left(-\frac{6}{7}c^3d^2\right)$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$.
Теперь выполним умножение:
$\frac{7}{6}cd \cdot \left(-\frac{6}{7}c^3d^2\right) = \left(\frac{7}{6} \cdot \left(-\frac{6}{7}\right)\right) \cdot (c \cdot c^3) \cdot (d \cdot d^2)$
Перемножим коэффициенты: $\frac{7}{6} \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) = -1$.
Перемножим переменные: $c \cdot c^3 = c^{1+3} = c^4$ и $d \cdot d^2 = d^{1+2} = d^3$.
Собираем все вместе: $-1 \cdot c^4d^3 = -c^4d^3$.
Ответ: $-c^4d^3$

б) $-1\frac{1}{4}a^2b^3c^7 \cdot \left(-1\frac{1}{15}ab^7c^8\right)$
Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$-1\frac{1}{4} = -\frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = -\frac{5}{4}$
$-1\frac{1}{15} = -\frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = -\frac{16}{15}$
Теперь выполним умножение:
$\left(-\frac{5}{4}a^2b^3c^7\right) \cdot \left(-\frac{16}{15}ab^7c^8\right) = \left(-\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{16}{15}\right)\right) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b^3 \cdot b^7) \cdot (c^7 \cdot c^8)$
Перемножим коэффициенты: $-\frac{5}{4} \cdot \left(-\frac{16}{15}\right) = \frac{5 \cdot 16}{4 \cdot 15} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{4}{3}$.
Перемножим переменные: $a^2 \cdot a = a^{2+1} = a^3$; $b^3 \cdot b^7 = b^{3+7} = b^{10}$; $c^7 \cdot c^8 = c^{7+8} = c^{15}$.
Собираем все вместе: $\frac{4}{3}a^3b^{10}c^{15}$.
Ответ: $\frac{4}{3}a^3b^{10}c^{15}$

в) $\frac{19}{23}mn^8p^9 \cdot \left(-\frac{46}{57}m^{10}n^3p^2\right)$
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные:
$\left(\frac{19}{23} \cdot \left(-\frac{46}{57}\right)\right) \cdot (m \cdot m^{10}) \cdot (n^8 \cdot n^3) \cdot (p^9 \cdot p^2)$
Перемножим коэффициенты, предварительно сократив дроби: $46 = 2 \cdot 23$ и $57 = 3 \cdot 19$.
$\frac{19}{23} \cdot \left(-\frac{46}{57}\right) = \frac{19}{23} \cdot \left(-\frac{2 \cdot 23}{3 \cdot 19}\right) = -\frac{19 \cdot 2 \cdot 23}{23 \cdot 3 \cdot 19} = -\frac{2}{3}$.
Перемножим переменные: $m \cdot m^{10} = m^{1+10} = m^{11}$; $n^8 \cdot n^3 = n^{8+3} = n^{11}$; $p^9 \cdot p^2 = p^{9+2} = p^{11}$.
Собираем все вместе: $-\frac{2}{3}m^{11}n^{11}p^{11}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}m^{11}n^{11}p^{11}$

г) $-\frac{1}{14}xyz \cdot \left(-2\frac{4}{5}x^2y^3z^6\right)$
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$-2\frac{4}{5} = -\frac{2 \cdot 5 + 4}{5} = -\frac{14}{5}$
Теперь выполним умножение:
$\left(-\frac{1}{14}xyz\right) \cdot \left(-\frac{14}{5}x^2y^3z^6\right) = \left(-\frac{1}{14} \cdot \left(-\frac{14}{5}\right)\right) \cdot (x \cdot x^2) \cdot (y \cdot y^3) \cdot (z \cdot z^6)$
Перемножим коэффициенты: $-\frac{1}{14} \cdot \left(-\frac{14}{5}\right) = \frac{14}{14 \cdot 5} = \frac{1}{5}$.
Перемножим переменные: $x \cdot x^2 = x^{1+2} = x^3$; $y \cdot y^3 = y^{1+3} = y^4$; $z \cdot z^6 = z^{1+6} = z^7$.
Собираем все вместе: $\frac{1}{5}x^3y^4z^7$.
Ответ: $\frac{1}{5}x^3y^4z^7$