Страница 113, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

24.12 Найдите значение одночлена:

а) $a^2b^{10}cd^2$, если $a = 0,2, b = -1, c = 15, d = -2;$

б) $-\frac{4}{9}s^3t^4r^6$, если $s = 1, t = 2, r = -1.$

а) Для нахождения значения одночлена $a^2b^{10}cd^2$ подставим в него заданные значения переменных $a = 0,2$, $b = -1$, $c = 15$, $d = -2$.

Получаем следующее выражение для вычисления:

$(0,2)^2 \cdot (-1)^{10} \cdot 15 \cdot (-2)^2$

Сначала вычислим значения степеней:

$(0,2)^2 = 0,04$

$(-1)^{10} = 1$, так как отрицательное число в четной степени всегда положительно.

$(-2)^2 = 4$, по той же причине.

Теперь перемножим полученные результаты:

$0,04 \cdot 1 \cdot 15 \cdot 4 = 0,04 \cdot (15 \cdot 4) = 0,04 \cdot 60 = 2,4$.

Ответ: $2,4$

б) Для нахождения значения одночлена $\frac{4}{9}s^3t^4r^6$ подставим в него заданные значения переменных $s = 1$, $t = 2$, $r = -1$.

Получаем следующее выражение для вычисления:

$\frac{4}{9} \cdot (1)^3 \cdot (2)^4 \cdot (-1)^6$

Сначала вычислим значения степеней:

$(1)^3 = 1$

$(2)^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

$(-1)^6 = 1$, так как число $-1$ в четной степени равно $1$.

Теперь перемножим все множители:

$\frac{4}{9} \cdot 1 \cdot 16 \cdot 1 = \frac{4 \cdot 16}{9} = \frac{64}{9}$.

Этот результат можно представить в виде смешанной дроби $7\frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{64}{9}$

Приведите выражение к одночлену стандартного вида и укажите коэффициент и буквенную часть:

24.13 а) $13a \cdot 2b \cdot 4b \cdot 8a;$

б) $5^2pq^2 \cdot (-4)^2qpq;$

в) $14c^3 \cdot (-5)cd^2 \cdot 3d;$

г) $2^4x^9y^8(-2)^2(-x)^4(-y)^3.$

а) Чтобы привести выражение $13a \cdot 2b \cdot 4b \cdot 8a$ к одночлену стандартного вида, необходимо отдельно перемножить числовые множители и отдельно переменные.
Найдем произведение числовых коэффициентов:
$13 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 8 = 26 \cdot 32 = 832$
Теперь сгруппируем и перемножим переменные, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):
$(a \cdot a) \cdot (b \cdot b) = a^{1+1}b^{1+1} = a^2b^2$
Объединив числовую и буквенную части, получаем одночлен в стандартном виде: $832a^2b^2$.
Ответ: стандартный вид: $832a^2b^2$, коэффициент: $832$, буквенная часть: $a^2b^2$.

б) Рассмотрим выражение $5^2pq^2 \cdot (-4)^2qpq$.
Сначала вычислим числовые множители и найдем их произведение:
$5^2 \cdot (-4)^2 = 25 \cdot 16 = 400$
Далее сгруппируем и перемножим переменные:
$(p \cdot p) \cdot (q^2 \cdot q \cdot q) = p^{1+1}q^{2+1+1} = p^2q^4$
Таким образом, одночлен в стандартном виде: $400p^2q^4$.
Ответ: стандартный вид: $400p^2q^4$, коэффициент: $400$, буквенная часть: $p^2q^4$.

в) Приведем выражение $14c^3 \cdot (-5)cd^2 \cdot 3d$ к стандартному виду.
Перемножим числовые коэффициенты:
$14 \cdot (-5) \cdot 3 = -70 \cdot 3 = -210$
Перемножим переменные, сгруппировав их по основаниям:
$(c^3 \cdot c) \cdot (d^2 \cdot d) = c^{3+1}d^{2+1} = c^4d^3$
Получаем одночлен стандартного вида: $-210c^4d^3$.
Ответ: стандартный вид: $-210c^4d^3$, коэффициент: $-210$, буквенная часть: $c^4d^3$.

г) Рассмотрим выражение $2^4x^9y^8(-2)^2(-x)^4(-y)^3$.
Сначала упростим каждый множитель, возведя в степень:
$2^4 = 16$
$(-2)^2 = 4$
$(-x)^4 = x^4$ (отрицательное основание в четной степени дает положительный результат)
$(-y)^3 = -y^3$ (отрицательное основание в нечетной степени дает отрицательный результат)
Теперь выражение можно переписать как: $16x^9y^8 \cdot 4 \cdot x^4 \cdot (-1)y^3$.
Перемножим числовые коэффициенты:
$16 \cdot 4 \cdot (-1) = -64$
Перемножим переменные:
$(x^9 \cdot x^4) \cdot (y^8 \cdot y^3) = x^{9+4}y^{8+3} = x^{13}y^{11}$
Итоговый одночлен в стандартном виде: $-64x^{13}y^{11}$.
Ответ: стандартный вид: $-64x^{13}y^{11}$, коэффициент: $-64$, буквенная часть: $x^{13}y^{11}$.

24.14 а) $0.45a^2bc^5 \cdot \frac{10}{9}a^7b^6c;$

Б) $-6p^4n^3\left(-\frac{1}{3}n^2p^2\right);$

В) $0.4b^3x^4y \cdot \frac{1}{24}bx^3y^7;$

Г) $-3a^2b^4\left(-\frac{1}{9}a^3b^4\right).$

а) Чтобы найти произведение одночленов $0,45a^2bc^5 \cdot 1\frac{1}{9}a^7b^6c$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Сгруппируем множители:

$(0,45 \cdot 1\frac{1}{9}) \cdot (a^2 \cdot a^7) \cdot (b \cdot b^6) \cdot (c^5 \cdot c)$

Вычислим произведение коэффициентов, предварительно преобразовав их в обыкновенные дроби:

$0,45 \cdot 1\frac{1}{9} = \frac{45}{100} \cdot \frac{10}{9} = \frac{9}{20} \cdot \frac{10}{9} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$

Перемножим степени с одинаковыми основаниями, сложив их показатели ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^2 \cdot a^7 = a^{2+7} = a^9$

$b \cdot b^6 = b^{1+6} = b^7$

$c^5 \cdot c = c^{5+1} = c^6$

Объединим результаты:

$\frac{1}{2}a^9b^7c^6$

Ответ: $\frac{1}{2}a^9b^7c^6$

б) Выполним умножение одночленов $-6p^4n^3(-\frac{1}{3}n^2p^2)$. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$(-6 \cdot (-\frac{1}{3})) \cdot (p^4 \cdot p^2) \cdot (n^3 \cdot n^2)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$-6 \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{6}{3} = 2$

Перемножим переменные, сложив показатели степеней:

$p^4 \cdot p^2 = p^{4+2} = p^6$

$n^3 \cdot n^2 = n^{3+2} = n^5$

Объединим результаты:

$2p^6n^5$

Ответ: $2p^6n^5$

в) Найдем произведение $0,4b^3x^4y \cdot \frac{1}{24}bx^3y^7$. Сгруппируем множители:

$(0,4 \cdot \frac{1}{24}) \cdot (b^3 \cdot b) \cdot (x^4 \cdot x^3) \cdot (y \cdot y^7)$

Вычислим произведение коэффициентов, представив десятичную дробь в виде обыкновенной:

$0,4 \cdot \frac{1}{24} = \frac{4}{10} \cdot \frac{1}{24} = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{24} = \frac{2}{120} = \frac{1}{60}$

Перемножим переменные, сложив показатели степеней:

$b^3 \cdot b = b^{3+1} = b^4$

$x^4 \cdot x^3 = x^{4+3} = x^7$

$y \cdot y^7 = y^{1+7} = y^8$

Объединим результаты:

$\frac{1}{60}b^4x^7y^8$

Ответ: $\frac{1}{60}b^4x^7y^8$

г) Выполним умножение $-3a^2b^4(-\frac{1}{9}a^3b^4)$. Сгруппируем коэффициенты и переменные:

$(-3 \cdot (-\frac{1}{9})) \cdot (a^2 \cdot a^3) \cdot (b^4 \cdot b^4)$

Перемножим числовые коэффициенты:

$-3 \cdot (-\frac{1}{9}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

Перемножим переменные, сложив показатели степеней:

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$

$b^4 \cdot b^4 = b^{4+4} = b^8$

Объединим результаты:

$\frac{1}{3}a^5b^8$

Ответ: $\frac{1}{3}a^5b^8$

24.15 а) $17x^n y^8 z^3 \cdot 2xy^5 z^4$;

б) $-2x^3 c^5 d^8 \left(-\frac{1}{2}c^6 dx\right)$;

в) $12p^3 q^2 r^{10} \left(\frac{1}{12}pr^5 q^6\right)$;

г) $-99a^m s^n t^n \left(-\frac{1}{33}a^n s^k t^m\right)$.

а) Чтобы умножить одночлены $17x^n y^8 z^3$ и $2xy^5 z^4$, необходимо перемножить их числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями, складывая их показатели.
1. Произведение коэффициентов: $17 \cdot 2 = 34$.
2. Произведение степеней переменной $x$: $x^n \cdot x^1 = x^{n+1}$.
3. Произведение степеней переменной $y$: $y^8 \cdot y^5 = y^{8+5} = y^{13}$.
4. Произведение степеней переменной $z$: $z^3 \cdot z^4 = z^{3+4} = z^7$.
Объединяя все части, получаем итоговый одночлен: $34x^{n+1}y^{13}z^7$.
Ответ: $34x^{n+1}y^{13}z^7$

б) Для нахождения произведения одночленов $-2x^3 c^5 d^8$ и $(-\frac{1}{2} c^6 d x)$, сгруппируем и перемножим коэффициенты и переменные с одинаковыми основаниями.
1. Произведение коэффициентов: $-2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1$.
2. Произведение степеней переменной $x$: $x^3 \cdot x^1 = x^{3+1} = x^4$.
3. Произведение степеней переменной $c$: $c^5 \cdot c^6 = c^{5+6} = c^{11}$.
4. Произведение степеней переменной $d$: $d^8 \cdot d^1 = d^{8+1} = d^9$.
Итоговый результат: $1 \cdot x^4 c^{11} d^9 = x^4 c^{11} d^9$.
Ответ: $x^4 c^{11} d^9$

в) Выполним умножение одночленов $12p^3 q^2 r^{10}$ и $(\frac{1}{12} p r^5 q^6)$.
1. Умножаем числовые коэффициенты: $12 \cdot \frac{1}{12} = 1$.
2. Умножаем степени переменной $p$: $p^3 \cdot p^1 = p^{3+1} = p^4$.
3. Умножаем степени переменной $q$: $q^2 \cdot q^6 = q^{2+6} = q^8$.
4. Умножаем степени переменной $r$: $r^{10} \cdot r^5 = r^{10+5} = r^{15}$.
Соединяем полученные части: $1 \cdot p^4 q^8 r^{15} = p^4 q^8 r^{15}$.
Ответ: $p^4 q^8 r^{15}$

г) Найдем произведение одночленов $-99a^m s^n t^n$ и $(-\frac{1}{33} a^n s^k t^m)$.
1. Произведение коэффициентов: $-99 \cdot (-\frac{1}{33}) = \frac{99}{33} = 3$.
2. Произведение степеней переменной $a$: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
3. Произведение степеней переменной $s$: $s^n \cdot s^k = s^{n+k}$.
4. Произведение степеней переменной $t$: $t^n \cdot t^m = t^{n+m}$.
Результат умножения: $3a^{m+n}s^{n+k}t^{n+m}$.
Ответ: $3a^{m+n}s^{n+k}t^{n+m}$

24.16 Приведите выражения к одночлену стандартного вида и укажите те те из них, у которых одинаковая буквенная часть:

a) $3ab \cdot 4a^2$; $2.5b^2 \cdot 5a^3$; $1.2a^2 \cdot 5b$; $7a^2b \cdot 12ab$;

б) $8pq \cdot 3p^2$; $1.4p^2 \cdot 15pq$; $0.7 \cdot 12p^3$; $4.3p^2 \cdot 3q$;

в) $0.125st^2 \cdot 8t^2$; $0.25t^4 \cdot 4s$; $2.5t \cdot 8st^5$; $0.2st \cdot 14t^3$;

г) $15mn^3 \cdot 2m^2$; $4m^3 \cdot 3n^2$; $7.8n^3 \cdot 5m^2$; $2m^2n \cdot 6.4n^2$.

а)

Приведем каждое выражение к одночлену стандартного вида:

1) $3ab \cdot 4a^2 = (3 \cdot 4) \cdot (a \cdot a^2) \cdot b = 12a^3b$

2) $2,5b^2 \cdot 5a^3 = (2,5 \cdot 5) \cdot a^3 \cdot b^2 = 12,5a^3b^2$

3) $1,2a^2 \cdot 5b = (1,2 \cdot 5) \cdot a^2 \cdot b = 6a^2b$

4) $7a^2b \cdot 12ab = (7 \cdot 12) \cdot (a^2 \cdot a) \cdot (b \cdot b) = 84a^3b^2$

Сравним буквенные части полученных одночленов: $a^3b$, $a^3b^2$, $a^2b$, $a^3b^2$. Одинаковую буквенную часть $a^3b^2$ имеют второй и четвертый одночлены.

Ответ: стандартные виды одночленов: $12a^3b$; $12,5a^3b^2$; $6a^2b$; $84a^3b^2$. Одинаковую буквенную часть имеют одночлены $12,5a^3b^2$ и $84a^3b^2$.

б)

Приведем каждое выражение к одночлену стандартного вида:

1) $8pq \cdot 3p^2 = (8 \cdot 3) \cdot (p \cdot p^2) \cdot q = 24p^3q$

2) $1,4p^2 \cdot 15pq = (1,4 \cdot 15) \cdot (p^2 \cdot p) \cdot q = 21p^3q$

3) $0,7 \cdot 12p^3 = 8,4p^3$

4) $4,3p^2 \cdot 3q = (4,3 \cdot 3) \cdot p^2 \cdot q = 12,9p^2q$

Сравним буквенные части полученных одночленов: $p^3q$, $p^3q$, $p^3$, $p^2q$. Одинаковую буквенную часть $p^3q$ имеют первый и второй одночлены.

Ответ: стандартные виды одночленов: $24p^3q$; $21p^3q$; $8,4p^3$; $12,9p^2q$. Одинаковую буквенную часть имеют одночлены $24p^3q$ и $21p^3q$.

в)

Приведем каждое выражение к одночлену стандартного вида:

1) $0,125st^2 \cdot 8t^2 = (0,125 \cdot 8) \cdot s \cdot (t^2 \cdot t^2) = st^4$

2) $0,25t^4 \cdot 4s = (0,25 \cdot 4) \cdot s \cdot t^4 = st^4$

3) $2,5t \cdot 8st^5 = (2,5 \cdot 8) \cdot s \cdot (t \cdot t^5) = 20st^6$

4) $0,2st \cdot 14t^3 = (0,2 \cdot 14) \cdot s \cdot (t \cdot t^3) = 2,8st^4$

Сравним буквенные части полученных одночленов: $st^4$, $st^4$, $st^6$, $st^4$. Одинаковую буквенную часть $st^4$ имеют первый, второй и четвертый одночлены.

Ответ: стандартные виды одночленов: $st^4$; $st^4$; $20st^6$; $2,8st^4$. Одинаковую буквенную часть имеют одночлены $st^4$, $st^4$ и $2,8st^4$.

г)

Приведем каждое выражение к одночлену стандартного вида:

1) $15mn^3 \cdot 2m^2 = (15 \cdot 2) \cdot (m \cdot m^2) \cdot n^3 = 30m^3n^3$

2) $4m^3 \cdot 3n^2 = (4 \cdot 3) \cdot m^3 \cdot n^2 = 12m^3n^2$

3) $7,8n^3 \cdot 5m^2 = (7,8 \cdot 5) \cdot m^2 \cdot n^3 = 39m^2n^3$

4) $2m^2n \cdot 6,4n^2 = (2 \cdot 6,4) \cdot m^2 \cdot (n \cdot n^2) = 12,8m^2n^3$

Сравним буквенные части полученных одночленов: $m^3n^3$, $m^3n^2$, $m^2n^3$, $m^2n^3$. Одинаковую буквенную часть $m^2n^3$ имеют третий и четвертый одночлены.

Ответ: стандартные виды одночленов: $30m^3n^3$; $12m^3n^2$; $39m^2n^3$; $12,8m^2n^3$. Одинаковую буквенную часть имеют одночлены $39m^2n^3$ и $12,8m^2n^3$.

24.17 В прямоугольном параллелепипеде длина в 2 раза больше ширины, а высота в 4 раза больше ширины. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен $1000 \text{ см}^3$.

Для решения задачи введём переменную для одного из измерений прямоугольного параллелепипеда — ширины.

Пусть ширина параллелепипеда равна $x$ см.

Согласно условию, длина в 2 раза больше ширины, следовательно, длина равна $2x$ см.

Высота в 4 раза больше ширины, следовательно, высота равна $4x$ см.

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его трёх измерений (длины, ширины и высоты):

$V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$

По условию задачи, объём равен $1000 \text{ см}^3$. Подставим в формулу наши выражения для измерений и данное значение объёма, чтобы составить уравнение:

$1000 = (2x) \cdot x \cdot (4x)$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$:

$1000 = 8x^3$

Разделим обе части уравнения на 8, чтобы найти $x^3$:

$x^3 = \frac{1000}{8}$

$x^3 = 125$

Чтобы найти $x$, нужно извлечь кубический корень из 125:

$x = \sqrt[3]{125}$

$x = 5$

Таким образом, мы нашли ширину параллелепипеда — она равна 5 см.

Теперь найдём остальные измерения, подставив значение $x$:

• Длина: $2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.
• Высота: $4x = 4 \cdot 5 = 20$ см.

Проверим результат, вычислив объём с найденными измерениями: $V = 10 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot 20 \text{ см} = 1000 \text{ см}^3$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: измерения параллелепипеда: ширина – 5 см, длина – 10 см, высота – 20 см.

24.18 В прямоугольном параллелепипеде длина в 2 раза больше ширины, а высота составляет $\frac{5}{2}$ длины. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда, если его объём равен $640 \text{ м}^3$.

Для решения задачи введём переменную. Пусть ширина прямоугольного параллелепипеда равна $w$ метров.

Согласно условию, длина $l$ в 2 раза больше ширины, следовательно:
$l = 2 \cdot w$

Высота $h$ составляет $\frac{5}{2}$ от длины. Выразим высоту через ширину $w$:
$h = \frac{5}{2} \cdot l = \frac{5}{2} \cdot (2w) = 5w$

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ равен произведению его трёх измерений (длины, ширины и высоты):
$V = l \cdot w \cdot h$

Известно, что объём равен 640 м³. Подставим в формулу объёма выражения для длины и высоты через ширину:
$640 = (2w) \cdot w \cdot (5w)$
$640 = 10w^3$

Решим полученное уравнение относительно $w$:
$w^3 = \frac{640}{10}$
$w^3 = 64$
$w = \sqrt[3]{64}$
$w = 4$
Таким образом, ширина параллелепипеда составляет 4 м.

Теперь найдём остальные измерения:
Длина: $l = 2w = 2 \cdot 4 = 8$ м.
Высота: $h = 5w = 5 \cdot 4 = 20$ м.

Проверим, что объём с найденными сторонами соответствует условию:
$V = 4 \text{ м} \cdot 8 \text{ м} \cdot 20 \text{ м} = 32 \cdot 20 = 640 \text{ м}^3$.
Вычисления верны.

Ответ: измерения прямоугольного параллелепипеда: ширина — 4 м, длина — 8 м, высота — 20 м.