Страница 111, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

6. Верно ли, что $28^5 = 2^5 \cdot 2^5 \cdot 7^5$? Если да, то сошлитесь на соответствующее свойство степеней.

Чтобы проверить верность равенства $28^5 = 2^5 \cdot 7^5$, необходимо преобразовать одну из его частей и сравнить с другой. Проще всего преобразовать правую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковыми показателями.

Данное свойство гласит: чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями, достаточно перемножить их основания, а показатель степени оставить без изменения. В виде формулы это выглядит так:$a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$

Применим это свойство к правой части исходного выражения:$2^5 \cdot 7^5 = (2 \cdot 7)^5 = 14^5$

Теперь сравним полученный результат с левой частью равенства:$28^5 \neq 14^5$, так как основания степеней различны ($28 \neq 14$), а показатели одинаковы.

Следовательно, исходное равенство является неверным.

Также можно было преобразовать левую часть. Разложим основание 28 на простые множители: $28 = 2 \cdot 14 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$.Тогда левая часть будет выглядеть так:$28^5 = (2^2 \cdot 7)^5$

Теперь воспользуемся свойством возведения произведения в степень ($(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$) и свойством возведения степени в степень ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$):$(2^2 \cdot 7)^5 = (2^2)^5 \cdot 7^5 = 2^{2 \cdot 5} \cdot 7^5 = 2^{10} \cdot 7^5$

Сравнивая результат с правой частью исходного равенства, получаем:$2^{10} \cdot 7^5 \neq 2^5 \cdot 7^5$Это также доказывает, что равенство неверно.

Ответ: нет, равенство неверно.

7. Запишите число $3^{30}$ в виде степени с основанием 27.

Для того чтобы представить число $3^{30}$ в виде степени с основанием 27, необходимо выразить новое основание (27) через старое основание (3).

Число 27 является третьей степенью числа 3:
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$

Теперь мы можем использовать это равенство для преобразования исходного выражения $3^{30}$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить показатель степени 30 в виде произведения, одним из множителей которого является 3.

$30 = 3 \cdot 10$

Перепишем исходное число с новым показателем:
$3^{30} = 3^{3 \cdot 10}$

Теперь, используя свойство степеней в обратном порядке, мы можем сгруппировать выражение:
$3^{3 \cdot 10} = (3^3)^{10}$

Так как мы знаем, что $3^3 = 27$, мы можем выполнить замену в полученном выражении:
$(3^3)^{10} = 27^{10}$

Таким образом, мы представили число $3^{30}$ в виде степени с основанием 27.

Ответ: $27^{10}$

Выясните, является ли данное выражение одночленом; если да, то укажите коэффициент и буквенную часть:

24.1 а) $3xy$;б) $\frac{1}{2} a^2bc^3$;в) $-4,3c^5d^9$;г) $(-2)^3u^nz^nw^n$.

а) Выражение $3xy$ является произведением числа 3 и переменных $x$ и $y$ в первой степени. По определению, это одночлен.

Коэффициент — это числовой множитель, в данном случае он равен 3. Буквенная часть — это произведение переменных с их степенями, то есть $xy$.

Ответ: да, является одночленом; коэффициент 3, буквенная часть $xy$.

б) Выражение $\frac{1}{2}a^2bc^3$ является произведением числа $\frac{1}{2}$ и переменных $a, b, c$ с неотрицательными целыми показателями степеней (2, 1, 3). Следовательно, это одночлен.

Коэффициент одночлена равен $\frac{1}{2}$. Буквенная часть равна $a^2bc^3$.

Ответ: да, является одночленом; коэффициент $\frac{1}{2}$, буквенная часть $a^2bc^3$.

в) Выражение $-4,3c^5d^9$ является произведением числа -4,3 и переменных $c$ и $d$ с натуральными показателями степеней. Следовательно, это одночлен.

Коэффициент этого одночлена равен -4,3. Буквенная часть равна $c^5d^9$.

Ответ: да, является одночленом; коэффициент -4,3, буквенная часть $c^5d^9$.

г) Для выражения $(-2)^3u^nz^nw^n$ необходимо сначала привести его к стандартному виду. Для этого вычислим числовую часть: $(-2)^3 = -8$.

Таким образом, выражение принимает вид $-8u^nz^nw^n$. В предположении, что $n$ является неотрицательным целым числом (то есть $n \in \{0, 1, 2, ...\}$), данное выражение является одночленом, так как представляет собой произведение числа и переменных в целых неотрицательных степенях.

Его коэффициент равен -8, а буквенная часть равна $u^nz^nw^n$.

Ответ: да, является одночленом (при условии, что $n$ — неотрицательное целое число); коэффициент -8, буквенная часть $u^nz^nw^n$.

24.2 а) 0;

б) $y$;

в) $-0,6$;

г) $z^n$.

а) По определению, одночлен — это алгебраическое выражение, которое является произведением числа и переменных, каждая из которых возведена в целую неотрицательную степень. К одночленам также относят отдельные числа и переменные.
Выражение 0 является числом, поэтому оно считается одночленом. Его называют нулевым одночленом.
Ответ: является одночленом.

б) Выражение y представляет собой отдельную переменную. Его можно записать в стандартном виде как $1 \cdot y^1$. Здесь коэффициент равен 1, а степень переменной равна 1 (целое неотрицательное число). Следовательно, y является одночленом.
Ответ: является одночленом.

в) Выражение -0,6 является числом (константой). Любое число является одночленом. Его можно представить в виде $-0,6 \cdot x^0$, что соответствует определению одночлена.
Ответ: является одночленом.

г) Выражение $z^n$ — это переменная в степени n. Согласно определению, такое выражение является одночленом только тогда, когда показатель степени n является целым неотрицательным числом (то есть $n \in \{0, 1, 2, ...\}$).
Например, $z^3$ — это одночлен, а $z^{-1}$, которое равно $\frac{1}{z}$, — нет, так как одночлен не может включать деление на переменную.
Поскольку в условии нет информации о том, какое число n, то делается стандартное предположение для таких задач, что n — целое неотрицательное число.
Ответ: является одночленом при условии, что n — целое неотрицательное число.

24.3 a) $x - y$;

б) $\frac{3p^3}{4q^4}$;

в) $2(c^2 + d^2)$;

г) $\frac{c^3 + d^3}{c^3 - d^3}$.

а) Рациональным выражением называется выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ не является тождественно равным нулю многочленом.
Выражение $x-y$ является многочленом. Любой многочлен можно представить в виде рационального выражения (дроби), записав в знаменателе 1:
$x - y = \frac{x-y}{1}$
Здесь числитель $P(x,y) = x-y$ является многочленом, и знаменатель $Q=1$ также является многочленом (причем не нулевым). Следовательно, $x-y$ — это рациональное выражение. Такие выражения, не содержащие деления на переменную, называются целыми рациональными выражениями.
Ответ: Выражение $x-y$ является целым рациональным выражением.

б) Данное выражение $\frac{3p^3}{4q^4}$ уже представлено в виде дроби.
Числитель этой дроби, $P(p) = 3p^3$, является многочленом (одночленом).
Знаменатель, $Q(q) = 4q^4$, также является многочленом (одночленом) и не равен нулю тождественно.
По определению, данное выражение является рациональным. Так как знаменатель содержит переменную $q$, его называют дробно-рациональным выражением.
Ответ: Выражение $\frac{3p^3}{4q^4}$ является дробно-рациональным выражением.

в) Выражение $2(c^2 + d^2)$ после раскрытия скобок принимает вид $2c^2 + 2d^2$, что является многочленом от переменных $c$ и $d$.
Как и любое целое выражение, его можно представить в виде дроби со знаменателем 1:
$2(c^2 + d^2) = \frac{2c^2 + 2d^2}{1}$
Числитель $P(c,d) = 2c^2 + 2d^2$ — многочлен, знаменатель $Q=1$ — ненулевой многочлен.
Таким образом, это выражение является целым рациональным выражением.
Ответ: Выражение $2(c^2 + d^2)$ является целым рациональным выражением.

г) Выражение $\frac{c^3 + d^3}{c^3 - d^3}$ представлено в виде дроби.
Числитель $P(c,d) = c^3 + d^3$ является многочленом (сумма кубов).
Знаменатель $Q(c,d) = c^3 - d^3$ является многочленом (разность кубов) и не является тождественно нулевым многочленом.
Следовательно, по определению, это рациональное выражение. Так как знаменатель содержит деление на переменные, это дробно-рациональное выражение.
Ответ: Выражение $\frac{c^3 + d^3}{c^3 - d^3}$ является дробно-рациональным выражением.

24.4 а) $- \frac{9c}{13d}$;

б) $\frac{6cd}{11}$;

в) $-12m^3n^2$;

г) $\frac{18m^3}{19n^3}$.

а) Выражение $-\frac{9c}{13d}$ не является одночленом. Одночлен — это произведение чисел, переменных и их натуральных степеней. Данное выражение содержит деление на переменную $d$, что недопустимо для одночленов. Такие выражения называются алгебраическими дробями.
Ответ: Выражение не является одночленом.

б) Выражение $\frac{6cd}{11}$ является одночленом. Его можно записать в стандартном виде: $\frac{6}{11}cd$. В этом одночлене числовой множитель, называемый коэффициентом, равен $\frac{6}{11}$. Буквенная часть, представляющая собой произведение переменных, равна $cd$.
Ответ: Коэффициент: $\frac{6}{11}$, буквенная часть: $cd$.

в) Выражение $-12m^3n^2$ является одночленом, так как это произведение числа $-12$ и переменных $m$ и $n$ в степенях 3 и 2 соответственно. Одночлен уже представлен в стандартном виде. Его коэффициент равен $-12$, а буквенная часть — $m^3n^2$.
Ответ: Коэффициент: $-12$, буквенная часть: $m^3n^2$.

г) Выражение $\frac{18m^3}{19n^3}$ не является одночленом. Причина в том, что оно содержит деление на переменную $n$. Согласно определению, одночлен не может содержать переменных в знаменателе. Это выражение является алгебраической дробью.
Ответ: Выражение не является одночленом.

24.5 Используя переменные $a$, $b$, $c$, запишите:

а) два любых одночлена с коэффициентами, отличными от нуля;

б) два разных одночлена с коэффициентами, равными 1;

в) два одночлена с одинаковыми коэффициентами и разными буквенными частями;

г) два разных одночлена с одинаковыми буквенными частями.

а) два любых одночлена с коэффициентами, отличными от нуля;

Одночлен — это алгебраическое выражение, представляющее собой произведение числового множителя (коэффициента) и одной или нескольких переменных, взятых в каких-либо натуральных степенях. Согласно условию, нам нужно составить два одночлена с использованием переменных $a, b, c$ и с коэффициентами, которые не равны нулю. Примеры могут быть любыми, главное, чтобы они удовлетворяли этому условию.

Возьмем для первого одночлена коэффициент $5$ и буквенную часть $a^2b$. Получим одночлен $5a^2b$. Коэффициент $5$ не равен нулю.

Для второго одночлена возьмем коэффициент $-8$ и буквенную часть $c^3$. Получим одночлен $-8c^3$. Коэффициент $-8$ также не равен нулю.

Ответ: $5a^2b$ и $-8c^3$.

б) два разных одночлена с коэффициентами, равными 1;

Требуется составить два одночлена, которые будут отличаться друг от друга, но при этом коэффициент каждого из них должен быть равен $1$. Когда коэффициент равен $1$, его, как правило, не записывают. Чтобы одночлены были разными, их буквенные части должны отличаться.

Возьмем для первого одночлена буквенную часть $ab$. С коэффициентом $1$ он запишется как $ab$.

Для второго одночлена выберем другую буквенную часть, например, $bc^2$. С коэффициентом $1$ он запишется как $bc^2$.

Одночлены $ab$ и $bc^2$ разные и у обоих коэффициент равен $1$.

Ответ: $ab$ и $bc^2$.

в) два одночлена с одинаковыми коэффициентами и разными буквенными частями;

В этом задании нужно составить два одночлена, у которых будут одинаковые коэффициенты, но разные буквенные части. Выберем любой общий коэффициент, отличный от нуля, например, $7$.

Теперь подберем две разные буквенные части с использованием переменных $a, b, c$.

Пусть первая буквенная часть будет $ac$. Тогда первый одночлен — $7ac$.

Пусть вторая буквенная часть будет $b^3$. Тогда второй одночлен — $7b^3$.

Одночлены $7ac$ и $7b^3$ имеют одинаковый коэффициент $7$, но разные буквенные части ($ac$ и $b^3$).

Ответ: $7ac$ и $7b^3$.

г) два разных одночлена с одинаковыми буквенными частями.

Здесь необходимо составить два разных одночлена, у которых буквенные части будут одинаковыми. Чтобы одночлены с одинаковой буквенной частью были разными, их коэффициенты должны отличаться.

Выберем любую буквенную часть, например, $a^2bc$.

Теперь подберем два разных коэффициента. Например, возьмем $4$ и $-1$.

Первый одночлен будет $4a^2bc$.

Второй одночлен будет $-1 \cdot a^2bc$, что обычно записывается как $-a^2bc$.

Одночлены $4a^2bc$ и $-a^2bc$ имеют одинаковую буквенную часть $a^2bc$, но разные коэффициенты ($4$ и $-1$), поэтому они являются разными.

Ответ: $4a^2bc$ и $-a^2bc$.