Страница 105, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

21.22 Сравните:

а) $(10x)^5$ и $10x^5$, если $x > 0$;

б) $(\frac{x}{2})^7$ и $\frac{x^7}{2}$, если $x > 0$;

в) $(6x)^9$ и $6x^9$, если $x < 0$;

г) $(\frac{x}{3})^5$ и $\frac{x^5}{3}$, если $x < 0$.

а) Сравним выражения $(10x)^5$ и $10x^5$ при $x > 0$.
Сначала преобразуем первое выражение, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(10x)^5 = 10^5 \cdot x^5 = 100000x^5$.
Теперь необходимо сравнить $100000x^5$ и $10x^5$.
Поскольку по условию $x > 0$, то и $x^5 > 0$. Мы можем разделить оба выражения на положительное число $10x^5$, при этом знак неравенства не изменится.
Сравним результаты деления: $100000x^5 / (10x^5) = 10000$ и $10x^5 / (10x^5) = 1$.
Так как $10000 > 1$, то и $100000x^5 > 10x^5$.
Следовательно, $(10x)^5 > 10x^5$.
Ответ: $(10x)^5 > 10x^5$.

б) Сравним выражения $(\frac{x}{2})^7$ и $\frac{x^7}{2}$ при $x > 0$.
Преобразуем первое выражение, используя свойство степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{x}{2})^7 = \frac{x^7}{2^7} = \frac{x^7}{128}$.
Теперь сравним две дроби: $\frac{x^7}{128}$ и $\frac{x^7}{2}$.
По условию $x > 0$, следовательно, числитель $x^7$ положителен. При сравнении двух дробей с одинаковым положительным числителем большей является та дробь, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $128 > 2$, то $\frac{x^7}{128} < \frac{x^7}{2}$.
Значит, $(\frac{x}{2})^7 < \frac{x^7}{2}$.
Ответ: $(\frac{x}{2})^7 < \frac{x^7}{2}$.

в) Сравним выражения $(6x)^9$ и $6x^9$ при $x < 0$.
Преобразуем первое выражение: $(6x)^9 = 6^9 \cdot x^9$.
Теперь сравним $6^9 x^9$ и $6x^9$.
По условию $x < 0$. Так как показатель степени 9 является нечетным числом, то $x^9$ также будет отрицательным, то есть $x^9 < 0$.
Сравним коэффициенты при $x^9$: $6^9$ и $6$. Очевидно, что $6^9 > 6$.
Умножим обе части неравенства $6^9 > 6$ на отрицательное число $x^9$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$6^9 \cdot x^9 < 6 \cdot x^9$.
Следовательно, $(6x)^9 < 6x^9$.
Ответ: $(6x)^9 < 6x^9$.

г) Сравним выражения $(\frac{x}{3})^5$ и $\frac{x^5}{3}$ при $x < 0$.
Преобразуем первое выражение: $(\frac{x}{3})^5 = \frac{x^5}{3^5} = \frac{x^5}{243}$.
Теперь сравним дроби $\frac{x^5}{243}$ и $\frac{x^5}{3}$.
По условию $x < 0$. Так как показатель степени 5 нечетный, то $x^5 < 0$. Числители обеих дробей отрицательны.
При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше. Сравним модули наших выражений:
$|\frac{x^5}{243}| = \frac{|x^5|}{243}$ и $|\frac{x^5}{3}| = \frac{|x^5|}{3}$.
Поскольку $|x^5| > 0$ и $243 > 3$, то $\frac{|x^5|}{243} < \frac{|x^5|}{3}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, и модуль первого числа меньше модуля второго, то первое число больше второго.
Таким образом, $\frac{x^5}{243} > \frac{x^5}{3}$.
Следовательно, $(\frac{x}{3})^5 > \frac{x^5}{3}$.
Ответ: $(\frac{x}{3})^5 > \frac{x^5}{3}$.

Решите уравнение:

21.23 a) $3x^3 = 24$;

б) $(3x)^3 = -27$;

в) $5x^5 = -1215$;

г) $(5x)^5 = 100000$.

а) В уравнении $3x^3 = 24$ разделим обе части на $3$, чтобы выделить член с переменной:

$x^3 = \frac{24}{3}$

$x^3 = 8$

Теперь извлечем кубический корень из обеих частей уравнения, чтобы найти $x$:

$x = \sqrt[3]{8}$

$x = 2$

Ответ: $2$

б) В уравнении $(3x)^3 = -27$ извлечем кубический корень из обеих частей:

$\sqrt[3]{(3x)^3} = \sqrt[3]{-27}$

Так как кубический корень из $-27$ равен $-3$, получаем:

$3x = -3$

Разделим обе части на $3$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{-3}{3}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

в) В уравнении $5x^5 = -1215$ сначала разделим обе части на $5$:

$x^5 = \frac{-1215}{5}$

$x^5 = -243$

Теперь извлечем корень пятой степени из обеих частей. Так как степень нечетная, корень из отрицательного числа существует:

$x = \sqrt[5]{-243}$

Поскольку $(-3)^5 = -243$, то $x = -3$.

Ответ: $-3$

г) В уравнении $(5x)^5 = 100000$ извлечем корень пятой степени из обеих частей:

$\sqrt[5]{(5x)^5} = \sqrt[5]{100000}$

Число $100000$ можно представить как $10^5$. Тогда уравнение упрощается:

$5x = 10$

Разделим обе части на $5$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Ответ: $2$

21.24 a) $\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3;$

б) $\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100.$

a) Решим уравнение $ \frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3 $.

Для начала упростим левую часть уравнения. Используем свойства степеней.

1. Упростим числитель. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ (2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2 = (2x)^{5+3} \cdot 2 = (2x)^8 \cdot 2 $.

Теперь раскроем скобки, используя правило $(ab)^n = a^n b^n$:

$ (2x)^8 \cdot 2 = 2^8 \cdot x^8 \cdot 2^1 = 2^{8+1} \cdot x^8 = 2^9 x^8 $.

2. Упростим знаменатель. Представим числа 4 и 8 как степени двойки ($4 = 2^2$, $8 = 2^3$):

$ (4x)^3 \cdot 8x^4 = ((2^2)x)^3 \cdot (2^3)x^4 = (2^2)^3 \cdot x^3 \cdot 2^3 \cdot x^4 $.

Используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и правило умножения степеней:

$ 2^{2 \cdot 3} \cdot x^3 \cdot 2^3 \cdot x^4 = 2^6 \cdot x^3 \cdot 2^3 \cdot x^4 = (2^6 \cdot 2^3) \cdot (x^3 \cdot x^4) = 2^{6+3} \cdot x^{3+4} = 2^9 x^7 $.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь и сократим ее, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ \frac{2^9 x^8}{2^9 x^7} = \frac{2^9}{2^9} \cdot \frac{x^8}{x^7} = 1 \cdot x^{8-7} = x $.

4. Теперь исходное уравнение принимает вид:

$ x = -3 $.

Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(4x)^3 \cdot 8x^4 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Корень $x = -3$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = -3$.

б) Решим уравнение $ \frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100 $.

Упростим левую часть уравнения, представив все числовые коэффициенты как степени числа 5.

1. Упростим числитель. $25 = 5^2$:

$ (5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25 = (5x)^{7+4} \cdot 5^2 = (5x)^{11} \cdot 5^2 = 5^{11} \cdot x^{11} \cdot 5^2 = 5^{11+2} \cdot x^{11} = 5^{13} x^{11} $.

2. Упростим знаменатель. $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$:

$ (25x^2)^4 \cdot 125x^2 = ((5^2)x^2)^4 \cdot (5^3)x^2 = (5^2)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot 5^3 \cdot x^2 $.

Используя свойства степеней:

$ 5^{2 \cdot 4} \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot 5^3 \cdot x^2 = 5^8 \cdot x^8 \cdot 5^3 \cdot x^2 = (5^8 \cdot 5^3) \cdot (x^8 \cdot x^2) = 5^{8+3} \cdot x^{8+2} = 5^{11} x^{10} $.

3. Подставим упрощенные выражения в дробь и сократим ее:

$ \frac{5^{13} x^{11}}{5^{11} x^{10}} = \frac{5^{13}}{5^{11}} \cdot \frac{x^{11}}{x^{10}} = 5^{13-11} \cdot x^{11-10} = 5^2 \cdot x^1 = 25x $.

4. Теперь исходное уравнение принимает вид:

$ 25x = 100 $.

Разделим обе части уравнения на 25:

$ x = \frac{100}{25} $

$ x = 4 $.

Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, т.е. $(25x^2)^4 \cdot 125x^2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Корень $x = 4$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 4$.

22.1 Найдите $(\frac{2}{3})^k$, если:

а) $k = 3$;

б) $k = 0$;

в) $k = 1$;

г) $k = 5$.

а) Для того чтобы найти значение выражения при $k=3$, необходимо подставить это значение в исходное выражение $(\frac{2}{3})^k$.

Получаем: $(\frac{2}{3})^3$.

Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби:

$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27}$.

Ответ: $\frac{8}{27}$.

б) Подставим значение $k=0$ в исходное выражение $(\frac{2}{3})^k$.

Получаем: $(\frac{2}{3})^0$.

Согласно свойству степени, любое ненулевое число, возведенное в нулевую степень, равно единице.

$(\frac{2}{3})^0 = 1$.

Ответ: $1$.

в) Подставим значение $k=1$ в исходное выражение $(\frac{2}{3})^k$.

Получаем: $(\frac{2}{3})^1$.

Любое число в первой степени равно самому себе.

$(\frac{2}{3})^1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

г) Подставим значение $k=5$ в исходное выражение $(\frac{2}{3})^k$.

Получаем: $(\frac{2}{3})^5$.

Возводим в пятую степень числитель и знаменатель дроби:

$(\frac{2}{3})^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{32}{243}$.

Ответ: $\frac{32}{243}$.

22.2 Найдите $a^5$, если:

а) $a = 1;$

б) $a = 0;$

в) $a = -2;$

г) $a = 10.$

а) Чтобы найти значение выражения $a^5$, нужно подставить в него заданное значение $a=1$.

Возведение в степень означает умножение числа само на себя указанное количество раз. В данном случае, нужно умножить 1 на себя 5 раз.

$a^5 = 1^5 = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.

Любая степень числа 1 равна 1.

Ответ: 1.

б) Подставим значение $a=0$ в выражение $a^5$.

$a^5 = 0^5 = 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$.

Любая натуральная степень числа 0 равна 0.

Ответ: 0.

в) Подставим значение $a=-2$ в выражение $a^5$.

$a^5 = (-2)^5$.

При возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае степень 5) результат будет отрицательным.

Вычислим значение:

$(-2)^5 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8 \cdot (-2) \cdot (-2) = 16 \cdot (-2) = -32$.

Ответ: -32.

г) Подставим значение $a=10$ в выражение $a^5$.

$a^5 = 10^5$.

Возведение числа 10 в натуральную степень $n$ дает в результате число, состоящее из единицы и $n$ нулей. В данном случае, это будет единица и 5 нулей.

$10^5 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 100000$.

Ответ: 100000.

Сравните значения выражений:

22.3 а) $(\frac{1}{3})^2$ и $(\frac{1}{3})^0$;

б) $(-\frac{1}{4})^2$ и $(\frac{1}{4})^0$;

в) $(-2)^3$ и $(-2)^0$;

г) $5^0$ и $5^4$.

а) Необходимо сравнить значения выражений $(\frac{1}{3})^2$ и $(\frac{1}{3})^0$.

Сначала вычислим значение первого выражения. Возводим дробь в квадрат:

$(\frac{1}{3})^2 = \frac{1^2}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Далее вычислим значение второго выражения. Согласно свойству степени, любое ненулевое число в нулевой степени равно единице:

$(\frac{1}{3})^0 = 1$.

Теперь сравним полученные результаты: $\frac{1}{9}$ и $1$. Так как $\frac{1}{9}$ является правильной дробью (числитель меньше знаменателя), то она меньше единицы.

Таким образом, $\frac{1}{9} < 1$, что означает $(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^0$.

Ответ: $(\frac{1}{3})^2 < (\frac{1}{3})^0$.

б) Необходимо сравнить значения выражений $(-\frac{1}{4})^2$ и $(\frac{1}{4})^0$.

Вычислим значение первого выражения. При возведении отрицательного числа в четную степень (квадрат), результат будет положительным:

$(-\frac{1}{4})^2 = (-\frac{1}{4}) \cdot (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{16}$.

Вычислим значение второго выражения, используя правило о нулевой степени:

$(\frac{1}{4})^0 = 1$.

Сравним полученные значения: $\frac{1}{16}$ и $1$. Дробь $\frac{1}{16}$ меньше единицы.

Следовательно, $\frac{1}{16} < 1$, а значит $(-\frac{1}{4})^2 < (\frac{1}{4})^0$.

Ответ: $(-\frac{1}{4})^2 < (\frac{1}{4})^0$.

в) Необходимо сравнить значения выражений $(-2)^3$ и $(-2)^0$.

Вычислим значение первого выражения. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (куб), результат будет отрицательным:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.

Вычислим значение второго выражения:

$(-2)^0 = 1$.

Теперь сравним полученные числа: $-8$ и $1$. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа.

Таким образом, $-8 < 1$, что означает $(-2)^3 < (-2)^0$.

Ответ: $(-2)^3 < (-2)^0$.

г) Необходимо сравнить значения выражений $5^0$ и $5^4$.

Вычислим значение первого выражения:

$5^0 = 1$.

Вычислим значение второго выражения:

$5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 25 \cdot 25 = 625$.

Сравним полученные результаты: $1$ и $625$.

Очевидно, что $1 < 625$, следовательно, $5^0 < 5^4$.

Ответ: $5^0 < 5^4$.