Страница 98, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что означает символ $a^n$, где $n=2, 3, 4, \dots$?

1. Символ $a^n$ называется степенью. Это математическая операция, которая является краткой записью умножения числа самого на себя. В этом выражении:

• $a$ – это основание степени, то есть число, которое умножается.
• $n$ – это показатель степени, который является натуральным числом ($n = 2, 3, 4, \dots$). Он показывает, сколько раз основание $a$ нужно умножить само на себя.

Таким образом, выражение $a^n$ означает произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$.

Общая формула выглядит так:

$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ множителей}}$

Рассмотрим конкретные примеры для значений $n$, указанных в вопросе:

• При $n=2$, запись $a^2$ (читается как «а в квадрате») означает произведение двух множителей, равных $a$: $a^2 = a \cdot a$.
• При $n=3$, запись $a^3$ (читается как «а в кубе») означает произведение трех множителей, равных $a$: $a^3 = a \cdot a \cdot a$.
• При $n=4$, запись $a^4$ (читается как «а в четвертой степени») означает произведение четырех множителей, равных $a$: $a^4 = a \cdot a \cdot a \cdot a$.

Например, если основание $a=5$, а показатель $n=3$, то степень $5^3$ будет равна $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

Ответ: Символ $a^n$ (степень), где $n$ – натуральное число, большее или равное 2, обозначает произведение $n$ множителей, каждый из которых равен числу $a$.

2. Что означает символ $a^1$?

Символ $a^1$ в математике обозначает возведение числа (или выражения) $a$ в первую степень.

Чтобы понять, что это значит, давайте вспомним общее определение степени с натуральным показателем. Степенью числа $a$ с натуральным показателем $n$ (записывается как $a^n$) называется произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Число $a$ называют основанием степени, а число $n$ — показателем степени.

Например:
$a^2 = a \cdot a$ (число $a$ используется как множитель 2 раза)
$a^3 = a \cdot a \cdot a$ (число $a$ используется как множитель 3 раза)

Когда показатель степени равен 1 (то есть $n=1$), мы должны взять основание степени $a$ в качестве множителя всего один раз. Это означает, что само действие умножения отсутствует, и результатом является само число $a$.

Таким образом, для любого числа $a$ по определению принимается, что его первая степень равна самому этому числу:
$a^1 = a$

Это правило является одним из фундаментальных свойств степеней. Любое число, возведенное в первую степень, равно самому себе.

Примеры:
$5^1 = 5$
$(-10)^1 = -10$
$(\frac{2}{7})^1 = \frac{2}{7}$
$x^1 = x$

Ответ: Символ $a^1$ означает число $a$, возведенное в первую степень. По определению степени, любое число в первой степени равно самому себе, то есть $a^1 = a$.

3. В записи $7^9$ назовите, что является степенью, что основанием степени, что показателем степени.

Для того чтобы ответить на вопрос, разберем выражение $7^9$ на составляющие. Возведение в степень — это математическая операция, которая записывается как $a^n$. Эта запись состоит из трех частей: степени, основания степени и показателя степени.

Степень

Степенью называют всё выражение $a^n$ целиком, а также результат этой операции. В данном случае всё выражение $7^9$ является степенью.

Ответ: степенью является выражение $7^9$.

Основание степени

Основание степени — это число, которое возводится в степень. В общем виде $a^n$ основанием является $a$. Это число, которое будет умножено само на себя.

Ответ: основанием степени в выражении $7^9$ является число 7.

Показатель степени

Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз основание нужно умножить само на себя. В общем виде $a^n$ показателем является $n$.

Ответ: показателем степени в выражении $7^9$ является число 9.

степени, что показатель степени.

4. Запишите число $2^{12}$ в виде степени с другим основанием.

Чтобы записать число $2^{12}$ в виде степени с другим основанием, используется свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для этого необходимо представить показатель степени 12 как произведение двух сомножителей.

Показатель степени 12 можно представить в виде произведения несколькими способами. Рассмотрим основные из них:

1. Представим 12 как $2 \cdot 6$. В этом случае:
$2^{12} = 2^{2 \cdot 6} = (2^2)^6 = 4^6$.
Новое основание — 4, показатель — 6.

2. Представим 12 как $3 \cdot 4$. В этом случае:
$2^{12} = 2^{3 \cdot 4} = (2^3)^4 = 8^4$.
Новое основание — 8, показатель — 4.

3. Представим 12 как $4 \cdot 3$. В этом случае:
$2^{12} = 2^{4 \cdot 3} = (2^4)^3 = 16^3$.
Новое основание — 16, показатель — 3.

4. Представим 12 как $6 \cdot 2$. В этом случае:
$2^{12} = 2^{6 \cdot 2} = (2^6)^2 = 64^2$.
Новое основание — 64, показатель — 2.

Таким образом, исходное число можно представить в виде степени с различными основаниями. Все приведённые выше варианты являются верными.

Ответ: Любой из следующих вариантов является верным: $4^6$, $8^4$, $16^3$, $64^2$.

19.25 Вычислите $n + k$, если:

a) $2^n = 1024$; $3^k = 81$;

б) $7^n = 49$; $5^k = 625$.

а) Чтобы вычислить $n + k$, необходимо сначала найти значения $n$ и $k$ из каждого уравнения.

1. Найдем значение $n$ из уравнения $2^n = 1024$. Для этого представим число 1024 в виде степени с основанием 2.
$2^{10} = 1024$
Следовательно, $2^n = 2^{10}$, откуда $n = 10$.

2. Найдем значение $k$ из уравнения $3^k = 81$. Представим число 81 в виде степени с основанием 3.
$3^4 = 81$
Следовательно, $3^k = 3^4$, откуда $k = 4$.

3. Теперь вычислим сумму $n + k$:
$n + k = 10 + 4 = 14$.

Ответ: 14

б) Аналогично решим вторую пару уравнений.

1. Найдем значение $n$ из уравнения $7^n = 49$. Представим 49 как степень числа 7.
$7^2 = 49$
Следовательно, $7^n = 7^2$, откуда $n = 2$.

2. Найдем значение $k$ из уравнения $5^k = 625$. Представим 625 как степень числа 5.
$5^4 = 625$
Следовательно, $5^k = 5^4$, откуда $k = 4$.

3. Теперь вычислим сумму $n + k$:
$n + k = 2 + 4 = 6$.

Ответ: 6

19.26 Найдите x, если:

а) $2^{2x} = 128$;

б) $3^{x-3} = 243$;

в) $5^{\frac{x}{2}} = 125$;

г) $2^{2-3x} = 256$.

а) Для решения уравнения $2^{2x} = 128$ необходимо привести обе части к одному основанию. В данном случае это основание 2.
Представим число 128 как степень двойки: $128 = 2^7$, так как $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 128$.
Подставим это значение в исходное уравнение:
$2^{2x} = 2^7$
Так как основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:
$2x = 7$
Разделим обе части на 2, чтобы найти x:
$x = \frac{7}{2} = 3.5$
Ответ: $x = 3.5$

б) В уравнении $3^{x-3} = 243$ приведем обе части к основанию 3.
Представим число 243 как степень тройки: $243 = 3^5$, так как $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.
Теперь уравнение выглядит так:
$3^{x-3} = 3^5$
Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:
$x-3 = 5$
Перенесем -3 в правую часть уравнения, изменив знак:
$x = 5 + 3$
$x = 8$
Ответ: $x = 8$

в) Решим уравнение $5^{\frac{x}{2}} = 125$. Приведем обе части к основанию 5.
Число 125 можно представить как степень пятерки: $125 = 5^3$, так как $5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.
Запишем уравнение в новом виде:
$5^{\frac{x}{2}} = 5^3$
Поскольку основания равны, приравниваем показатели:
$\frac{x}{2} = 3$
Чтобы найти x, умножим обе части уравнения на 2:
$x = 3 \cdot 2$
$x = 6$
Ответ: $x = 6$

г) В уравнении $2^{2-3x} = 256$ приведем обе части к основанию 2.
Представим число 256 как степень двойки: $256 = 2^8$, так как $2^7=128$, а $128 \cdot 2 = 256$.
Уравнение принимает вид:
$2^{2-3x} = 2^8$
Приравниваем показатели степеней:
$2 - 3x = 8$
Перенесем 2 в правую часть уравнения:
$-3x = 8 - 2$
$-3x = 6$
Разделим обе части на -3, чтобы найти x:
$x = \frac{6}{-3}$
$x = -2$
Ответ: $x = -2$

19.27 Сравните числа n и k, если:

а) $3^{2k} = 729$, $2^n = 16$;

б) $7^{k-2} = 343$, $2^{n+2} = 128$.

а)

Для того чтобы сравнить числа $n$ и $k$, необходимо найти их значения из предложенных уравнений.

Сначала решим уравнение $3^{2k} = 729$ относительно $k$.

Представим правую часть уравнения в виде степени с основанием 3. Известно, что $3^6 = 729$.

Получаем уравнение: $3^{2k} = 3^6$.

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2k = 6$

Разделим обе части на 2:

$k = 3$

Теперь решим уравнение $2^n = 16$ относительно $n$.

Представим правую часть в виде степени с основанием 2. Известно, что $2^4 = 16$.

Получаем уравнение: $2^n = 2^4$.

Приравниваем показатели степеней:

$n = 4$

Теперь сравним полученные значения: $k = 3$ и $n = 4$.

Поскольку $4 > 3$, то $n > k$.

Ответ: $n > k$.

б)

Найдем значения $n$ и $k$ из данных уравнений, чтобы их сравнить.

Сначала решим уравнение $7^{k-2} = 343$ относительно $k$.

Представим число 343 как степень с основанием 7. Известно, что $7^3 = 343$.

Получаем уравнение: $7^{k-2} = 7^3$.

Приравниваем показатели степеней, так как основания равны:

$k - 2 = 3$

Перенесем -2 в правую часть:

$k = 3 + 2$

$k = 5$

Теперь решим уравнение $2^{n+2} = 128$ относительно $n$.

Представим число 128 как степень с основанием 2. Известно, что $2^7 = 128$.

Получаем уравнение: $2^{n+2} = 2^7$.

Приравниваем показатели степеней:

$n + 2 = 7$

Перенесем 2 в правую часть:

$n = 7 - 2$

$n = 5$

Теперь сравним полученные значения: $k = 5$ и $n = 5$.

Поскольку $5 = 5$, то $n = k$.

Ответ: $n = k$.

19.28 Найдите значение выражения $\frac{x^{25} + 2y^{40} - 3z^{2014}}{3x^{14} - y^{13} + 2z^{2015}}$, если $x = 1$, $y = -1, z = 0$.

19.28

Для того чтобы найти значение выражения, необходимо подставить в него заданные значения переменных: $x=1$, $y=-1$ и $z=0$.

Исходное выражение: $\frac{x^{25} + 2y^{40} - 3z^{2014}}{3x^{14} - y^{13} + 2z^{2015}}$

Выполним подстановку значений в выражение:

$\frac{1^{25} + 2(-1)^{40} - 3 \cdot 0^{2014}}{3 \cdot 1^{14} - (-1)^{13} + 2 \cdot 0^{2015}}$

Теперь вычислим отдельно значение числителя и знаменателя, используя свойства степеней:

Вычисление числителя:

$1^{25} + 2y^{40} - 3z^{2014} = 1^{25} + 2(-1)^{40} - 3(0)^{2014}$

Поскольку $1$ в любой степени равен $1$, то $1^{25} = 1$.

Поскольку $-1$ в четной степени (40) равен $1$, то $(-1)^{40} = 1$.

Поскольку $0$ в любой положительной степени равен $0$, то $0^{2014} = 0$.

Таким образом, числитель равен: $1 + 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 = 1 + 2 - 0 = 3$.

Вычисление знаменателя:

$3x^{14} - y^{13} + 2z^{2015} = 3(1)^{14} - (-1)^{13} + 2(0)^{2015}$

$1^{14} = 1$.

Поскольку $-1$ в нечетной степени (13) равен $-1$, то $(-1)^{13} = -1$.

$0^{2015} = 0$.

Таким образом, знаменатель равен: $3 \cdot 1 - (-1) + 2 \cdot 0 = 3 + 1 + 0 = 4$.

Итоговый результат:

Теперь разделим значение числителя на значение знаменателя:

$\frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

Представьте произведение в виде степени:

20.1 а) $x^2 \cdot x^3$;

б) $y^6 \cdot y^4$;

в) $z^5 \cdot z^{12}$;

г) $t^{10} \cdot t^{24}$.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием, основание остается без изменений, а показатели степеней складываются. Формула выглядит следующим образом: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

а) В выражении $x^2 \cdot x^3$ основание степени равно $x$, а показатели — 2 и 3. Применим правило умножения степеней: $x^2 \cdot x^3 = x^{2+3} = x^5$.
Ответ: $x^5$.

б) В выражении $y^6 \cdot y^4$ основание степени равно $y$, а показатели — 6 и 4. Сложим показатели: $y^6 \cdot y^4 = y^{6+4} = y^{10}$.
Ответ: $y^{10}$.

в) В выражении $z^5 \cdot z^{12}$ основание степени равно $z$, а показатели — 5 и 12. Сложим показатели: $z^5 \cdot z^{12} = z^{5+12} = z^{17}$.
Ответ: $z^{17}$.

г) В выражении $t^{10} \cdot t^{24}$ основание степени равно $t$, а показатели — 10 и 24. Сложим показатели: $t^{10} \cdot t^{24} = t^{10+24} = t^{34}$.
Ответ: $t^{34}$.

20.2 а) $a^5 \cdot a$;

б) $b \cdot b^6$;

в) $c^7 \cdot c$;

г) $d^9 \cdot d$.

а) Для того чтобы умножить степени с одинаковым основанием, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это правило выражается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

В данном выражении $a^5 \cdot a$ основание одинаковое и равно $a$. Показатель степени первого множителя равен 5. Второй множитель $a$ можно представить как $a^1$, так как любое число или переменная в первой степени равна самой себе.

Применим правило умножения степеней:

$a^5 \cdot a = a^5 \cdot a^1 = a^{5+1} = a^6$.

Ответ: $a^6$

б) Используем то же правило умножения степеней с одинаковыми основаниями: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В выражении $b \cdot b^6$ основание общее и равно $b$. Первый множитель $b$ имеет показатель степени 1 ($b = b^1$). Второй множитель $b^6$ имеет показатель степени 6.

Складываем показатели степеней:

$b \cdot b^6 = b^1 \cdot b^6 = b^{1+6} = b^7$.

Ответ: $b^7$

в) Снова применяем правило умножения степеней с одинаковыми основаниями. Основание у множителей $c^7$ и $c$ одинаковое и равно $c$.

Представим второй множитель $c$ как $c^1$.

Теперь выполним умножение, сложив показатели степеней:

$c^7 \cdot c = c^7 \cdot c^1 = c^{7+1} = c^8$.

Ответ: $c^8$

г) Аналогично предыдущим примерам, используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

В выражении $d^9 \cdot d$ основание у обоих множителей равно $d$. Показатель степени первого множителя — 9, а второго — 1 ($d=d^1$).

Складываем показатели:

$d^9 \cdot d = d^9 \cdot d^1 = d^{9+1} = d^{10}$.

Ответ: $d^{10}$

20.3 а) $s^3 \cdot s^5 \cdot s^8$;

б) $m^{13} \cdot m^8 \cdot m$;

в) $r^4 \cdot r^{12} \cdot r^{51}$;

г) $n^4 \cdot n \cdot n^{10}$.

а) Чтобы умножить степени с одинаковым основанием, необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. В данном выражении основание — $s$, а показатели степеней — $3$, $5$ и $8$.

Складываем показатели: $3 + 5 + 8 = 16$.

Таким образом, выражение $s^3 \cdot s^5 \cdot s^8$ упрощается до $s^{3+5+8} = s^{16}$.

Ответ: $s^{16}$

б) В этом выражении основание степени — $m$. Показатели степеней равны $13$, $8$ и $1$ (любое число или переменная без указания степени считается в первой степени, то есть $m = m^1$).

Складываем показатели: $13 + 8 + 1 = 22$.

Следовательно, $m^{13} \cdot m^8 \cdot m = m^{13+8+1} = m^{22}$.

Ответ: $m^{22}$

в) Основание степени в этом примере — $r$. Для упрощения выражения складываем показатели степеней: $4$, $12$ и $51$.

Сумма показателей равна: $4 + 12 + 51 = 16 + 51 = 67$.

Значит, $r^4 \cdot r^{12} \cdot r^{51} = r^{4+12+51} = r^{67}$.

Ответ: $r^{67}$

г) Здесь основание — $n$. Показатели степеней, которые нужно сложить, равны $4$, $1$ (так как $n = n^1$) и $10$.

Складываем показатели: $4 + 1 + 10 = 15$.

В результате получаем: $n^4 \cdot n \cdot n^{10} = n^{4+1+10} = n^{15}$.

Ответ: $n^{15}$