Страница 94, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

2. Могут ли во второй строке таблицы распределения данных встретиться не числа, а символы?

Нет, во второй строке таблицы распределения данных не могут встретиться символы. Давайте разберемся, почему.

Таблица распределения (или частотная таблица) служит для систематизации и наглядного представления данных. Она обычно состоит из двух основных строк (или столбцов):

1. Первая строка: Варианты. Здесь перечисляются все уникальные значения, которые встречаются в исследуемом наборе данных. Этими значениями могут быть как числа (например, оценки в классе: 5, 4, 3, 2), так и нечисловые данные, то есть символы, слова или категории (например, цвета автомобилей: "красный", "синий", "черный"; или номиналы игральных карт: "Туз", "Король", "Дама"). Именно в этой строке могут и часто встречаются символы.
2. Вторая строка: Частоты. В этой строке указывается, сколько раз каждая варианта из первой строки встретилась в наборе данных. Частота — это всегда количественная характеристика, то есть число (целое, неотрицательное). Иногда во второй строке указывают относительную частоту (долю каждой варианты в общем объеме данных), которая также является числом (обычно дробным от 0 до 1 или выраженным в процентах).

Рассмотрим конкретный пример. Допустим, мы опросили 10 человек об их любимом времени года и получили следующие ответы: Лето, Осень, Зима, Лето, Лето, Весна, Осень, Лето, Зима, Лето.

Составим таблицу распределения для этих данных:

Как видно из примера, в первой строке находятся символьные данные (названия времен года), а во второй — исключительно числа, которые показывают, сколько раз каждое время года было названо. Мы не можем написать в строке частоты "пять" словом или использовать какой-то специальный символ, так как это значение является результатом подсчета и используется для дальнейших статистических вычислений (например, для построения диаграмм или вычисления моды), которые требуют именно числовых данных.

Таким образом, вторая строка таблицы распределения по своей сути является количественной и всегда содержит числа, так как отвечает на вопрос "сколько раз?", в то время как первая строка может содержать как числа, так и символы, в зависимости от природы исследуемых данных.

Ответ: Нет, не могут, так как вторая строка таблицы распределения показывает частоту (количество повторений) или относительную частоту (долю) каждой варианты, а эти показатели всегда выражаются числами. Символы (нечисловые данные) могут находиться в первой строке, где перечисляются сами варианты.

встретиться по числу, а символу.

3. Верно ли, что таблицу распределения можно заполнить, толь-

ко составив до этого упорядоченный ряд?

3. Верно ли, что таблицу распределения можно заполнить, только составив до этого упорядоченный ряд?

Данное утверждение является неверным.

Таблицу распределения можно составить и без предварительного упорядочивания ряда данных, хотя этот шаг часто упрощает ручной подсчет. Давайте рассмотрим оба подхода.

Определения:

• Таблица распределения (частотная таблица) — это таблица, в которой для каждого уникального значения (варианты $x_i$) из набора данных указывается его частота ($n_i$), то есть количество раз, которое это значение встречается в наборе.
• Упорядоченный ряд (ранжированный ряд) — это последовательность всех значений из исходного набора данных, расположенных в порядке неубывания (или невозрастания).

Рассмотрим на примере. Пусть дан исходный набор чисел (выборка): {3, 5, 2, 3, 4, 5, 3}.

Способ 1. С предварительным составлением упорядоченного ряда.

Этот метод часто используется, так как он нагляден и снижает вероятность ошибки при подсчете.

1. Сначала упорядочим исходный ряд по возрастанию:
   {2, 3, 3, 3, 4, 5, 5}
2. Теперь, когда одинаковые значения сгруппированы, легко подсчитать их количество (частоту):
   • Значение «2» встречается 1 раз.
   • Значение «3» встречается 3 раза.
   • Значение «4» встречается 1 раз.
   • Значение «5» встречается 2 раза.
3. На основе этих данных заполняем таблицу распределения.

Способ 2. Без составления упорядоченного ряда.

Можно подсчитывать частоты, проходя по исходному, неупорядоченному ряду. Этот метод особенно эффективен при компьютерной обработке данных.

1. Берем исходный ряд: {3, 5, 2, 3, 4, 5, 3}.
2. Создаем пустой список для пар «значение-частота».
3. Проходим по ряду элемент за элементом:
   • Встретили «3». Такого значения еще нет, добавляем: {3: 1}.
   • Встретили «5». Новое значение: {3: 1, 5: 1}.
   • Встретили «2». Новое значение: {3: 1, 5: 1, 2: 1}.
   • Встретили «3». Такое значение уже есть, увеличиваем его частоту: {3: 2, 5: 1, 2: 1}.
   • Встретили «4». Новое значение: {3: 2, 5: 1, 2: 1, 4: 1}.
   • Встретили «5». Увеличиваем частоту: {3: 2, 5: 2, 2: 1, 4: 1}.
   • Встретили «3». Увеличиваем частоту: {3: 3, 5: 2, 2: 1, 4: 1}.
4. В итоге мы получили те же самые частоты, что и в первом способе, не прибегая к сортировке всего массива данных.

На основе полученных данных из любого из способов можно составить итоговую таблицу распределения (для наглядности строки в ней обычно сортируют по значению варианты $x_i$):

Таким образом, упорядочивание ряда является удобным, но не обязательным шагом. Главная задача — подсчет частот, которую можно выполнить и без предварительной сортировки.

Ответ: Нет, неверно. Таблицу распределения можно заполнить, подсчитывая частоты непосредственно из исходного (неупорядоченного) ряда данных. Составление упорядоченного ряда является лишь одним из возможных, но не единственным, промежуточным шагом, который может упростить подсчет.

1. Решение систем линейных уравнений методом подстановки.

Метод подстановки — это один из основных способов решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы из одного уравнения системы выразить одну переменную через другую, а затем подставить это выражение во второе уравнение. В результате мы получаем одно уравнение с одной неизвестной, которое легко решить.

Алгоритм решения систем линейных уравнений методом подстановки

Для решения системы двух линейных уравнений с двумя переменными методом подстановки следует придерживаться следующего алгоритма:

1. Из любого уравнения системы выразить одну переменную через другую. Проще всего это сделать, если коэффициент при какой-либо переменной равен $1$ или $-1$, так как это позволяет избежать работы с дробями.

2. Подставить полученное на первом шаге выражение в другое уравнение системы вместо соответствующей переменной. В результате этих действий получится линейное уравнение с одной переменной.

3. Решить полученное уравнение и найти численное значение этой переменной.

4. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное на первом шаге, чтобы вычислить значение второй переменной.

5. Записать ответ в виде упорядоченной пары чисел $(x; y)$. Рекомендуется выполнить проверку, подставив найденные значения в оба исходных уравнения системы.

Ответ: Ключевая идея метода — сведение системы двух уравнений с двумя переменными к одному уравнению с одной переменной путем выражения одной переменной через другую и ее последующей подстановки.

Пример

Решим систему уравнений методом подстановки:

$ \begin{cases} x + 3y = 7 \\ 2x - y = 0 \end{cases} $

Шаг 1: Выражаем одну переменную через другую.

В первом уравнении $x + 3y = 7$ коэффициент при переменной $x$ равен $1$. Поэтому удобно выразить $x$ из этого уравнения:

$x = 7 - 3y$

Также можно было бы выразить $y$ из второго уравнения: $y = 2x$. Выбор зависит от удобства.

Шаг 2: Подставляем полученное выражение в другое уравнение.

Подставим выражение $7 - 3y$ вместо $x$ во второе уравнение системы $2x - y = 0$:

$2(7 - 3y) - y = 0$

Шаг 3: Решаем полученное уравнение с одной переменной.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно переменной $y$:

$14 - 6y - y = 0$

$14 - 7y = 0$

$-7y = -14$

$y = \frac{-14}{-7}$

$y = 2$

Шаг 4: Находим значение второй переменной.

Теперь, когда мы нашли значение $y$, подставим его в выражение для $x$, полученное на первом шаге:

$x = 7 - 3y$

$x = 7 - 3 \cdot 2$

$x = 7 - 6$

$x = 1$

Шаг 5: Записываем ответ.

Решением системы является пара чисел $(1; 2)$.

Проверим решение, подставив значения в исходные уравнения:

Первое уравнение: $1 + 3(2) = 1 + 6 = 7$. (Верно)

Второе уравнение: $2(1) - 2 = 2 - 2 = 0$. (Верно)

Ответ: $(1; 2)$

2. Решение систем линейных уравнений методом алгебраического сложения.

Метод алгебраического сложения — это один из способов решения систем линейных уравнений. Суть метода заключается в том, чтобы путем сложения или вычитания уравнений системы исключить одну из переменных. Это позволяет получить новое, более простое уравнение с одной переменной, которое легко решить.

Алгоритм решения системы линейных уравнений методом сложения:

1. При необходимости, умножить одно или оба уравнения системы на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами (например, $5$ и $-5$).
2. Сложить левые и правые части уравнений. В результате получится одно линейное уравнение с одной переменной.
3. Решить полученное уравнение и найти значение одной переменной.
4. Подставить найденное значение переменной в любое из исходных уравнений системы.
5. Решить полученное уравнение и найти значение второй переменной.
6. Записать ответ в виде пары чисел $(x; y)$.

Пример 1

Решить систему уравнений:

$ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 3 \end{cases} $

Решение:
Коэффициенты при переменной $y$ в обоих уравнениях являются противоположными числами ($1$ и $-1$). Поэтому мы можем сразу сложить уравнения почленно, то есть сложить их левые части и их правые части.

$(2x + y) + (3x - y) = 7 + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x + y + 3x - y = 10$

$5x = 10$

Теперь решим это простое уравнение относительно $x$:

$x = \frac{10}{5}$

$x = 2$

Мы нашли значение переменной $x$. Теперь подставим его в любое из уравнений исходной системы, например, в первое:

$2(2) + y = 7$

$4 + y = 7$

$y = 7 - 4$

$y = 3$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(2; 3)$. Для проверки можно подставить найденные значения во второе уравнение: $3(2) - 3 = 6 - 3 = 3$. Равенство верное.

Ответ: $(2; 3)$

Пример 2

Решить систему уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 4x - 5y = 3 \end{cases} $

Решение:
В этой системе нет переменных с одинаковыми или противоположными коэффициентами. Чтобы исключить одну из переменных, например $y$, нам нужно сделать коэффициенты при ней противоположными. Найдем наименьшее общее кратное для модулей коэффициентов при $y$ (для $2$ и $5$). Это число $10$.

Умножим первое уравнение на $5$, а второе на $2$, чтобы получить коэффициенты $10$ и $-10$ при $y$:

$ \begin{cases} (3x + 2y) \cdot 5 = 8 \cdot 5 \\ (4x - 5y) \cdot 2 = 3 \cdot 2 \end{cases} $

Получим новую, равносильную систему:

$ \begin{cases} 15x + 10y = 40 \\ 8x - 10y = 6 \end{cases} $

Теперь сложим уравнения почленно:

$(15x + 10y) + (8x - 10y) = 40 + 6$

$23x = 46$

$x = \frac{46}{23}$

$x = 2$

Подставим найденное значение $x=2$ в одно из исходных уравнений, например, в первое:

$3(2) + 2y = 8$

$6 + 2y = 8$

$2y = 8 - 6$

$2y = 2$

$y = 1$

Решение системы — пара чисел $(2; 1)$.

Ответ: $(2; 1)$

Метод алгебраического сложения особенно удобен, когда коэффициенты при одной из переменных в уравнениях системы одинаковы или являются противоположными числами, или когда их легко сделать таковыми с помощью умножения на небольшие целые числа. Этот метод позволяет быстро и эффективно находить решение системы, избегая сложных подстановок.

3. Системы линейных уравнений как математические модели реальных ситуаций.

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) являются мощным инструментом для создания математических моделей реальных ситуаций. Математическая модель — это описание реального процесса или явления с помощью математических символов и соотношений. СЛАУ применяются тогда, когда между искомыми величинами существуют линейные зависимости.

Этапы построения математической модели с помощью СЛАУ

Процесс моделирования, как правило, включает в себя следующие шаги:

1. Анализ проблемы и введение переменных. На этом этапе необходимо понять суть реальной ситуации, определить, какие величины являются неизвестными, и обозначить их переменными (например, $x, y, z$ или $x_1, x_2, x_3, \dots$).
2. Составление уравнений. Условия задачи, которые описывают связи между введенными переменными, переводятся на язык математики в виде линейных уравнений. Каждое независимое условие порождает одно уравнение. Общий вид линейного уравнения с $n$ переменными: $a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b$.
3. Формирование и решение системы. Все полученные уравнения объединяются в систему. Затем эту систему решают одним из известных методов (метод подстановки, метод сложения, метод Гаусса, метод Крамера, матричный метод).
4. Интерпретация решения. Найденные значения переменных (математическое решение) переводятся обратно на язык исходной задачи. Необходимо проанализировать, является ли полученный ответ осмысленным в контексте реальной ситуации (например, количество товара не может быть отрицательным).

Пример 1: Производственная задача

Условие: Швейная фабрика производит плащи и куртки. На изготовление одного плаща требуется 2 метра ткани и 4 катушки ниток. На изготовление одной куртки — 3 метра ткани и 2 катушки ниток. На складе имеется 180 метров ткани и 200 катушек ниток. Сколько плащей и курток может произвести фабрика, чтобы полностью использовать все имеющиеся материалы?

Решение:

1. Введем переменные. Пусть $x$ — количество плащей, а $y$ — количество курток, которые произведет фабрика.
2. Составим уравнения на основе ограничений по ресурсам.
   • Ограничение по ткани: на $x$ плащей уйдет $2x$ метров ткани, а на $y$ курток — $3y$ метров. Всего ткани 180 метров. Получаем уравнение: $2x + 3y = 180$.
   • Ограничение по ниткам: на $x$ плащей уйдет $4x$ катушек, а на $y$ курток — $2y$ катушек. Всего ниток 200. Получаем уравнение: $4x + 2y = 200$.
3. Составим и решим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 180 \\ 4x + 2y = 200 \end{cases} $$ Второе уравнение можно упростить, разделив обе части на 2: $$ \begin{cases} 2x + 3y = 180 \\ 2x + y = 100 \end{cases} $$ Вычтем из первого уравнения второе: $(2x + 3y) - (2x + y) = 180 - 100$ $2y = 80$ $y = 40$
   Подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы: $2x + 40 = 100$ $2x = 60$ $x = 30$
4. Интерпретируем результат. Фабрика может произвести 30 плащей и 40 курток, чтобы полностью израсходовать все запасы ткани и ниток.

Ответ: Для полного использования ресурсов фабрика должна произвести 30 плащей и 40 курток.

Пример 2: Задача на смеси (химическая или пищевая промышленность)

Условие: Необходимо получить 500 кг смеси двух сортов кофе стоимостью 384 рубля за кг. Цена одного сорта — 360 рублей за кг, а другого — 400 рублей за кг. Сколько килограммов кофе каждого сорта нужно взять для приготовления смеси?

Решение:

1. Введем переменные. Пусть $x$ — масса (в кг) первого сорта кофе, а $y$ — масса (в кг) второго сорта кофе.
2. Составим уравнения.
   • По общей массе: суммарная масса смеси должна быть 500 кг. Уравнение: $x + y = 500$.
   • По общей стоимости: стоимость $x$ кг первого сорта равна $360x$ рублей, стоимость $y$ кг второго сорта — $400y$ рублей. Общая стоимость 500 кг смеси по цене 384 руб./кг равна $500 \cdot 384 = 192000$ рублей. Уравнение: $360x + 400y = 192000$.
3. Составим и решим систему: $$ \begin{cases} x + y = 500 \\ 360x + 400y = 192000 \end{cases} $$ Упростим второе уравнение, разделив его на 40: $$ \begin{cases} x + y = 500 \\ 9x + 10y = 4800 \end{cases} $$ Из первого уравнения выразим $x$: $x = 500 - y$. Подставим это выражение во второе уравнение: $9(500 - y) + 10y = 4800$ $4500 - 9y + 10y = 4800$ $y = 4800 - 4500$ $y = 300$
   Теперь найдем $x$: $x = 500 - y = 500 - 300 = 200$
4. Интерпретируем результат. Для приготовления смеси необходимо взять 200 кг кофе первого сорта и 300 кг кофе второго сорта.

Ответ: Необходимо взять 200 кг кофе по 360 руб./кг и 300 кг кофе по 400 руб./кг.

Пример 3: Потоковые задачи (транспорт, электротехника)

Описание: Системы линейных уравнений используются для моделирования потоков в сетях. Например, в транспортной сети на каждом перекрестке количество въезжающих автомобилей должно быть равно количеству выезжающих (закон сохранения потока). Аналогично, в электрических цепях, согласно первому правилу Кирхгофа, сумма токов, втекающих в узел, равна сумме токов, вытекающих из него. Каждому узлу сети соответствует линейное уравнение. Совокупность таких уравнений для всех узлов образует систему, решив которую, можно найти интенсивность потока на каждом участке сети.

Например, для узла, в который входят дороги с потоками $x_1$ и $x_2$, а выходят дороги с потоками $x_3$ и $x_4$, уравнение будет иметь вид: $x_1 + x_2 = x_3 + x_4$.

Ответ: Системы линейных уравнений позволяют моделировать потоковые процессы в различных сетях (транспортных, электрических, информационных), основываясь на законе сохранения потока в узлах сети.

4. Нечисловые ряды данных. Таблица распределения данных.

Нечисловые ряды данных

Нечисловой (или качественный, категориальный) ряд данных — это совокупность наблюдений, которые представляют собой не числа, а некоторые признаки, категории или атрибуты. Элементы такого ряда нельзя напрямую складывать или вычитать, как числа. Статистический анализ таких данных основывается на подсчете количества элементов, попадающих в ту или иную категорию.

Нечисловые данные делятся на два основных типа:

• Номинальные данные: Категории, которые не имеют естественного порядка или ранжирования. Операции сравнения (больше/меньше) для них бессмысленны.
  Примеры: марка автомобиля (Toyota, Ford, Lada), цвет глаз (карий, голубой, зеленый), пол (мужской, женский).
• Порядковые (ранговые) данные: Категории, которые можно упорядочить или ранжировать. Хотя мы можем сказать, что одна категория "выше" или "лучше" другой, мы не можем точно измерить разницу между ними.
  Примеры: уровень образования (среднее, бакалавриат, магистратура), оценка на экзамене (неудовлетворительно, удовлетворительно, хорошо, отлично), размер одежды (S, M, L, XL).

Основной числовой характеристикой для нечисловых данных является мода — значение, которое встречается в ряду данных чаще всего. Для порядковых данных также можно найти медиану, если упорядочить все наблюдения и найти серединное.

Ответ: Нечисловые ряды данных представляют собой совокупность качественных признаков или категорий, которые делятся на номинальные (без естественного порядка) и порядковые (с возможностью ранжирования), и анализируются с помощью подсчета частот и определения моды.

Таблица распределения данных

Таблица распределения данных (или частотная таблица) — это основной инструмент для систематизации и анализа нечисловых данных. Она показывает, сколько раз каждая категория (значение признака) встречается в исследуемой совокупности.

Стандартная таблица распределения включает следующие столбцы:

• Категория (или Варианта): Уникальные значения из нечислового ряда данных.
• Частота (n): Абсолютное количество появлений каждой категории в ряду данных. Сумма всех частот равна общему объему выборки $N$.
• Частость (относительная частота, f): Доля каждой категории в общем объеме данных. Рассчитывается по формуле: $f_i = \frac{n_i}{N}$, где $n_i$ — частота i-й категории, а $N$ — общий объем данных. Сумма всех относительных частот всегда равна 1.
• Процентная частота (%): Относительная частота, выраженная в процентах. Рассчитывается как $f_i \times 100\%$. Сумма всех процентных частот равна 100%.

Пример:
Предположим, был проведен опрос 25 студентов об их любимом жанре кино. Получен следующий нечисловой ряд данных:
[Комедия, Фантастика, Драма, Триллер, Комедия, Фантастика, Фантастика, Комедия, Ужасы, Драма, Комедия, Триллер, Фантастика, Комедия, Ужасы, Комедия, Драма, Фантастика, Фантастика, Триллер, Комедия, Драма, Фантастика, Комедия, Ужасы]

Для анализа этих данных составим таблицу распределения:

Из таблицы видно, что самым популярным жанром является комедия (мода ряда), а наименее популярными — триллер и ужасы. Таблица распределения позволяет наглядно представить структуру данных и является основой для построения диаграмм (столбчатых, круговых).

Ответ: Таблица распределения данных для нечислового ряда — это таблица, которая систематизирует данные путем отображения каждой уникальной категории и соответствующей ей частоты (абсолютной), частости (относительной) и процентной частоты, что позволяет наглядно оценить структуру данных.

18.27 а) Запишите на математическом языке, чему равна площадь $S$ полной поверхности куба, если его ребро равно $a$.

б) Вычислите площадь полной поверхности куба, ребро которого равно 7 см.

а)

Площадь полной поверхности куба (S) — это сумма площадей всех его шести граней. Каждая грань куба является квадратом. Если ребро куба равно a, то сторона каждой грани-квадрата также равна a.
Площадь одного такого квадрата (одной грани) вычисляется по формуле: $S_{грани} = a \cdot a = a^2$.
Поскольку у куба 6 одинаковых граней, для нахождения площади полной поверхности необходимо умножить площадь одной грани на 6.
Таким образом, формула площади полной поверхности куба на математическом языке выглядит так: $S = 6 \cdot a^2$.

Ответ: $S = 6a^2$.

б)

Чтобы вычислить площадь полной поверхности куба, воспользуемся формулой, выведенной в пункте а): $S = 6a^2$.
По условию задачи, ребро куба a равно 7 см.
Подставим это значение в формулу:
$S = 6 \cdot (7 \text{ см})^2$
Сначала возведем длину ребра в квадрат:
$7^2 = 49$
Теперь умножим полученное значение на 6:
$S = 6 \cdot 49 \text{ см}^2 = 294 \text{ см}^2$.

Ответ: $294 \text{ см}^2$.

18.28 а) Площадь поверхности куба равна 384 $дм^2$. Вычислите ребро и объём куба.

б) Объём куба равен 125 $см^3$. Вычислите ребро и площадь поверхности куба.

а)

Площадь поверхности куба ($S$) вычисляется по формуле $S = 6a^2$, где $a$ – длина ребра куба. Нам дана площадь поверхности $S = 384$ дм².

1. Найдем ребро куба ($a$):

Подставим известное значение в формулу:

$6a^2 = 384$

Найдем площадь одной грани, разделив общую площадь на 6:

$a^2 = \frac{384}{6} = 64$ дм²

Теперь найдем длину ребра, извлекая квадратный корень:

$a = \sqrt{64} = 8$ дм

2. Найдем объём куба ($V$):

Объём куба вычисляется по формуле $V = a^3$. Подставим найденное значение ребра:

$V = 8^3 = 8 \times 8 \times 8 = 512$ дм³

Ответ: ребро куба равно 8 дм, объём куба равен 512 дм³.

б)

Объём куба ($V$) вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ – длина ребра куба. Нам дан объём $V = 125$ см³.

1. Найдем ребро куба ($a$):

Подставим известное значение в формулу:

$a^3 = 125$

Найдем длину ребра, извлекая кубический корень:

$a = \sqrt[3]{125} = 5$ см

2. Найдем площадь поверхности куба ($S$):

Площадь поверхности куба вычисляется по формуле $S = 6a^2$. Подставим найденное значение ребра:

$S = 6 \times 5^2 = 6 \times 25 = 150$ см²

Ответ: ребро куба равно 5 см, площадь поверхности равна 150 см².

18.29 Сколько рулонов обоев необходимо приобрести для того, чтобы оклеить стены квадратной комнаты, высота которой равна 3 м, площадь пола — $9 \text{ м}^2$, окна — $1,5 \text{ м}^2$, двери — $1,8 \text{ м}^2$, если одним рулоном можно оклеить $7,2 \text{ м}^2$?

Для того чтобы рассчитать необходимое количество рулонов обоев, выполним следующие действия:

1. Найдем длину стены комнаты.
Поскольку комната имеет квадратную форму, а площадь ее пола равна 9 м², мы можем найти длину одной стены. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ — длина его стороны.

$a = \sqrt{9 \text{ м}^2} = 3$ м.

Таким образом, длина каждой стены комнаты составляет 3 метра.

2. Вычислим общую площадь всех стен.
Общая площадь стен — это площадь боковой поверхности комнаты, которая находится как произведение периметра пола на высоту.

Периметр пола ($P$) для квадратной комнаты со стороной 3 м:

$P = 4 \times a = 4 \times 3 \text{ м} = 12$ м.

Высота комнаты ($h$) по условию равна 3 м. Теперь найдем общую площадь стен ($S_{стен}$):

$S_{стен} = P \times h = 12 \text{ м} \times 3 \text{ м} = 36$ м².

3. Определим площадь поверхности, которую нужно оклеить.
Из общей площади стен необходимо вычесть площади окна и двери, так как они не оклеиваются обоями.

Площадь для оклейки ($S_{оклейки}$) равна:

$S_{оклейки} = S_{стен} - S_{окна} - S_{двери}$

$S_{оклейки} = 36 \text{ м}^2 - 1,5 \text{ м}^2 - 1,8 \text{ м}^2 = 32,7$ м².

4. Рассчитаем необходимое количество рулонов обоев.
Известно, что один рулон обоев покрывает 7,2 м². Чтобы найти нужное количество рулонов, разделим площадь для оклейки на площадь, которую покрывает один рулон.

Количество рулонов $N = \frac{S_{оклейки}}{S_{рулона}} = \frac{32,7}{7,2} \approx 4,5417$.

Так как рулоны обоев продаются только в виде целых штук, полученное значение необходимо округлить в большую сторону до ближайшего целого числа. Следовательно, нужно 5 рулонов.

Ответ: необходимо приобрести 5 рулонов обоев.

18.30 Сколько нужно килограммов краски, чтобы покрасить пол в квадратной комнате, длина каждой стены которой 4 м, если на покраску $1 \text{ м}^2$ нужно 200 г краски?

Для того чтобы найти необходимое количество краски, сначала нужно вычислить площадь пола. Комната имеет форму квадрата, длина стены которого составляет 4 метра. Площадь квадрата ($S$) вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ – длина стороны.

Вычислим площадь пола: $S = 4^2 = 16$ м².

Далее, зная, что на покраску 1 м² требуется 200 г краски, рассчитаем общее количество краски, необходимое для покраски всей площади пола: $16 \text{ м²} \times 200 \text{ г/м²} = 3200$ г.

В вопросе требуется указать ответ в килограммах. Для этого переведем граммы в килограммы. В 1 килограмме содержится 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$). $3200 \text{ г} \div 1000 = 3,2$ кг.

Ответ: 3,2 кг.

18.31 Сколько литров воды потребуется, чтобы наполнить аквариум, имеющий форму куба, ребро которого равно 40 см?

18.31

Для того чтобы определить, сколько литров воды потребуется для наполнения аквариума, необходимо сначала вычислить его объем. Аквариум имеет форму куба.

Объем куба ($V$) вычисляется по формуле:

$V = a^3$

где $a$ – длина ребра куба.

Согласно условию задачи, длина ребра аквариума равна 40 см. Подставим это значение в формулу, чтобы найти объем в кубических сантиметрах ($см^3$):

$V = (40 \text{ см})^3 = 40 \times 40 \times 40 = 64000 \text{ см}^3$

Теперь необходимо перевести полученный объем из кубических сантиметров в литры. Известно, что 1 литр (л) равен 1000 кубических сантиметров ($см^3$):

$1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$

Чтобы найти объем в литрах, нужно разделить объем в кубических сантиметрах на 1000:

$V_{\text{в литрах}} = \frac{64000 \text{ см}^3}{1000 \text{ см}^3/\text{л}} = 64 \text{ л}$

Таким образом, для наполнения аквариума потребуется 64 литра воды.

Ответ: 64 л.

Вычислите:

18.32 а) $3 \cdot 2^4 + 2 \cdot 3^4;$

б) $7 \cdot 3^2 + 3 \cdot 7^2;$

в) $5 \cdot 3^3 + 3 \cdot 5^2;$

г) $7 \cdot 5^2 + 5 \cdot 7^2.$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $3 \cdot 2^4 + 2 \cdot 3^4$, можно упростить его, вынеся за скобки общий множитель. Общий множитель для обоих слагаемых — это $3 \cdot 2 = 6$.

Представим каждое слагаемое в виде произведения с общим множителем:
$3 \cdot 2^4 = (3 \cdot 2) \cdot 2^3 = 6 \cdot 2^3$
$2 \cdot 3^4 = (2 \cdot 3) \cdot 3^3 = 6 \cdot 3^3$

Теперь выражение выглядит так:
$6 \cdot 2^3 + 6 \cdot 3^3$

Выносим общий множитель 6 за скобки:
$6 \cdot (2^3 + 3^3)$

Вычислим значения степеней в скобках:
$2^3 = 8$
$3^3 = 27$

Подставляем эти значения обратно в выражение и выполняем оставшиеся действия:
$6 \cdot (8 + 27) = 6 \cdot 35 = 210$

Ответ: 210.

б)

Чтобы вычислить значение выражения $7 \cdot 3^2 + 3 \cdot 7^2$, вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $7 \cdot 3 = 21$.

Представим выражение с выделенным общим множителем:
$(7 \cdot 3) \cdot 3 + (3 \cdot 7) \cdot 7$

Выносим $7 \cdot 3$ за скобки:
$(7 \cdot 3) \cdot (3 + 7)$

Выполняем вычисления:
$21 \cdot 10 = 210$

Ответ: 210.

в)

Чтобы вычислить значение выражения $5 \cdot 3^3 + 3 \cdot 5^2$, вынесем за скобки общий множитель. Общий множитель здесь $5 \cdot 3 = 15$.

Представим каждое слагаемое с выделенным общим множителем:
$5 \cdot 3^3 = (5 \cdot 3) \cdot 3^2 = 15 \cdot 3^2$
$3 \cdot 5^2 = (3 \cdot 5) \cdot 5 = 15 \cdot 5$

Теперь выражение выглядит так:
$15 \cdot 3^2 + 15 \cdot 5$

Выносим 15 за скобки:
$15 \cdot (3^2 + 5)$

Вычисляем значение в скобках:
$15 \cdot (9 + 5) = 15 \cdot 14$

Выполняем умножение:
$15 \cdot 14 = 210$

Ответ: 210.

г)

Чтобы вычислить значение выражения $7 \cdot 5^2 + 5 \cdot 7^2$, вынесем за скобки общий множитель. В данном случае это $7 \cdot 5 = 35$.

Представим выражение с выделенным общим множителем:
$(7 \cdot 5) \cdot 5 + (5 \cdot 7) \cdot 7$

Выносим $7 \cdot 5$ за скобки:
$(7 \cdot 5) \cdot (5 + 7)$

Выполняем вычисления:
$35 \cdot 12 = 35 \cdot (10 + 2) = 350 + 70 = 420$

Ответ: 420.

18.33 a) $7 \cdot 10^3 - 8 \cdot 10^2;$

б) $9^2 \cdot 3 + 100 \cdot (0,1)^2.$

a) Для того чтобы вычислить значение выражения $7 \cdot 10^3 - 8 \cdot 10^2$, необходимо выполнить действия в правильном порядке. Сначала выполняется возведение в степень, затем умножение, и в конце — вычитание.

1. Вычислим значения степеней:
$10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$
$10^2 = 10 \cdot 10 = 100$

2. Подставим эти значения в исходное выражение:
$7 \cdot 1000 - 8 \cdot 100$

3. Выполним операции умножения:
$7 \cdot 1000 = 7000$
$8 \cdot 100 = 800$

4. Выполним вычитание:
$7000 - 800 = 6200$

Ответ: 6200

б) Чтобы вычислить значение выражения $9^2 \cdot 3 + 100 \cdot (0,1)^2$, также следуем порядку арифметических действий.

1. Сначала возводим числа в степень:
$9^2 = 9 \cdot 9 = 81$
$(0,1)^2 = 0,1 \cdot 0,1 = 0,01$

2. Подставим полученные результаты в выражение:
$81 \cdot 3 + 100 \cdot 0,01$

3. Выполним операции умножения:
$81 \cdot 3 = 243$
$100 \cdot 0,01 = 1$

4. Выполним сложение:
$243 + 1 = 244$

Ответ: 244

18.34 а) $(\frac{1}{9})^2 \cdot 27 + (0,1)^4 \cdot 5000;

б) $100 : 5^2 - (\frac{1}{8})^2 \cdot 128.

а) $(\frac{1}{9})^2 \cdot 27 + (0,1)^4 \cdot 5000$

Для решения этого выражения необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала возведение в степень и умножение, а затем сложение.

1. Вычислим значение первого слагаемого: $(\frac{1}{9})^2 \cdot 27$.
Сначала возведем дробь в квадрат: $(\frac{1}{9})^2 = \frac{1^2}{9^2} = \frac{1}{81}$.
Теперь умножим полученный результат на 27: $\frac{1}{81} \cdot 27 = \frac{27}{81}$.
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 27: $\frac{27 \div 27}{81 \div 27} = \frac{1}{3}$.

2. Вычислим значение второго слагаемого: $(0,1)^4 \cdot 5000$.
Возведем 0,1 в четвертую степень: $(0,1)^4 = 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 \cdot 0,1 = 0,0001$.
Теперь умножим на 5000: $0,0001 \cdot 5000 = 0,5$.
Можно также решить с помощью обыкновенных дробей: $0,1 = \frac{1}{10}$, поэтому $(0,1)^4 = (\frac{1}{10})^4 = \frac{1}{10000}$.
Тогда $\frac{1}{10000} \cdot 5000 = \frac{5000}{10000} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$.

3. Сложим результаты, полученные в пунктах 1 и 2:
$\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$.
Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю, который равен 6:
$\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{2+3}{6} = \frac{5}{6}$.

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) $100 : 5^2 - (\frac{1}{8})^2 \cdot 128$

Для решения этого выражения необходимо соблюдать порядок действий: сначала возведение в степень, затем деление и умножение (слева направо), и в последнюю очередь вычитание.

1. Вычислим значение левой части выражения: $100 : 5^2$.
Сначала возводим в степень: $5^2 = 25$.
Затем выполняем деление: $100 : 25 = 4$.

2. Вычислим значение правой части выражения: $(\frac{1}{8})^2 \cdot 128$.
Сначала возводим дробь в квадрат: $(\frac{1}{8})^2 = \frac{1^2}{8^2} = \frac{1}{64}$.
Затем выполняем умножение: $\frac{1}{64} \cdot 128 = \frac{128}{64} = 2$.

3. Выполним вычитание результатов, полученных в пунктах 1 и 2:
$4 - 2 = 2$.

Ответ: 2

18.35 a) $(2\frac{2}{3})^3 - (1\frac{2}{3})^3$

б) $(-1\frac{1}{4})^3 + (2\frac{1}{8})^2$

a) $(2\frac{2}{3})^3 - (1\frac{2}{3})^3$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

$1\frac{2}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

2. Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$(\frac{8}{3})^3 - (\frac{5}{3})^3$

3. Возведем дроби в куб:

$(\frac{8}{3})^3 = \frac{8^3}{3^3} = \frac{512}{27}$

$(\frac{5}{3})^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}$

4. Выполним вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

$\frac{512}{27} - \frac{125}{27} = \frac{512 - 125}{27} = \frac{387}{27}$

5. Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 9 (так как сумма цифр числителя $3+8+7=18$ делится на 9, и знаменатель 27 делится на 9):

$\frac{387 \div 9}{27 \div 9} = \frac{43}{3}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{43}{3} = 14\frac{1}{3}$

Ответ: $14\frac{1}{3}$.

б) $(-1\frac{1}{4})^3 + (2\frac{1}{8})^2$

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$-1\frac{1}{4} = -(\frac{1 \cdot 4 + 1}{4}) = -\frac{5}{4}$

$2\frac{1}{8} = \frac{2 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{17}{8}$

2. Подставим полученные дроби в исходное выражение:

$(-\frac{5}{4})^3 + (\frac{17}{8})^2$

3. Возведем дроби в степень. При возведении отрицательного числа в нечетную степень (3) результат будет отрицательным:

$(-\frac{5}{4})^3 = -\frac{5^3}{4^3} = -\frac{125}{64}$

$(\frac{17}{8})^2 = \frac{17^2}{8^2} = \frac{289}{64}$

4. Выполним сложение дробей с одинаковым знаменателем:

$-\frac{125}{64} + \frac{289}{64} = \frac{-125 + 289}{64} = \frac{164}{64}$

5. Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 4:

$\frac{164 \div 4}{64 \div 4} = \frac{41}{16}$

6. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{41}{16} = 2\frac{9}{16}$

Ответ: $2\frac{9}{16}$.

18.36 а) $\frac{(-2)^4}{3} - \frac{2^4}{9};$

б) $\frac{(-2)^2}{2^3} - \frac{5^2}{4};$

в) $\frac{(-2)^3}{5} - \frac{3}{2^2};$

г) $\frac{14}{3^3} - \frac{2^4}{(-3)^2}.$

а) Вычислим значение выражения $\frac{(-2)^4}{3} - \frac{2^4}{9}$. Первым шагом возведем числа в степень: $(-2)^4 = 16$, так как отрицательное число в четной степени дает положительный результат, и $2^4 = 16$. Подставим полученные значения в исходное выражение: $\frac{16}{3} - \frac{16}{9}$. Для вычитания дробей приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 равен 9. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 3: $\frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 3} - \frac{16}{9} = \frac{48}{9} - \frac{16}{9}$. Теперь выполним вычитание числителей: $\frac{48 - 16}{9} = \frac{32}{9}$.
Ответ: $\frac{32}{9}$.

б) Вычислим значение выражения $\frac{(-2)^2}{2^3} - \frac{5^2}{4}$. Возведем числа в степень: $(-2)^2 = 4$, $2^3 = 8$, $5^2 = 25$. Подставим значения в выражение: $\frac{4}{8} - \frac{25}{4}$. Сократим первую дробь $\frac{4}{8}$ на 4, получим $\frac{1}{2}$. Выражение примет вид: $\frac{1}{2} - \frac{25}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю 4: $\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{25}{4} = \frac{2}{4} - \frac{25}{4}$. Выполним вычитание: $\frac{2 - 25}{4} = -\frac{23}{4}$.
Ответ: $-\frac{23}{4}$.

в) Вычислим значение выражения $\frac{(-2)^3}{5} - \frac{3}{2^2}$. Возведем числа в степень: $(-2)^3 = -8$, так как отрицательное число в нечетной степени дает отрицательный результат, и $2^2 = 4$. Подставим значения в выражение: $\frac{-8}{5} - \frac{3}{4}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 4 равен 20. $\frac{-8 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{-32}{20} - \frac{15}{20}$. Выполним вычитание: $\frac{-32 - 15}{20} = \frac{-47}{20} = -\frac{47}{20}$.
Ответ: $-\frac{47}{20}$.

г) Вычислим значение выражения $\frac{14}{3^3} - \frac{2^4}{(-3)^2}$. Возведем числа в степень: $3^3 = 27$, $2^4 = 16$, $(-3)^2 = 9$. Подставим значения в выражение: $\frac{14}{27} - \frac{16}{9}$. Приведем дроби к общему знаменателю 27. Домножим вторую дробь на 3: $\frac{14}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{14}{27} - \frac{48}{27}$. Выполним вычитание: $\frac{14 - 48}{27} = -\frac{34}{27}$.
Ответ: $-\frac{34}{27}$.

18.37 Сравните значения выражений:

а) $3^2 \cdot 3^1$ и $3^2 + 1$;

б) $4^2 \cdot 4^2$ и $4^2 + 2$;

в) $2^4 \cdot 2^5$ и $2^4 + 5$;

г) $5^2 \cdot 5^3$ и $5^2 + 3$.

а) Чтобы сравнить значения выражений $3^2 \cdot 3^1$ и $3^{2+1}$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

Для выражения $3^2 \cdot 3^1$ основание $a=3$, а показатели степеней $m=2$ и $n=1$. Применяя правило, получаем:

$3^2 \cdot 3^1 = 3^{2+1}$

Таким образом, значения данных выражений равны.

Для проверки можно вычислить значения выражений:

$3^2 \cdot 3^1 = 9 \cdot 3 = 27$

$3^{2+1} = 3^3 = 27$

Поскольку $27 = 27$, выражения равны.

Ответ: $3^2 \cdot 3^1 = 3^{2+1}$.

б) Сравним выражения $4^2 \cdot 4^2$ и $4^{2+2}$. Согласно свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), где $a=4$, $m=2$ и $n=2$, имеем:

$4^2 \cdot 4^2 = 4^{2+2}$

Следовательно, значения выражений равны.

Проверим вычислением:

$4^2 \cdot 4^2 = 16 \cdot 16 = 256$

$4^{2+2} = 4^4 = 256$

Поскольку $256 = 256$, выражения равны.

Ответ: $4^2 \cdot 4^2 = 4^{2+2}$.

в) Сравним выражения $2^4 \cdot 2^5$ и $2^{4+5}$. По свойству умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), где $a=2$, $m=4$ и $n=5$, получаем:

$2^4 \cdot 2^5 = 2^{4+5}$

Значит, значения выражений равны.

Проверим вычислением:

$2^4 \cdot 2^5 = 16 \cdot 32 = 512$

$2^{4+5} = 2^9 = 512$

Поскольку $512 = 512$, выражения равны.

Ответ: $2^4 \cdot 2^5 = 2^{4+5}$.

г) Сравним выражения $5^2 \cdot 5^3$ и $5^{2+3}$. Используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), где $a=5$, $m=2$ и $n=3$, имеем:

$5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3}$

Таким образом, значения выражений равны.

Проверим вычислением:

$5^2 \cdot 5^3 = 25 \cdot 125 = 3125$

$5^{2+3} = 5^5 = 3125$

Поскольку $3125 = 3125$, выражения равны.

Ответ: $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3}$.