Страница 88, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5 Чему равны коэффициенты $a$ и $b$, если известно, что пара чисел $(-1; -2)$ является решением системы уравнений

$$\begin{cases} 5x + ay = -1, \\ bx - 4y = 5? \end{cases}$$

Поскольку пара чисел $(-1; -2)$ является решением системы уравнений, это означает, что при подстановке $x = -1$ и $y = -2$ в оба уравнения системы мы получим верные равенства. Мы можем использовать это свойство, чтобы найти значения коэффициентов $a$ и $b$.

Найдем коэффициент a
Подставим значения $x = -1$ и $y = -2$ в первое уравнение системы $5x + ay = -1$:
$5 \cdot (-1) + a \cdot (-2) = -1$
Выполним умножение:
$-5 - 2a = -1$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $a$. Перенесем $-5$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$-2a = -1 + 5$
$-2a = 4$
Разделим обе части уравнения на $-2$:
$a = \frac{4}{-2}$
$a = -2$

Найдем коэффициент b
Аналогично подставим значения $x = -1$ и $y = -2$ во второе уравнение системы $bx - 4y = 5$:
$b \cdot (-1) - 4 \cdot (-2) = 5$
Выполним умножение:
$-b + 8 = 5$
Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $b$. Перенесем $8$ в правую часть уравнения, изменив знак:
$-b = 5 - 8$
$-b = -3$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$b = 3$

Ответ: $a = -2$, $b = 3$.

6 Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

$\begin{cases} 0,2x + 0,3y = 1,2, \\ 0,5x - 0,6y = 0,3. \end{cases}$

Для решения данной системы уравнений методом алгебраического сложения необходимо преобразовать уравнения таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами. Исходная система выглядит так:

Заметим, что коэффициент при переменной $y$ во втором уравнении ($-0,6$) является произведением коэффициента при $y$ в первом уравнении ($0,3$) на $-2$. Поэтому, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными, достаточно умножить обе части первого уравнения на 2:

$2 \cdot (0,2x + 0,3y) = 2 \cdot 1,2$

$0,4x + 0,6y = 2,4$

Теперь система уравнений преобразована к следующему виду:

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений. Слагаемые, содержащие $y$, взаимно уничтожатся, так как $0,6y + (-0,6y) = 0$:

$(0,4x + 0,6y) + (0,5x - 0,6y) = 2,4 + 0,3$

Приводим подобные слагаемые в левой части и вычисляем сумму в правой:

$0,9x = 2,7$

Из полученного уравнения находим значение $x$:

$x = \frac{2,7}{0,9}$

$x = 3$

Теперь подставим найденное значение $x = 3$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение $y$. Возьмем первое исходное уравнение:

$0,2x + 0,3y = 1,2$

$0,2 \cdot 3 + 0,3y = 1,2$

$0,6 + 0,3y = 1,2$

Перенесем $0,6$ в правую часть уравнения, изменив знак:

$0,3y = 1,2 - 0,6$

$0,3y = 0,6$

Находим значение $y$:

$y = \frac{0,6}{0,3}$

$y = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $x=3$ и $y=2$.

Выполним проверку, подставив найденные значения во второе исходное уравнение:

$0,5x - 0,6y = 0,3$

$0,5 \cdot 3 - 0,6 \cdot 2 = 1,5 - 1,2 = 0,3$

$0,3 = 0,3$

Равенство верное, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(3; 2)$.

7 Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 3)$ и $B(2; 6)$.

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$, можно воспользоваться каноническим уравнением прямой:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

В нашем случае даны точки $A(-2; 3)$ и $B(2; 6)$. Подставим их координаты в формулу, приняв $x_1 = -2$, $y_1 = 3$, $x_2 = 2$ и $y_2 = 6$.

$\frac{x - (-2)}{2 - (-2)} = \frac{y - 3}{6 - 3}$

Упростим знаменатели в полученном уравнении:

$\frac{x + 2}{2 + 2} = \frac{y - 3}{3}$

$\frac{x + 2}{4} = \frac{y - 3}{3}$

Это каноническое уравнение прямой. Чтобы привести его к общепринятому виду уравнения с угловым коэффициентом $y = kx + b$, воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$3(x + 2) = 4(y - 3)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$3x + 6 = 4y - 12$

Теперь выразим переменную $y$ через $x$:

$4y = 3x + 6 + 12$

$4y = 3x + 18$

Разделим обе части уравнения на 4:

$y = \frac{3x + 18}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{18}{4}$

$y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$

Это и есть искомое уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом. Его также можно записать в общем виде $Ax + By + C = 0$. Исходя из равенства $4y = 3x + 18$, перенесем все члены в одну сторону:

$3x - 4y + 18 = 0$

Для проверки правильности решения подставим координаты исходных точек в полученное уравнение $y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$.

Проверка для точки $A(-2; 3)$:

$3 = \frac{3}{4}(-2) + \frac{9}{2} = -\frac{6}{4} + \frac{9}{2} = -\frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{-3+9}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

$3 = 3$. Равенство верное.

Проверка для точки $B(2; 6)$:

$6 = \frac{3}{4}(2) + \frac{9}{2} = \frac{6}{4} + \frac{9}{2} = \frac{3}{2} + \frac{9}{2} = \frac{3+9}{2} = \frac{12}{2} = 6$.

$6 = 6$. Равенство верное.

Так как координаты обеих точек удовлетворяют уравнению, оно найдено верно.

Ответ: $y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}$ (или в общем виде $3x - 4y + 18 = 0$).

8 Решите систему уравнений

$\begin{cases} \frac{3x - 2}{4y + 3} = \frac{4}{15}, \\ \frac{5x - y}{3y - 2} = 1. \end{cases}$

Данная система уравнений:

$$\begin{cases}\frac{3x - 2}{4y + 3} = \frac{4}{15} \\\frac{5x - y}{3y - 2} = 1\end{cases}$$

Для начала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей в уравнениях не могут быть равны нулю:

Из первого уравнения: $4y + 3 \neq 0 \implies 4y \neq -3 \implies y \neq -\frac{3}{4}$.

Из второго уравнения: $3y - 2 \neq 0 \implies 3y \neq 2 \implies y \neq \frac{2}{3}$.

Далее, упростим каждое уравнение, чтобы избавиться от дробей.

1. Преобразуем первое уравнение.

Используем основное свойство пропорции (умножим крест-накрест):

$$ 15(3x - 2) = 4(4y + 3) $$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$$ 45x - 30 = 16y + 12 $$

Перенесем слагаемые с переменными в левую часть, а постоянные — в правую:

$$ 45x - 16y = 12 + 30 $$

$$ 45x - 16y = 42 $$

2. Преобразуем второе уравнение.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(3y - 2)$:

$$ 5x - y = 1 \cdot (3y - 2) $$

$$ 5x - y = 3y - 2 $$

Перенесем слагаемые с $y$ в правую часть, чтобы выразить $5x$:

$$ 5x = 3y + y - 2 $$

$$ 5x = 4y - 2 $$

3. Решим полученную систему линейных уравнений.

В результате преобразований мы получили следующую систему:

$$\begin{cases}45x - 16y = 42 \\5x = 4y - 2\end{cases}$$

Эту систему удобно решить методом подстановки. Из второго уравнения выразим $4y$:

$$ 4y = 5x + 2 $$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение. Заметим, что $16y = 4 \cdot (4y)$.

$$ 45x - 4(4y) = 42 $$

$$ 45x - 4(5x + 2) = 42 $$

Раскроем скобки и найдем значение $x$:

$$ 45x - 20x - 8 = 42 $$

$$ 25x = 42 + 8 $$

$$ 25x = 50 $$

$$ x = \frac{50}{25} $$

$$ x = 2 $$

4. Найдем значение y.

Подставим найденное значение $x = 2$ в выражение $4y = 5x + 2$:

$$ 4y = 5(2) + 2 $$

$$ 4y = 10 + 2 $$

$$ 4y = 12 $$

$$ y = \frac{12}{4} $$

$$ y = 3 $$

5. Проверим найденное решение.

Мы получили пару чисел $(2; 3)$. Проверим, соответствует ли она ОДЗ ($y \neq -\frac{3}{4}$ и $y \neq \frac{2}{3}$). Так как $3$ не равно ни $-\frac{3}{4}$, ни $\frac{2}{3}$, решение является допустимым.

Подставим $x=2$ и $y=3$ в исходные уравнения:

Первое уравнение: $ \frac{3(2) - 2}{4(3) + 3} = \frac{6 - 2}{12 + 3} = \frac{4}{15} $. Равенство $ \frac{4}{15} = \frac{4}{15} $ верно.

Второе уравнение: $ \frac{5(2) - 3}{3(3) - 2} = \frac{10 - 3}{9 - 2} = \frac{7}{7} = 1 $. Равенство $ 1 = 1 $ верно.

Оба уравнения обратились в верные равенства, следовательно, система решена правильно.

Ответ: $(2; 3)$.

9 Имеется лом стали двух сортов, первый содержит 10 % никеля, а второй 30 %. Сколько тонн стали каждого сорта нужно взять, чтобы получить 200 т стали с содержанием никеля 25 %?

Для решения этой задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса (в тоннах) лома стали первого сорта (с содержанием никеля 10 %), а $y$ — масса (в тоннах) лома стали второго сорта (с содержанием никеля 30 %).

Поскольку общая масса полученной стали должна составлять 200 тонн, мы можем составить первое уравнение, которое отражает суммарную массу двух сортов:

$x + y = 200$

Теперь составим уравнение, исходя из содержания никеля. Масса чистого никеля в ломе первого сорта составляет $10\%$ от его массы, то есть $0.1x$ тонн. Масса чистого никеля в ломе второго сорта составляет $30\%$, то есть $0.3y$ тонн.

В итоговой смеси массой 200 тонн содержание никеля должно быть $25\%$. Следовательно, общая масса никеля в этой смеси должна быть:

$200 \cdot 0.25 = 50$ тонн

Сумма масс никеля из двух исходных сортов лома должна быть равна массе никеля в конечной смеси. Это дает нам второе уравнение:

$0.1x + 0.3y = 50$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 200 \\ 0.1x + 0.3y = 50 \end{cases} $

Для решения системы воспользуемся методом подстановки. Из первого уравнения выразим переменную $x$:

$x = 200 - y$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$0.1(200 - y) + 0.3y = 50$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:

$20 - 0.1y + 0.3y = 50$

$0.2y = 50 - 20$

$0.2y = 30$

$y = \frac{30}{0.2} = 150$

Итак, масса лома стали второго сорта составляет 150 тонн. Теперь найдем массу лома первого сорта, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 200 - 150 = 50$

Следовательно, масса лома стали первого сорта составляет 50 тонн.

Ответ: нужно взять 50 тонн стали первого сорта и 150 тонн стали второго сорта.

10 Составьте таблицу распределения букв текста задания 4 (буквы в системе уравнений не считать; «И», «Й» — разные буквы). Найдите моду распределения.

Поскольку текст задания 4 не предоставлен, решение выполнено для текста самого задания 10, в котором и содержится данный вопрос. За основу для анализа взят следующий текст (без учета цифры 4, знаков препинания и скобок, с приведением всех букв к нижнему регистру): «составьте таблицу распределения букв текста задания буквы в системе уравнений не считать и й разные буквы найдите моду распределения». Общее количество букв в тексте — 115.

Составьте таблицу распределения букв текста

Для составления таблицы необходимо подсчитать, сколько раз каждая буква алфавита встречается в данном тексте. Результаты подсчета сведены в таблицу частотного распределения.

Ответ: Таблица распределения букв представлена выше.

Найдите моду распределения

Модой в статистике называют значение признака, которое встречается в выборке наиболее часто. В нашем случае это буква с максимальной частотой в составленной таблице.

Анализируя таблицу распределения, мы видим, что самое большое значение частоты равно 14. Эта частота соответствует букве «е».

Ответ: Модой данного распределения является буква «е».

ДОМАШНЯЯ КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №3

Вариант 2

1 Подберите три решения линейного уравнения $3x + 4y = 2$ так, чтобы переменные x и y имели одинаковые знаки.

Дано линейное уравнение $3x + 4y = 2$. Необходимо найти три его решения, то есть три пары чисел $(x, y)$, для которых переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки.

Это означает, что мы должны рассмотреть два возможных случая: либо обе переменные положительны ($x > 0$ и $y > 0$), либо обе отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$).

1. Случай, когда обе переменные отрицательны ($x < 0$ и $y < 0$).
Если $x$ — отрицательное число, то произведение $3x$ также будет отрицательным. Аналогично, если $y$ — отрицательное число, то и $4y$ будет отрицательным. Сумма двух отрицательных чисел ($3x + 4y$) всегда является отрицательным числом. Однако по условию уравнения эта сумма равна 2, что является положительным числом. Мы пришли к противоречию, следовательно, решений, в которых и $x$, и $y$ отрицательны, не существует.

2. Случай, когда обе переменные положительны ($x > 0$ и $y > 0$).
Из этого следует, что все искомые решения должны состоять из положительных чисел. Чтобы их найти, выразим переменную $y$ через $x$ из исходного уравнения:
$4y = 2 - 3x$
$y = \frac{2 - 3x}{4}$
Для того чтобы $y$ был положительным ($y > 0$), необходимо, чтобы числитель дроби $\frac{2 - 3x}{4}$ был положителен:
$2 - 3x > 0$
$2 > 3x$
$x < \frac{2}{3}$
Таким образом, для нахождения решений нам нужно подбирать значения $x$, которые удовлетворяют двойному неравенству $0 < x < \frac{2}{3}$, и для каждого из них вычислять соответствующее значение $y$.

Подберем три таких решения:

Первое решение
Возьмем значение $x = 0.2$. Это значение удовлетворяет условию $0 < 0.2 < \frac{2}{3}$ (так как $\frac{2}{3} \approx 0.67$).
Найдем соответствующий $y$:
$y = \frac{2 - 3 \cdot 0.2}{4} = \frac{2 - 0.6}{4} = \frac{1.4}{4} = 0.35$.
Получили пару чисел $(0.2; 0.35)$. Оба числа положительны, значит, их знаки одинаковы.
Проверка: $3 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.35 = 0.6 + 1.4 = 2$. Равенство выполняется.

Второе решение
Возьмем другое значение $x$, например, $x = 0.4$. Это значение также удовлетворяет условию $0 < 0.4 < \frac{2}{3}$.
Найдем соответствующий $y$:
$y = \frac{2 - 3 \cdot 0.4}{4} = \frac{2 - 1.2}{4} = \frac{0.8}{4} = 0.2$.
Получили пару чисел $(0.4; 0.2)$. Оба числа положительны.
Проверка: $3 \cdot 0.4 + 4 \cdot 0.2 = 1.2 + 0.8 = 2$. Равенство выполняется.

Третье решение
Возьмем третье значение $x$, например, $x = 0.5$ (или $x = \frac{1}{2}$). Это значение удовлетворяет условию $0 < 0.5 < \frac{2}{3}$.
Найдем соответствующий $y$:
$y = \frac{2 - 3 \cdot 0.5}{4} = \frac{2 - 1.5}{4} = \frac{0.5}{4} = 0.125$.
Получили пару чисел $(0.5; 0.125)$. Оба числа положительны.
Проверка: $3 \cdot 0.5 + 4 \cdot 0.125 = 1.5 + 0.5 = 2$. Равенство выполняется.

Ответ: Например, следующие три пары чисел являются решениями уравнения и удовлетворяют условию: $(0.2; 0.35)$, $(0.4; 0.2)$ и $(0.5; 0.125)$.

2 Решите графически систему уравнений $\begin{cases} 3x + y = 2, \\ x - 2y = 3. \end{cases}$

Чтобы решить систему уравнений графически, нужно построить график каждого уравнения на одной координатной плоскости. Координаты точки пересечения этих графиков и будут решением системы.

1. Построение графика уравнения $3x + y = 2$

Сначала выразим переменную $y$ через $x$, чтобы привести уравнение к виду линейной функции $y = kx + b$:

$y = -3x + 2$

Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно найти координаты двух точек. Выберем произвольные значения $x$ и вычислим соответствующие значения $y$:

При $x = 0$, $y = -3 \cdot 0 + 2 = 2$. Получаем точку с координатами $(0, 2)$.

При $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 + 2 = -1$. Получаем точку с координатами $(1, -1)$.

2. Построение графика уравнения $x - 2y = 3$

Аналогично преобразуем второе уравнение, выразив $y$ через $x$:

$-2y = -x + 3$

$2y = x - 3$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ или $y = 0.5x - 1.5$

Это также линейная функция, и ее график — прямая. Найдем координаты двух точек для ее построения:

При $x = 1$, $y = 0.5 \cdot 1 - 1.5 = -1$. Получаем точку с координатами $(1, -1)$.

При $x = 3$, $y = 0.5 \cdot 3 - 1.5 = 1.5 - 1.5 = 0$. Получаем точку с координатами $(3, 0)$.

3. Нахождение решения

Построим обе прямые в одной системе координат. Прямая $y = -3x + 2$ проходит через точки $(0, 2)$ и $(1, -1)$. Прямая $y = 0.5x - 1.5$ проходит через точки $(1, -1)$ и $(3, 0)$.

Видно, что графики пересекаются в точке $(1, -1)$. Следовательно, решением системы является пара чисел $x=1$ и $y=-1$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения в исходные уравнения:

$\begin{cases} 3(1) + (-1) = 2 \\ 1 - 2(-1) = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 - 1 = 2 \\ 1 + 2 = 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 2 = 2 \\ 3 = 3 \end{cases}$

Оба равенства верны, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $(1, -1)$.

3 В уравнении $3x + 2y - 5 = 0$ выразите каждую переменную через другую.

Выражение переменной y через переменную x

Дано уравнение: $3x + 2y - 5 = 0$.
Чтобы выразить переменную $y$ через $x$, необходимо изолировать слагаемое, содержащее $y$, в одной части уравнения. Для этого перенесем $3x$ и $-5$ в правую часть, изменив их знаки на противоположные:
$2y = -3x + 5$
Это можно записать как:
$2y = 5 - 3x$
Теперь, чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $y$, то есть на 2:
$y = \frac{5 - 3x}{2}$
Ответ: $y = \frac{5 - 3x}{2}$

Выражение переменной x через переменную y

Теперь выразим переменную $x$ через $y$ из того же уравнения: $3x + 2y - 5 = 0$.
Аналогично, изолируем слагаемое с $x$ в левой части. Перенесем $2y$ и $-5$ в правую часть с противоположными знаками:
$3x = -2y + 5$
Это можно записать как:
$3x = 5 - 2y$
Теперь разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:
$x = \frac{5 - 2y}{3}$
Ответ: $x = \frac{5 - 2y}{3}$

4 Решите систему уравнений методом подстановки:

$ \begin{cases} 3x + y = 1, \\ x + 2y = 7. \end{cases} $

Чтобы решить систему уравнений методом подстановки, необходимо выразить одну переменную через другую из одного из уравнений и подставить полученное выражение в другое уравнение.

Дана система:

$\begin{cases} 3x + y = 1, \\ x + 2y = 7. \end{cases}$

Из первого уравнения ($3x + y = 1$) выразим переменную $y$. Для этого перенесем $3x$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$y = 1 - 3x$

Теперь подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы ($x + 2y = 7$):

$x + 2(1 - 3x) = 7$

Решим полученное уравнение с одной переменной $x$. Сначала раскроем скобки:

$x + 2 \cdot 1 - 2 \cdot 3x = 7$

$x + 2 - 6x = 7$

Приведём подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-5x + 2 = 7$

Перенесём число 2 в правую часть, изменив знак:

$-5x = 7 - 2$

$-5x = 5$

Разделим обе части уравнения на -5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{5}{-5}$

$x = -1$

Мы нашли значение $x$. Теперь вернемся к выражению для $y$ и подставим в него найденное значение $x = -1$:

$y = 1 - 3x$

$y = 1 - 3(-1)$

$y = 1 + 3$

$y = 4$

Таким образом, решение системы — это пара чисел $(-1; 4)$.

Проверим правильность решения, подставив найденные значения в оба исходных уравнения:

Для первого уравнения: $3(-1) + 4 = -3 + 4 = 1$. Равенство $1 = 1$ верно.

Для второго уравнения: $(-1) + 2(4) = -1 + 8 = 7$. Равенство $7 = 7$ верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(-1; 4)$.