Страница 90, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Придумайте задачу, математической моделью которой является система двух линейных уравнений с двумя переменными. Составьте соответствующую математическую модель.

Задача

На парковке стоят легковые автомобили и мотоциклы. У каждого автомобиля 4 колеса, а у каждого мотоцикла — 2. Всего на парковке 25 транспортных средств, а общее количество их колес равно 80. Сколько автомобилей и сколько мотоциклов на парковке?

Математическая модель

Для составления математической модели данной задачи введем две переменные. Пусть $x$ — количество легковых автомобилей, а $y$ — количество мотоциклов.

Исходя из условий задачи, можно составить два линейных уравнения.

Первое уравнение составим на основе общего количества транспортных средств. Всего их 25, следовательно:
$x + y = 25$

Второе уравнение составим на основе общего количества колес. У $x$ автомобилей будет $4x$ колес, а у $y$ мотоциклов — $2y$ колес. Всего колес 80, следовательно:
$4x + 2y = 80$

Таким образом, математическая модель, описывающая данную задачу, представляет собой систему двух линейных уравнений с двумя переменными:

$ \begin{cases} x + y = 25 \\ 4x + 2y = 80 \end{cases} $

Ответ:
Задача: На парковке стоят легковые автомобили и мотоциклы. У каждого автомобиля 4 колеса, а у каждого мотоцикла — 2. Всего на парковке 25 транспортных средств, а общее количество их колес равно 80. Сколько автомобилей и сколько мотоциклов на парковке?
Математическая модель: $ \begin{cases} x + y = 25 \\ 4x + 2y = 80 \end{cases} $ , где $x$ — количество автомобилей, а $y$ — количество мотоциклов.

2. Решите систему уравнений, полученную вами в п. 1, методом подстановки и методом алгебраического сложения. Сравните получившиеся у вас ответы при решении системы уравнений.

В задании указано решить систему уравнений, полученную в пункте 1. Поскольку сама система не предоставлена, в качестве примера будет решена следующая система линейных уравнений, подходящая для демонстрации обоих методов:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - 3y = -7 \end{cases} $$

Решение методом подстановки

Суть метода заключается в том, чтобы выразить одну переменную из одного уравнения и подставить это выражение в другое уравнение.

1. Выразим переменную $x$ из второго уравнения, так как коэффициент при ней равен 1, что упрощает вычисления:

$x - 3y = -7 \implies x = 3y - 7$

2. Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3(3y - 7) + 2y = 12$

3. Теперь решим получившееся уравнение относительно переменной $y$:

$9y - 21 + 2y = 12$

$11y = 12 + 21$

$11y = 33$

$y = \frac{33}{11}$

$y = 3$

4. Найдем соответствующее значение $x$, подставив найденное значение $y=3$ в выражение для $x$, полученное на первом шаге:

$x = 3y - 7 = 3(3) - 7 = 9 - 7 = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

Решение методом алгебраического сложения

Суть метода заключается в том, чтобы путем умножения уравнений на числа добиться того, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами, а затем сложить уравнения.

1. Исходная система:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - 3y = -7 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение на $-3$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными ($3$ и $-3$):

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ (x - 3y) \cdot (-3) = -7 \cdot (-3) \end{cases} $$

Получим равносильную систему:

$$ \begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ -3x + 9y = 21 \end{cases} $$

2. Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

$(3x + 2y) + (-3x + 9y) = 12 + 21$

$3x - 3x + 2y + 9y = 33$

$11y = 33$

$y = 3$

3. Подставим найденное значение $y=3$ в любое из уравнений исходной системы, например, во второе:

$x - 3(3) = -7$

$x - 9 = -7$

$x = 9 - 7$

$x = 2$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(2; 3)$.

Ответ: $(2; 3)$

Сравнение получившихся ответов

При решении системы методом подстановки был получен ответ $(2; 3)$. При решении этой же системы методом алгебраического сложения был получен ответ $(2; 3)$. Ответы, полученные при решении системы двумя разными методами, полностью совпали. Это подтверждает правильность найденного решения. Выбор метода решения зависит от вида системы уравнений, но результат всегда должен быть одинаковым.

Запишите произведение в виде степени, назовите основание и показатель степени:

18.1

а) $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$; это $3^4$. Основание 3, показатель 4.

б) $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$; это $7^5$. Основание 7, показатель 5.

в) $0,5 \cdot 0,5$; это $(0,5)^2$. Основание 0,5, показатель 2.

г) $8,4 \cdot 8,4 \cdot 8,4 \cdot 8,4 \cdot 8,4$. это $(8,4)^5$. Основание 8,4, показатель 5.

а) Произведение $3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$ представляет собой умножение числа на само себя. Чтобы представить его в виде степени, необходимо определить основание и показатель.
Основание степени — это повторяющийся множитель. В данном случае это 3.
Показатель степени — это число, которое показывает, сколько раз множитель повторяется. В данном случае множитель 3 повторяется 4 раза.
Следовательно, произведение можно записать в виде степени $3^4$.
Ответ: Степень: $3^4$, основание: 3, показатель: 4.

б) В произведении $7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$ множитель 7 повторяется 6 раз.
Основание степени — это число 7.
Показатель степени — это число 6.
Таким образом, данное произведение в виде степени записывается как $7^6$.
Ответ: Степень: $7^6$, основание: 7, показатель: 6.

в) В произведении $0,5 \cdot 0,5$ множитель 0,5 повторяется 2 раза.
Основание степени — это число 0,5.
Показатель степени — это число 2.
Произведение записывается в виде степени $0,5^2$.
Ответ: Степень: $0,5^2$, основание: 0,5, показатель: 2.

г) В произведении $8,4 \cdot 8,4 \cdot 8,4 \cdot 8,4 \cdot 8,4$ множитель 8,4 повторяется 5 раз.
Основание степени — это число 8,4.
Показатель степени — это число 5.
Произведение можно записать в виде степени $8,4^5$.
Ответ: Степень: $8,4^5$, основание: 8,4, показатель: 5.

18.2 а) $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$;

Б) $y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$;

В) $z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z$;

Г) $q \cdot q \cdot q$;

а) Чтобы представить произведение одинаковых множителей в виде степени, нужно определить основание и показатель степени. В данном случае основанием является переменная $x$. Показатель степени равен количеству множителей. Посчитаем количество множителей $x$ в произведении $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x$. Их всего 7. Таким образом, данное произведение равно $x$ в седьмой степени.

$x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^7$

Ответ: $x^7$

б) В выражении $y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y$ переменная $y$ умножается сама на себя 5 раз. Следовательно, это произведение можно записать в виде степени с основанием $y$ и показателем 5.

$y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y = y^5$

Ответ: $y^5$

в) В выражении $z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z$ множитель $z$ повторяется 6 раз. Поэтому данное произведение можно представить в виде степени, где основание равно $z$, а показатель степени равен 6.

$z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z \cdot z = z^6$

Ответ: $z^6$

г) В выражении $q \cdot q \cdot q$ множитель $q$ повторяется 3 раза. Такое произведение можно записать в виде степени. Основанием степени является $q$, а показателем — число повторений, то есть 3. Это также называется "q в кубе".

$q \cdot q \cdot q = q^3$

Ответ: $q^3$

18.3 a) $(-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4);$

б) $\left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right) \cdot \left(-\frac{2}{3}\right);$

в) $(-2,5) \cdot (-2,5) \cdot (-2,5);$

г) $\left(-5\frac{7}{8}\right) \cdot \left(-5\frac{7}{8}\right).$

а) Произведение состоит из 5 одинаковых отрицательных множителей. Это можно записать в виде степени:
$(-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) \cdot (-4) = (-4)^5$
Поскольку основание степени отрицательное, а показатель степени (5) — нечетное число, результат будет отрицательным.
Вычислим $4^5$:
$4^5 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 \cdot 4 \cdot 4 = 256 \cdot 4 = 1024$
Следовательно, $(-4)^5 = -1024$.
Ответ: -1024

б) Произведение состоит из 4 одинаковых отрицательных множителей. Запишем это в виде степени:
$(-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{2}{3}) \cdot (-\frac{2}{3}) = (-\frac{2}{3})^4$
Поскольку основание степени отрицательное, а показатель степени (4) — четное число, результат будет положительным.
Вычислим $(\frac{2}{3})^4$:
$(\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{16}{81}$
Ответ: $\frac{16}{81}$

в) Произведение состоит из 3 одинаковых отрицательных множителей. Запишем это в виде степени:
$(-2,5) \cdot (-2,5) \cdot (-2,5) = (-2,5)^3$
Поскольку основание степени отрицательное, а показатель степени (3) — нечетное число, результат будет отрицательным.
Вычислим $(2,5)^3$:
$2,5 \cdot 2,5 = 6,25$
$6,25 \cdot 2,5 = 15,625$
Следовательно, $(-2,5)^3 = -15,625$.
Ответ: -15,625

г) Произведение состоит из 2 одинаковых отрицательных множителей. Запишем это в виде степени:
$(-5\frac{7}{8}) \cdot (-5\frac{7}{8}) = (-5\frac{7}{8})^2$
Поскольку основание степени отрицательное, а показатель степени (2) — четное число, результат будет положительным.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$5\frac{7}{8} = \frac{5 \cdot 8 + 7}{8} = \frac{40+7}{8} = \frac{47}{8}$
Теперь возведем полученную дробь в квадрат:
$(\frac{47}{8})^2 = \frac{47^2}{8^2} = \frac{2209}{64}$
Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$2209 \div 64 = 34$ (остаток $33$)
Таким образом, $\frac{2209}{64} = 34\frac{33}{64}$.
Ответ: $34\frac{33}{64}$