Страница 89, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

5 Чему равны коэффициенты $a$ и $b$, если известно, что пара чисел $(2; 1)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} ax - 4y = 2, \\ 2x + by = 9 \end{cases}$?

По условию, пара чисел (2; 1) является решением системы уравнений. Это означает, что если подставить в уравнения системы значения $x=2$ и $y=1$, то оба равенства будут верными. Мы можем использовать это, чтобы найти значения коэффициентов $a$ и $b$.

Найдем коэффициент a

Подставим значения $x=2$ и $y=1$ в первое уравнение системы $ax - 4y = 2$:

$a \cdot 2 - 4 \cdot 1 = 2$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$2a - 4 = 2$

Перенесем -4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$2a = 2 + 4$

$2a = 6$

Разделим обе части уравнения на 2:

$a = \frac{6}{2}$

$a = 3$

Найдем коэффициент b

Аналогично подставим значения $x=2$ и $y=1$ во второе уравнение системы $2x + by = 9$:

$2 \cdot 2 + b \cdot 1 = 9$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$4 + b = 9$

Перенесем 4 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$b = 9 - 4$

$b = 5$

Таким образом, мы нашли искомые коэффициенты: $a=3$ и $b=5$.

Ответ: $a = 3$, $b = 5$.

6 Решите систему уравнений методом алгебраического сложения:

$\begin{cases} 0.3x + 0.5y = 2.6, \\ 0.1x - 0.2y = -0.6. \end{cases}$

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 0,3x + 0,5y = 2,6, \\ 0,1x - 0,2y = -0,6. \end{cases} $

Для удобства вычислений и применения метода алгебраического сложения, сначала избавимся от десятичных дробей. Для этого умножим обе части каждого уравнения на 10.

$ \begin{cases} 10 \cdot (0,3x + 0,5y) = 10 \cdot 2,6, \\ 10 \cdot (0,1x - 0,2y) = 10 \cdot (-0,6). \end{cases} $

В результате получаем равносильную систему с целыми коэффициентами:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 26, \\ x - 2y = -6. \end{cases} $

Теперь применим метод алгебраического сложения. Чтобы исключить переменную $x$, умножим второе уравнение на -3. Коэффициенты при $x$ станут противоположными числами (3 и -3).

$ \begin{cases} 3x + 5y = 26, \\ -3 \cdot (x - 2y) = -3 \cdot (-6). \end{cases} $

Выполняем умножение во втором уравнении:

$ \begin{cases} 3x + 5y = 26, \\ -3x + 6y = 18. \end{cases} $

Сложим почленно левые и правые части уравнений полученной системы:

$(3x + 5y) + (-3x + 6y) = 26 + 18$

Приводим подобные слагаемые:

$3x - 3x + 5y + 6y = 44$

$11y = 44$

Находим значение $y$:

$y = \frac{44}{11}$

$y = 4$

Подставим найденное значение $y=4$ в любое из уравнений системы (удобнее в уравнение с целыми коэффициентами, например, $x - 2y = -6$), чтобы найти значение $x$:

$x - 2 \cdot 4 = -6$

$x - 8 = -6$

$x = -6 + 8$

$x = 2$

Таким образом, решение системы уравнений — пара чисел $(2; 4)$.

Проверим полученное решение, подставив его в исходную систему:

$ \begin{cases} 0,3 \cdot 2 + 0,5 \cdot 4 = 0,6 + 2,0 = 2,6, \\ 0,1 \cdot 2 - 0,2 \cdot 4 = 0,2 - 0,8 = -0,6. \end{cases} $

Оба равенства верны, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(2; 4)$.

7 Составьте уравнение прямой, проходящей через точки $M(1; 5)$ и $N(-2; 11)$.

Для составления уравнения прямой, проходящей через две заданные точки M($x_1$; $y_1$) и N($x_2$; $y_2$), можно использовать каноническое уравнение прямой:

$ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} $

В нашей задаче даны точки M(1; 5) и N(-2; 11). Подставим координаты этих точек в формулу, приняв M за первую точку, а N за вторую.

Координаты точки M: $x_1 = 1$, $y_1 = 5$.

Координаты точки N: $x_2 = -2$, $y_2 = 11$.

Подставляем значения:

$ \frac{x - 1}{-2 - 1} = \frac{y - 5}{11 - 5} $

Выполняем вычисления в знаменателях:

$ \frac{x - 1}{-3} = \frac{y - 5}{6} $

Теперь преобразуем полученное уравнение к стандартному виду прямой с угловым коэффициентом $y = kx + b$. Для этого используем свойство пропорции (умножаем уравнение на общий знаменатель или "крест-накрест"):

$ 6 \cdot (x - 1) = -3 \cdot (y - 5) $

Раскрываем скобки в обеих частях уравнения:

$ 6x - 6 = -3y + 15 $

Теперь выразим $y$. Для этого перенесем слагаемое с $y$ в левую часть, а остальные слагаемые — в правую:

$ 3y = -6x + 15 + 6 $

$ 3y = -6x + 21 $

Разделим обе части уравнения на 3:

$ y = \frac{-6x + 21}{3} $

$ y = -2x + 7 $

Это и есть искомое уравнение прямой.

Проверка

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим координаты исходных точек M и N в полученное уравнение.

Для точки M(1; 5):

$ 5 = -2 \cdot 1 + 7 $

$ 5 = -2 + 7 $

$ 5 = 5 $ (Верно)

Для точки N(-2; 11):

$ 11 = -2 \cdot (-2) + 7 $

$ 11 = 4 + 7 $

$ 11 = 11 $ (Верно)

Так как координаты обеих точек удовлетворяют уравнению, оно найдено правильно.

Ответ: $y = -2x + 7$

8 Решите систему уравнений $ \begin{cases} \frac{4x - 5}{5x + 2y} = 1, \\ \frac{3 - 2x}{1 + 4y} = \frac{1}{5}. \end{cases} $

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} \frac{4x - 5}{5x + 2y} = 1 \\ \frac{3 - 2x}{1 + 4y} = \frac{1}{5} \end{cases} $$

В первую очередь определим область допустимых значений (ОДЗ), так как в уравнениях есть дроби. Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

$$ \begin{cases} 5x + 2y \neq 0 \\ 1 + 4y \neq 0 \end{cases} $$

Из второго условия получаем $4y \neq -1$, то есть $y \neq -\frac{1}{4}$.

Теперь преобразуем каждое уравнение системы, чтобы избавиться от дробей.

Рассмотрим первое уравнение:

$ \frac{4x - 5}{5x + 2y} = 1 $

Умножим обе части уравнения на знаменатель $5x + 2y$:

$ 4x - 5 = 1 \cdot (5x + 2y) $

$ 4x - 5 = 5x + 2y $

Перенесем все члены с переменными в левую часть, а свободные члены — в правую:

$ 4x - 5x - 2y = 5 $

$ -x - 2y = 5 $

Умножим обе части на -1 для удобства:

$ x + 2y = -5 $

Теперь рассмотрим второе уравнение:

$ \frac{3 - 2x}{1 + 4y} = \frac{1}{5} $

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ 5 \cdot (3 - 2x) = 1 \cdot (1 + 4y) $

$ 15 - 10x = 1 + 4y $

Перенесем члены с переменными в одну сторону, а числа — в другую:

$ 15 - 1 = 10x + 4y $

$ 14 = 10x + 4y $

Разделим обе части уравнения на 2:

$ 7 = 5x + 2y $ или $ 5x + 2y = 7 $

В результате мы получили равносильную систему линейных уравнений:

$$ \begin{cases} x + 2y = -5 \\ 5x + 2y = 7 \end{cases} $$

Эту систему удобно решить методом алгебраического сложения (вычитания). Вычтем из второго уравнения первое:

$ (5x + 2y) - (x + 2y) = 7 - (-5) $

$ 5x + 2y - x - 2y = 7 + 5 $

$ 4x = 12 $

$ x = \frac{12}{4} = 3 $

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$, подставив $x = 3$ в первое уравнение упрощенной системы $x + 2y = -5$:

$ 3 + 2y = -5 $

$ 2y = -5 - 3 $

$ 2y = -8 $

$ y = \frac{-8}{2} = -4 $

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3; -4)$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение ОДЗ:

1. $5x + 2y = 5(3) + 2(-4) = 15 - 8 = 7 \neq 0$.

2. $y = -4 \neq -\frac{1}{4}$.

Оба условия выполняются, значит, решение найдено верно.

Ответ: $(3; -4)$.

9 Найдите число B, если известно, что оно составляет 24% от числа А и на 7 больше числа C, составляющего 16% от числа А.

Для решения этой задачи давайте обозначим неизвестные числа как A, B и C.

Исходя из условий, мы можем записать следующие соотношения в виде уравнений:
1. Число B составляет 24% от числа A. Это можно записать как: $B = 0.24 \cdot A$.
2. Число C составляет 16% от числа A. Это можно записать как: $C = 0.16 \cdot A$.
3. Число B на 7 больше числа C. Это можно записать как: $B = C + 7$.

Нам нужно найти число B. Для этого сначала выразим разность между B и C через A. Из уравнений (1) и (2) следует:
$B - C = (0.24 \cdot A) - (0.16 \cdot A)$
$B - C = (0.24 - 0.16) \cdot A$
$B - C = 0.08 \cdot A$

Из третьего условия мы знаем, что $B = C + 7$, что эквивалентно $B - C = 7$.

Теперь мы можем приравнять два выражения для разности $B - C$:
$0.08 \cdot A = 7$

Решим это уравнение, чтобы найти значение A:
$A = \frac{7}{0.08}$
Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100:
$A = \frac{700}{8} = 87.5$

Теперь, зная значение A, мы можем найти B, используя первое уравнение $B = 0.24 \cdot A$:
$B = 0.24 \cdot 87.5$
$B = 21$

Для проверки можно найти C и убедиться, что все условия выполняются:
$C = 0.16 \cdot A = 0.16 \cdot 87.5 = 14$
Проверяем третье условие: $B = C + 7 \implies 21 = 14 + 7$. Равенство верно.

Ответ: 21

10 Составьте таблицу распределения букв текста задания 4 (буквы в системе уравнений не считать; «И», «Й» — разные буквы). Найдите моду распределения.

Для решения данной задачи необходим текст «задания 4», который отсутствует на изображении. В качестве демонстрации метода решения будет выполнен анализ текста самого задания 10, которое представлено на изображении.

Текст для анализа будет взят из основного условия, при этом часть текста в скобках — «(буквы в системе уравнений не считать; «и», «й» — разные буквы)» — будет рассматриваться как инструкция, а не часть анализируемого текста. Таким образом, текст для анализа следующий: «Составьте таблицу распределения букв текста задания. Найдите моду распределения.»

Для начала подсчитаем частоту (количество вхождений) каждой буквы в указанном тексте. Буквы «и» и «й» считаются различными, регистр букв не учитывается.

Ниже представлена таблица распределения букв по частоте:

Буквы г, ё, ж, ф, х, ч, ш, щ, ъ, ы, э, ю в данном тексте не встречаются, поэтому их частота равна $0$.

Ответ: Таблица распределения букв для демонстрационного текста представлена выше.

Мода статистического распределения — это значение, которое встречается в выборке наиболее часто. В нашем случае это буква с максимальной частотой.

Анализируя составленную таблицу, можно увидеть, что чаще всего в тексте встречается буква «е». Её частота равна $10$, что является максимальным значением среди всех букв.

Ответ: Модой данного распределения является буква «е».