Страница 101, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Чему равно значение выражения $(-1)^{2014} \cdot (-1)^{2015}$?

1. Чтобы найти значение выражения $ (-1)^{2014} + (-1)^{2015} $, необходимо вычислить каждый член суммы по отдельности, основываясь на свойствах возведения числа -1 в степень.

Существует простое правило для степеней числа -1:

• Если показатель степени — четное число, то результат возведения -1 в эту степень равен 1. Математически это записывается как $ (-1)^n = 1 $ для любого четного $n$.
• Если показатель степени — нечетное число, то результат возведения -1 в эту степень равен -1. Математически это записывается как $ (-1)^n = -1 $ для любого нечетного $n$.

Применим эти правила к нашему выражению.

1. Рассмотрим первый член: $ (-1)^{2014} $.

Показатель степени 2014 является четным числом, так как его последняя цифра 4 — четная. Следовательно:

$ (-1)^{2014} = 1 $

2. Рассмотрим второй член: $ (-1)^{2015} $.

Показатель степени 2015 является нечетным числом, так как его последняя цифра 5 — нечетная. Следовательно:

$ (-1)^{2015} = -1 $

3. Теперь сложим полученные значения:

$ (-1)^{2014} + (-1)^{2015} = 1 + (-1) = 1 - 1 = 0 $

Таким образом, значение всего выражения равно 0.

Ответ: 0

2. Сколько нулей содержится в записи числа $10^{2014}$?

Для того чтобы определить, сколько нулей содержится в записи числа $10^{2014}$, необходимо понять, как формируются степени числа 10 в десятичной системе счисления.

Число, представленное в виде $10^n$, где $n$ – это натуральное число, всегда записывается как единица, за которой следует $n$ нулей. Это следует из самого определения позиционной системы счисления.

Рассмотрим несколько примеров, чтобы увидеть эту закономерность:
$10^1 = 10$ (одна единица и один ноль)
$10^2 = 100$ (одна единица и два нуля)
$10^3 = 1000$ (одна единица и три нуля)

Как видно из примеров, количество нулей в записи числа $10^n$ всегда равно показателю степени $n$.

Применяя это правило к заданному числу $10^{2014}$, мы видим, что показатель степени равен 2014. Следовательно, в десятичной записи этого числа будет одна единица, за которой последуют 2014 нулей.

Ответ: 2014

3. Что больше: $0^{1000}$ или $1^{10}$?

Для того чтобы сравнить два числа, $0^{1000}$ и $1^{10}$, необходимо вычислить значение каждого из них по отдельности.

Вычисление $0^{1000}$

Первое выражение представляет собой число $0$, возведенное в степень $1000$. Возведение в степень — это операция многократного умножения числа на само себя. Таким образом, нам нужно умножить ноль на себя 1000 раз.

$0^{1000} = \underbrace{0 \times 0 \times \dots \times 0}_{1000 \text{ раз}}$

По определению умножения, любое число, умноженное на ноль, дает в результате ноль. Следовательно, значение всего выражения равно нулю.

Ответ: $0^{1000} = 0$.

Вычисление $1^{10}$

Второе выражение — это число $1$, возведенное в степень $10$. Аналогично первому случаю, это означает, что число $1$ нужно умножить на себя 10 раз.

$1^{10} = \underbrace{1 \times 1 \times \dots \times 1}_{10 \text{ раз}}$

Число $1$ является нейтральным элементом для умножения, поэтому при умножении единицы на саму себя любое количество раз результатом всегда будет единица.

Ответ: $1^{10} = 1$.

Сравнение и итоговый вывод

Теперь необходимо сравнить полученные результаты: $0$ и $1$.

Очевидно, что $1$ больше, чем $0$:

$1 > 0$

Из этого следует, что значение выражения $1^{10}$ больше значения выражения $0^{1000}$.

Ответ: $1^{10}$ больше, чем $0^{1000}$.

4. Что больше: $1^{1000}$ или $1000^1$?

Чтобы определить, какое из чисел больше, $1^{1000}$ или $1000^1$, необходимо вычислить значение каждого выражения, основываясь на фундаментальных свойствах степеней.

Сначала рассмотрим число $1^{1000}$. Согласно свойству степеней, число 1, возведенное в любую степень, всегда равно 1. Это происходит потому, что умножение единицы на саму себя любое количество раз в результате дает единицу.

$1^{1000} = \underbrace{1 \times 1 \times 1 \times \dots \times 1}_{1000 \text{ раз}} = 1$

Теперь рассмотрим число $1000^1$. По определению, любое число, возведенное в первую степень, равно самому себе.

$1000^1 = 1000$

Теперь сравним полученные результаты: 1 и 1000. Очевидно, что 1 меньше 1000.

$1 < 1000$

Следовательно, мы можем заключить, что $1^{1000} < 1000^1$.

Ответ: $1000^1$ больше, чем $1^{1000}$.

20.24 Решите уравнение:

а) $x : 2^5 = 2^3$;

б) $3^6 : x = 3^4$;

в) $x : 5^2 = 5$;

г) $7^7 : x = 7^4$.

а) $x : 2^5 = 2^3$

Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное ($2^3$) умножить на делитель ($2^5$).

$x = 2^3 \cdot 2^5$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$x = 2^{3+5}$

$x = 2^8$

Вычисляем значение $2^8$:

$x = 256$

Ответ: $256$.

б) $3^6 : x = 3^4$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое ($3^6$) разделить на частное ($3^4$).

$x = 3^6 : 3^4$

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$x = 3^{6-4}$

$x = 3^2$

Вычисляем значение $3^2$:

$x = 9$

Ответ: $9$.

в) $x : 5^2 = 5$

Представим число $5$ как степень с основанием 5: $5 = 5^1$.

Уравнение примет вид: $x : 5^2 = 5^1$.

Чтобы найти неизвестное делимое $x$, нужно частное ($5^1$) умножить на делитель ($5^2$).

$x = 5^1 \cdot 5^2$

Используя правило умножения степеней с одинаковым основанием:

$x = 5^{1+2}$

$x = 5^3$

Вычисляем значение $5^3$:

$x = 125$

Ответ: $125$.

г) $7^7 : x = 7^4$

Чтобы найти неизвестный делитель $x$, нужно делимое ($7^7$) разделить на частное ($7^4$).

$x = 7^7 : 7^4$

Используя правило деления степеней с одинаковым основанием:

$x = 7^{7-4}$

$x = 7^3$

Вычисляем значение $7^3$:

$x = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$

Ответ: $343$.

Вычислите:

20.25 а) $\frac{7^3 \cdot 7^{12}}{7^{14}}$;

б) $\frac{10^{15} \cdot 10^7}{10^{19}}$;

в) $\frac{15 \cdot 15^{13}}{15^{12}}$;

г) $\frac{43^{12}}{43^6 \cdot 43^5}$.

а) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{7^3 \cdot 7^{12}}{7^{14}}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$7^3 \cdot 7^{12} = 7^{3+12} = 7^{15}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{7^{15}}{7^{14}}$.
Далее, при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{7^{15}}{7^{14}} = 7^{15-14} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

б) Для вычисления выражения $\frac{10^{15} \cdot 10^7}{10^{19}}$ применим те же свойства степеней.
Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{15} \cdot 10^7 = 10^{15+7} = 10^{22}$.
Теперь разделим полученный результат на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{22}}{10^{19}} = 10^{22-19} = 10^3$.
Вычислим полученное значение: $10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

в) Вычислим значение выражения $\frac{15 \cdot 15^{13}}{15^{12}}$.
Заметим, что число $15$ можно представить как $15^1$. Упростим числитель, сложив показатели степеней:
$15^1 \cdot 15^{13} = 15^{1+13} = 15^{14}$.
Теперь выполним деление, вычтя показатели степеней:
$\frac{15^{14}}{15^{12}} = 15^{14-12} = 15^2$.
Вычислим квадрат числа 15: $15^2 = 225$.
Ответ: 225

г) Рассмотрим выражение $\frac{43^{12}}{43^6 \cdot 43^5}$.
В этом случае сначала упростим знаменатель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием:
$43^6 \cdot 43^5 = 43^{6+5} = 43^{11}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\frac{43^{12}}{43^{11}}$.
Выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:
$\frac{43^{12}}{43^{11}} = 43^{12-11} = 43^1 = 43$.
Ответ: 43

20.26 a) $\frac{(0,3)^3 \cdot (0,3)^{12}}{(0,3)^{13}}$

Б) $\frac{\left(\frac{7}{8}\right)^{16} \cdot \frac{7}{8}}{\left(\frac{7}{8}\right)^{15}}$

В) $\frac{(0,09)^5 \cdot (0,09)^4}{(0,09)^7}$

Г) $\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2}{\frac{1}{3}}$

а) Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(0,3)^3 \cdot (0,3)^{12} = (0,3)^{3+12} = (0,3)^{15}$
Теперь всё выражение выглядит так: $\frac{(0,3)^{15}}{(0,3)^{13}}$.
Далее применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{(0,3)^{15}}{(0,3)^{13}} = (0,3)^{15-13} = (0,3)^2$
Осталось вычислить результат:
$(0,3)^2 = 0,3 \cdot 0,3 = 0,09$
Ответ: 0,09

б) Упростим выражение, используя свойства степеней. Основание степени здесь $\frac{7}{8}$.
Заметим, что множитель $\frac{7}{8}$ в числителе можно представить как $(\frac{7}{8})^1$.
Применим правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:
$(\frac{7}{8})^{16} \cdot (\frac{7}{8})^1 = (\frac{7}{8})^{16+1} = (\frac{7}{8})^{17}$
Теперь всё выражение имеет вид: $\frac{(\frac{7}{8})^{17}}{(\frac{7}{8})^{15}}$.
Используем правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$(\frac{7}{8})^{17-15} = (\frac{7}{8})^2$
Вычислим полученное значение:
$(\frac{7}{8})^2 = \frac{7^2}{8^2} = \frac{49}{64}$
Ответ: $\frac{49}{64}$

в) Для решения этого примера используем те же свойства степеней, что и в предыдущих пунктах.
Упростим числитель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(0,09)^5 \cdot (0,09)^4 = (0,09)^{5+4} = (0,09)^9$
Теперь подставим это в исходное выражение: $\frac{(0,09)^9}{(0,09)^7}$.
Применим правило деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{(0,09)^9}{(0,09)^7} = (0,09)^{9-7} = (0,09)^2$
Вычислим результат:
$(0,09)^2 = 0,09 \cdot 0,09 = 0,0081$
Ответ: 0,0081

г) Упростим данное выражение. Основание степени здесь $\frac{1}{3}$.
Знаменатель дроби $\frac{1}{3}$ можно записать как $(\frac{1}{3})^1$.
Сначала упростим числитель по правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$(\frac{1}{3})^3 \cdot (\frac{1}{3})^2 = (\frac{1}{3})^{3+2} = (\frac{1}{3})^5$
Теперь всё выражение выглядит так: $\frac{(\frac{1}{3})^5}{(\frac{1}{3})^1}$.
Используем правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$(\frac{1}{3})^{5-1} = (\frac{1}{3})^4$
Вычислим полученное значение:
$(\frac{1}{3})^4 = \frac{1^4}{3^4} = \frac{1}{81}$
Ответ: $\frac{1}{81}$

20.27 Используя правила умножения и деления степеней, упростите выражение:

а) $\frac{x^5 \cdot x^8}{x^3}$;

б) $\frac{y^7 \cdot y^9}{y^5}$;

в) $\frac{c^{12} \cdot c^{10}}{c^{21}}$;

г) $\frac{d^{18} \cdot d^{12}}{d^{15}}$.

Для упрощения данных выражений необходимо использовать правила умножения и деления степеней с одинаковым основанием.

1. Правило умножения степеней: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Формула: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

2. Правило деления степеней: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени числителя вычитается показатель степени знаменателя. Формула: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

а) $\frac{x^5 \cdot x^8}{x^3}$

Сначала упростим числитель, применив правило умножения степеней:

$x^5 \cdot x^8 = x^{5+8} = x^{13}$

Теперь разделим полученное выражение на знаменатель, используя правило деления степеней:

$\frac{x^{13}}{x^3} = x^{13-3} = x^{10}$

Ответ: $x^{10}$

б) $\frac{y^7 \cdot y^9}{y^5}$

Упростим числитель, сложив показатели степеней:

$y^7 \cdot y^9 = y^{7+9} = y^{16}$

Затем выполним деление, вычитая показатели степеней:

$\frac{y^{16}}{y^5} = y^{16-5} = y^{11}$

Ответ: $y^{11}$

в) $\frac{c^{12} \cdot c^{10}}{c^{21}}$

Выполним умножение степеней в числителе:

$c^{12} \cdot c^{10} = c^{12+10} = c^{22}$

Теперь разделим на знаменатель:

$\frac{c^{22}}{c^{21}} = c^{22-21} = c^1 = c$

Ответ: $c$

г) $\frac{d^{18} \cdot d^{12}}{d^{15}}$

Упростим числитель, используя правило умножения:

$d^{18} \cdot d^{12} = d^{18+12} = d^{30}$

Далее выполним деление:

$\frac{d^{30}}{d^{15}} = d^{30-15} = d^{15}$

Ответ: $d^{15}$

20.28 Запишите в виде степени с основанием x:

а) $(x^3)^2$;

б) $(x^5)^6$;

в) $(x^7)^{12}$;

г) $(x^{10})^{13}$.

Для решения данной задачи мы воспользуемся свойством возведения степени в степень. Это свойство гласит, что при возведении степени в степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются. Формула этого свойства выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

а) Применим указанное свойство к выражению $(x^3)^2$. В данном случае основание — это $x$, а показатели степеней — 3 и 2.

$(x^3)^2 = x^{3 \cdot 2} = x^6$.

Ответ: $x^6$.

б) Аналогично для выражения $(x^5)^6$. Основание — $x$, показатели степеней — 5 и 6.

$(x^5)^6 = x^{5 \cdot 6} = x^{30}$.

Ответ: $x^{30}$.

в) Для выражения $(x^7)^{12}$ основание — $x$, показатели степеней — 7 и 12.

$(x^7)^{12} = x^{7 \cdot 12} = x^{84}$.

Ответ: $x^{84}$.

г) Для выражения $(x^{10})^{13}$ основание — $x$, показатели степеней — 10 и 13.

$(x^{10})^{13} = x^{10 \cdot 13} = x^{130}$.

Ответ: $x^{130}$.

20.29 Представьте $2^{40}$ в виде степени с основанием:

а) $2^8$;

б) $2^{10}$;

в) $2^{20}$;

г) $2^4$.

Для решения этой задачи мы воспользуемся свойством степеней: при возведении степени в степень их показатели перемножаются. Формула выглядит так: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Нам нужно представить число $2^{40}$ в виде $(b)^x$, где $b$ — это новое основание из каждого подпункта, а $x$ — новый показатель степени, который нам предстоит найти.

а)

Требуется представить $2^{40}$ в виде степени с основанием $2^8$.
Пусть искомое выражение имеет вид $(2^8)^x$.
Согласно свойству степеней, $(2^8)^x = 2^{8 \cdot x}$.
Чтобы это выражение было равно $2^{40}$, их показатели должны быть равны:
$8 \cdot x = 40$
$x = \frac{40}{8}$
$x = 5$
Таким образом, $2^{40} = (2^8)^5$.
Ответ: $(2^8)^5$.

б)

Требуется представить $2^{40}$ в виде степени с основанием $2^{10}$.
Пусть искомое выражение имеет вид $(2^{10})^x$.
По свойству степеней, $(2^{10})^x = 2^{10 \cdot x}$.
Приравняем показатели:
$10 \cdot x = 40$
$x = \frac{40}{10}$
$x = 4$
Таким образом, $2^{40} = (2^{10})^4$.
Ответ: $(2^{10})^4$.

в)

Требуется представить $2^{40}$ в виде степени с основанием $2^{20}$.
Пусть искомое выражение имеет вид $(2^{20})^x$.
По свойству степеней, $(2^{20})^x = 2^{20 \cdot x}$.
Приравняем показатели:
$20 \cdot x = 40$
$x = \frac{40}{20}$
$x = 2$
Таким образом, $2^{40} = (2^{20})^2$.
Ответ: $(2^{20})^2$.

г)

Требуется представить $2^{40}$ в виде степени с основанием $2^4$.
Пусть искомое выражение имеет вид $(2^4)^x$.
По свойству степеней, $(2^4)^x = 2^{4 \cdot x}$.
Приравняем показатели:
$4 \cdot x = 40$
$x = \frac{40}{4}$
$x = 10$
Таким образом, $2^{40} = (2^4)^{10}$.
Ответ: $(2^4)^{10}$.

20.30 Запишите в виде степени с показателем 3:

а) $m^{18}$;

б) $n^{48}$;

в) $a^{54}$;

г) $b^{21}$.

Чтобы представить заданные выражения в виде степени с показателем 3, необходимо воспользоваться свойством возведения степени в степень: $(a^n)^k = a^{n \cdot k}$. В нашем случае, мы хотим представить выражение вида $x^p$ как $(x^y)^3$. Это означает, что $p = y \cdot 3$, или $y = p \div 3$. Таким образом, для каждого случая нам нужно разделить исходный показатель степени на 3.

а) Дано выражение $m^{18}$.

Чтобы представить его в виде степени с показателем 3, нужно найти такое основание, которое, будучи возведенным в куб, даст $m^{18}$. Это основание будет иметь вид $m^k$, где $k \cdot 3 = 18$.

Найдем $k$:

$k = 18 \div 3 = 6$

Следовательно, $m^{18} = (m^6)^3$.

Ответ: $(m^6)^3$

б) Дано выражение $n^{48}$.

Представим его в виде $(n^k)^3$. Для этого найдем $k$ из условия $k \cdot 3 = 48$.

Найдем $k$:

$k = 48 \div 3 = 16$

Следовательно, $n^{48} = (n^{16})^3$.

Ответ: $(n^{16})^3$

в) Дано выражение $a^{54}$.

Представим его в виде $(a^k)^3$. Найдем $k$ из условия $k \cdot 3 = 54$.

Найдем $k$:

$k = 54 \div 3 = 18$

Следовательно, $a^{54} = (a^{18})^3$.

Ответ: $(a^{18})^3$

г) Дано выражение $b^{21}$.

Представим его в виде $(b^k)^3$. Найдем $k$ из условия $k \cdot 3 = 21$.

Найдем $k$:

$k = 21 \div 3 = 7$

Следовательно, $b^{21} = (b^7)^3$.

Ответ: $(b^7)^3$

Вычислите:

20.31 а) $(7^3)^2$;

б) $(3^3)^2$;

в) $(4^2)^3$;

г) $(2^2)^5$.

а) Чтобы вычислить выражение $(7^3)^2$, воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Согласно этому свойству, при возведении степени в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются.
$(7^3)^2 = 7^{3 \cdot 2} = 7^6$.
Теперь вычислим полученное значение. Можно сначала вычислить $7^3$, а затем возвести результат в квадрат:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343$.
$7^6 = (7^3)^2 = 343^2 = 343 \cdot 343 = 117649$.
Ответ: 117649.

б) Для выражения $(3^3)^2$ используем то же свойство степени: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(3^3)^2 = 3^{3 \cdot 2} = 3^6$.
Вычислим значение $3^6$. Можно посчитать $3^3$ и возвести в квадрат:
$3^3 = 27$.
$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 27 \cdot 27 = 729$.
Ответ: 729.

в) Вычислим $(4^2)^3$, используя свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6$.
Для удобства вычисления можно представить основание $4$ как $2^2$:
$4^6 = (2^2)^6 = 2^{2 \cdot 6} = 2^{12}$.
Зная, что $2^{10} = 1024$, находим:
$2^{12} = 2^{10} \cdot 2^2 = 1024 \cdot 4 = 4096$.
Ответ: 4096.

г) В выражении $(2^2)^5$ также применяем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
$(2^2)^5 = 2^{2 \cdot 5} = 2^{10}$.
Это известная степень двойки, часто используемая в информатике:
$2^{10} = 1024$.
Ответ: 1024.

20.32 а) $ \frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{2^{18}} $

б) $ \frac{(3^5)^2}{3^3 \cdot 9} $

в) $ \frac{(5^6)^3 \cdot 5^8}{5^{22}} $

г) $ \frac{4^7 \cdot 16}{(4^2)^4} $

а) $\frac{2^6 \cdot (2^3)^5}{2^{18}}$

Для решения данного примера воспользуемся свойствами степеней. Сначала упростим числитель дроби.

При возведении степени в степень их показатели перемножаются: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(2^3)^5 = 2^{3 \cdot 5} = 2^{15}$.

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$2^6 \cdot 2^{15} = 2^{6+15} = 2^{21}$.

Теперь выражение имеет вид: $\frac{2^{21}}{2^{18}}$.

При делении степеней с одинаковым основанием из показателя делимого вычитается показатель делителя: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{2^{21}}{2^{18}} = 2^{21-18} = 2^3$.

Вычислим полученное значение: $2^3 = 8$.

Ответ: 8

б) $\frac{(3^5)^2}{3^3 \cdot 9}$

Сначала упростим числитель, используя правило возведения степени в степень: $(3^5)^2 = 3^{5 \cdot 2} = 3^{10}$.

Теперь упростим знаменатель. Представим число 9 в виде степени с основанием 3: $9 = 3^2$.

Знаменатель примет вид: $3^3 \cdot 3^2$. Применим правило умножения степеней: $3^{3+2} = 3^5$.

Теперь все выражение выглядит так: $\frac{3^{10}}{3^5}$.

Применим правило деления степеней: $3^{10-5} = 3^5$.

Вычислим результат: $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Ответ: 243

в) $\frac{(5^6)^3 \cdot 5^8}{5^{22}}$

Упростим числитель. Сначала возведем степень в степень: $(5^6)^3 = 5^{6 \cdot 3} = 5^{18}$.

Затем перемножим степени в числителе: $5^{18} \cdot 5^8 = 5^{18+8} = 5^{26}$.

Теперь разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{5^{26}}{5^{22}}$.

Используем правило деления степеней: $5^{26-22} = 5^4$.

Вычислим результат: $5^4 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 625$.

Ответ: 625

г) $\frac{4^7 \cdot 16}{(4^2)^4}$

Приведем все числа к основанию 4. В числителе представим 16 как $4^2$.

Числитель примет вид: $4^7 \cdot 4^2 = 4^{7+2} = 4^9$.

В знаменателе возведем степень в степень: $(4^2)^4 = 4^{2 \cdot 4} = 4^8$.

Теперь все выражение выглядит так: $\frac{4^9}{4^8}$.

Выполним деление степеней: $4^{9-8} = 4^1 = 4$.

Ответ: 4

20.33 a) $\frac{5^6 \cdot 125}{25^4}$;

б) $\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$;

в) $\frac{2^5 \cdot 8}{4^3}$;

г) $\frac{16^6}{4^7 \cdot 64}$.

а)

Чтобы решить данное выражение $\frac{5^6 \cdot 125}{25^4}$, приведем все числа к основанию 5. Мы знаем, что $125 = 5^3$ и $25 = 5^2$. Подставим эти значения в исходное выражение: $\frac{5^6 \cdot 5^3}{(5^2)^4}$
Используем свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.
В числителе: $5^6 \cdot 5^3 = 5^{6+3} = 5^9$.
В знаменателе: $(5^2)^4 = 5^{2 \cdot 4} = 5^8$.
Теперь выражение выглядит так: $\frac{5^9}{5^8}$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{5^9}{5^8} = 5^{9-8} = 5^1 = 5$.
Ответ: 5

б)

Рассмотрим выражение $\frac{3^{11} \cdot 27}{9^6}$. Приведем все числа к основанию 3. Мы знаем, что $27 = 3^3$ и $9 = 3^2$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{3^{11} \cdot 3^3}{(3^2)^6}$
Упростим числитель, используя правило умножения степеней: $3^{11} \cdot 3^3 = 3^{11+3} = 3^{14}$.
Упростим знаменатель, используя правило возведения степени в степень: $(3^2)^6 = 3^{2 \cdot 6} = 3^{12}$.
Получим дробь: $\frac{3^{14}}{3^{12}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{3^{14}}{3^{12}} = 3^{14-12} = 3^2 = 9$.
Ответ: 9

в)

Рассмотрим выражение $\frac{2^5 \cdot 8}{4^3}$. Приведем все числа к основанию 2. Мы знаем, что $8 = 2^3$ и $4 = 2^2$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{2^5 \cdot 2^3}{(2^2)^3}$
Упростим числитель: $2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3} = 2^8$.
Упростим знаменатель: $(2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6$.
Получим дробь: $\frac{2^8}{2^6}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{2^8}{2^6} = 2^{8-6} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

г)

Рассмотрим выражение $\frac{16^6}{4^7 \cdot 64}$. Приведем все числа к одному основанию, например, к основанию 4. Мы знаем, что $16 = 4^2$ и $64 = 4^3$. Подставим эти значения в выражение: $\frac{(4^2)^6}{4^7 \cdot 4^3}$
Упростим числитель: $(4^2)^6 = 4^{2 \cdot 6} = 4^{12}$.
Упростим знаменатель: $4^7 \cdot 4^3 = 4^{7+3} = 4^{10}$.
Получим дробь: $\frac{4^{12}}{4^{10}}$.
Применим правило деления степеней: $\frac{4^{12}}{4^{10}} = 4^{12-10} = 4^2 = 16$.
Альтернативное решение (приведение к основанию 2):
$16 = 2^4$, $4 = 2^2$, $64 = 2^6$.
$\frac{(2^4)^6}{(2^2)^7 \cdot 2^6} = \frac{2^{24}}{2^{14} \cdot 2^6} = \frac{2^{24}}{2^{14+6}} = \frac{2^{24}}{2^{20}} = 2^{24-20} = 2^4 = 16$.
Оба способа дают одинаковый результат.
Ответ: 16