Номер 1, страница 107, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вопросы для самопроверки. Параграф 20. Свойства степени с натуральными показателями. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 1 - номер 1, страница 107.

Условие.

1. Закончите предложение: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».

Решение 1.

Решение 8.

1.

Заданное предложение нужно закончить следующим образом: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются».

Это правило является одним из фундаментальных свойств степеней. Полностью оно звучит так: чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Математическая запись правила:
Для любого числа $a$ (основание) и любых натуральных чисел $m$ и $n$ (показатели) справедливо следующее равенство: $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$
Обоснование:
Правило следует непосредственно из определения степени. Степень $a^m$ представляет собой произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a$.
$ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}} $
$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} $
Следовательно, их произведение будет содержать $m+n$ множителей, равных $a$:
$ a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) = a^{m+n} $

Пример:
Рассмотрим произведение $5^2 \cdot 5^3$.
Используя правило, получаем:
$ 5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 $
Проверим, расписав степени:
$ 5^2 \cdot 5^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5 $
Вычисление показывает, что $ 5^5 = 3125 $.

Ответ: складываются.