Страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Закончите предложение: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».

Заданное предложение нужно закончить следующим образом: «При умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются».

Это правило является одним из фундаментальных свойств степеней. Полностью оно звучит так: чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить.

Математическая запись правила:
Для любого числа $a$ (основание) и любых натуральных чисел $m$ и $n$ (показатели) справедливо следующее равенство: $$ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $$
Обоснование:
Правило следует непосредственно из определения степени. Степень $a^m$ представляет собой произведение $m$ множителей, каждый из которых равен $a$.
$ a^m = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}} $
$ a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}} $
Следовательно, их произведение будет содержать $m+n$ множителей, равных $a$:
$ a^m \cdot a^n = (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{m \text{ раз}}) \cdot (\underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}) = a^{m+n} $

Пример:
Рассмотрим произведение $5^2 \cdot 5^3$.
Используя правило, получаем:
$ 5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 $
Проверим, расписав степени:
$ 5^2 \cdot 5^3 = (5 \cdot 5) \cdot (5 \cdot 5 \cdot 5) = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^5 $
Вычисление показывает, что $ 5^5 = 3125 $.

Ответ: складываются.

«При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...».

Этот вопрос касается одного из основных свойств степеней — правила деления степеней с одинаковыми основаниями.

Правило гласит: при делении степеней с одинаковым основанием, основание остается неизменным, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.

Формула этого правила выглядит следующим образом: $$ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $$ Здесь $a$ — это основание степени ($a \neq 0$), а $m$ и $n$ — ее показатели.

Для наглядности приведем пример: $$ \frac{7^5}{7^2} = 7^{5-2} = 7^3 = 343 $$ В этом примере мы вычитаем показатель степени делителя ($2$) из показателя степени делимого ($5$), получая в результате $3$.

Таким образом, предложение «При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели ...» следует закончить словом «вычитаются».

Ответ: вычитаются.

3. Закончите предложение: «При возведении степени в степень показатели ...».

Данное предложение является формулировкой одного из основных свойств степени. Полное правило звучит так: при возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели степеней перемножают.

В общем виде это правило записывается следующей формулой:

$ (a^m)^n = a^{m \cdot n} $

где $a$ — это основание степени, а $m$ и $n$ — её показатели.

Чтобы понять, почему это правило работает, рассмотрим его на конкретном примере. Допустим, нам нужно вычислить $ (5^2)^3 $.

1. Выражение $ (5^2)^3 $ означает, что число $ 5^2 $ нужно умножить само на себя 3 раза:

   $ (5^2)^3 = 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 $

2. Теперь воспользуемся другим свойством степени: при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. В нашем случае основание равно 5:

   $ 5^2 \cdot 5^2 \cdot 5^2 = 5^{2+2+2} $

3. Сумму одинаковых слагаемых $ 2+2+2 $ можно заменить произведением:

   $ 5^{2+2+2} = 5^{2 \cdot 3} = 5^6 $

Таким образом, мы видим, что $ (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} $. Этот пример наглядно демонстрирует, что для возведения степени в степень необходимо перемножить показатели.

Законченное предложение выглядит следующим образом: «При возведении степени в степень показатели перемножаются».

Ответ: перемножаются.

4. Запишите каждое из сформулированных вами в п. 1–3 правил на математическом языке.

Умножьте $a^{17}$ $a^{13}$

Поскольку в задании не приведены правила, сформулированные в пунктах 1-3, для выполнения задания необходимо сделать предположение о том, о каких правилах идет речь. Наиболее вероятным является то, что имеются в виду основные свойства степени с натуральным показателем. Ниже приведены формулировки этих правил и их запись на математическом языке.

1. Правило умножения степеней с одинаковыми основаниями формулируется так: чтобы перемножить степени с одинаковыми основаниями, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. На математическом языке это правило для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ записывается в виде формулы: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Ответ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

2. Правило деления степеней с одинаковыми основаниями формулируется так: чтобы разделить одну степень на другую с таким же основанием, нужно основание оставить прежним, а из показателя степени делимого вычесть показатель степени делителя. На математическом языке это правило для любого числа $a \neq 0$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ при условии $m > n$ записывается в виде формулы: $a^m : a^n = a^{m-n}$. Ответ: $a^m : a^n = a^{m-n}$

3. Правило возведения степени в степень формулируется так: чтобы возвести степень в степень, нужно основание оставить прежним, а показатели степеней перемножить. На математическом языке это правило для любого числа $a$ и любых натуральных чисел $m$ и $n$ записывается в виде формулы: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Ответ: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

5. Что получится, если $2^{17}$ умножить на $2^{13}$?

5.

Чтобы найти произведение двух степеней с одинаковым основанием, необходимо основание оставить прежним, а показатели степеней сложить. Это свойство степеней выражается следующей формулой:

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$

В нашем случае дано выражение $2^{17} \cdot 2^{13}$. Здесь основание $a=2$, а показатели степеней $m=17$ и $n=13$.

Применяя указанное выше правило, получаем:

$2^{17} \cdot 2^{13} = 2^{17+13}$

Теперь необходимо вычислить сумму в показателе степени:

$17 + 13 = 30$

Следовательно, результат умножения равен $2$ в степени $30$.

$2^{17} \cdot 2^{13} = 2^{30}$

Ответ: $2^{30}$

6. Что получится, если $2^{17}$ разделить на $2^{13}$?

6. Для того чтобы разделить $2^{17}$ на $2^{13}$, нужно воспользоваться свойством степеней. Правило деления степеней с одинаковым основанием гласит, что основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя.
Это свойство можно записать в виде формулы: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
В данном случае основание $a = 2$, показатель степени делимого $m = 17$, а показатель степени делителя $n = 13$.
Применим эту формулу к нашему выражению:
$\frac{2^{17}}{2^{13}} = 2^{17-13} = 2^4$.
Теперь осталось вычислить значение $2^4$:
$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$.
Ответ: 16

7. Какое из двух равенств верно: $(2^4)^3 = 2^{4+3}$ или $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3}$?

Чтобы определить, какое из двух равенств является верным, необходимо вспомнить основное свойство степеней, а именно правило возведения степени в степень. Это правило гласит, что при возведении степени в степень основание числа остается прежним, а его показатели перемножаются. Математически это записывается в виде формулы:

$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$

Теперь применим это правило для проверки каждого из предложенных равенств.

Проверка равенства $(2^4)^3 = 2^{4+3}$

Преобразуем левую часть, используя правило возведения степени в степень:

$(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$

Теперь вычислим правую часть равенства:

$2^{4+3} = 2^7$

Сравнивая левую и правую части, получаем, что $2^{12} \neq 2^7$ (поскольку $4096 \neq 128$). Следовательно, это равенство неверно.

Проверка равенства $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3}$

Это равенство в точности соответствует правилу возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, где $a=2$, $m=4$ и $n=3$.

Левая часть: $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Правая часть: $2^{4 \cdot 3} = 2^{12}$.

Так как левая и правая части равны, это равенство является верным.

Ответ: верным является второе равенство: $(2^4)^3 = 2^{4 \cdot 3}$.

22.10 a) $ \frac{1,6^2 - (3,8)^0 \cdot 16 \cdot 0,4 + 0,4^2}{1,88 - 0,2^2} $

Б) $ \frac{3}{4} - (12^0)^3 - \left(1\frac{1}{2}\right)^2 + 4^3 \cdot 0,1 $

В) $ \frac{1,2^2 - 1,8^2}{1,2^0 \cdot 0,6 - 1,8^0 \cdot 0,96} $

Г) $ \left(\left((-8)^0\right)^5\right) - 6^2 \cdot \frac{1}{6} - 5^2 \cdot 0,2 $

а) $\frac{1,6^2 - (3,8)^0 \cdot 16 \cdot 0,4 + 0,4^2}{1,88 - 0,2^2}$

Выполним вычисления по действиям.
Сначала преобразуем числитель:
1. Любое ненулевое число в степени 0 равно 1, поэтому $(3,8)^0 = 1$.
2. Вычислим квадраты: $1,6^2 = 2,56$; $0,4^2 = 0,16$.
3. Вычислим произведение в середине: $1 \cdot 16 \cdot 0,4 = 6,4$.
4. Найдем значение числителя: $2,56 - 6,4 + 0,16 = 2,72 - 6,4 = -3,68$.
Теперь преобразуем знаменатель:
5. Вычислим квадрат: $0,2^2 = 0,04$.
6. Найдем значение знаменателя: $1,88 - 0,04 = 1,84$.
Наконец, найдем значение дроби:
7. $\frac{-3,68}{1,84} = -2$.
Ответ: -2

б) $\frac{3}{4} - (12^0)^3 - (1\frac{1}{2})^2 + 4^3 \cdot 0,1$

Вычислим значение каждого слагаемого по порядку.
1. $\frac{3}{4} = 0,75$.
2. $12^0 = 1$, следовательно $(12^0)^3 = 1^3 = 1$.
3. $1\frac{1}{2} = 1,5$, следовательно $(1\frac{1}{2})^2 = 1,5^2 = 2,25$.
4. $4^3 = 64$, следовательно $4^3 \cdot 0,1 = 64 \cdot 0,1 = 6,4$.
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
5. $0,75 - 1 - 2,25 + 6,4 = -0,25 - 2,25 + 6,4 = -2,5 + 6,4 = 3,9$.
Ответ: 3,9

в) $\frac{1,2^2 - 1,8^2}{1,2^0 \cdot 0,6 - 1,8^0 \cdot 0,96}$

Рассмотрим числитель и знаменатель по отдельности.
В числителе используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
1. $1,2^2 - 1,8^2 = (1,2 - 1,8)(1,2 + 1,8) = (-0,6) \cdot 3 = -1,8$.
В знаменателе учтем, что любое ненулевое число в степени 0 равно 1:
2. $1,2^0 = 1$ и $1,8^0 = 1$.
3. Знаменатель равен: $1 \cdot 0,6 - 1 \cdot 0,96 = 0,6 - 0,96 = -0,36$.
Теперь разделим числитель на знаменатель:
4. $\frac{-1,8}{-0,36} = \frac{1,8}{0,36} = \frac{180}{36} = 5$.
Ответ: 5

г) $((-8)^0)^5 - 6^2 \cdot \frac{1}{6} - 5^2 \cdot 0,2$

Вычислим значение выражения по частям.
1. $(-8)^0 = 1$, следовательно $((-8)^0)^5 = 1^5 = 1$.
2. $6^2 \cdot \frac{1}{6} = 36 \cdot \frac{1}{6} = \frac{36}{6} = 6$.
3. $5^2 \cdot 0,2 = 25 \cdot 0,2 = 5$.
Теперь объединим результаты:
4. $1 - 6 - 5 = -5 - 5 = -10$.
Ответ: -10

22.11 Сравните значения выражений:

a) $ (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5 $ и $ (1.5 + \frac{2}{3})^0 $;

б) $ (\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6 $ и $ (1.5 + \frac{2}{3})^0 $;

в) $ (-\frac{2}{3})^9 \cdot 1.5^{10} $ и $ (-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 $;

г) $ (\frac{2}{3})^3 \cdot (-1.5)^4 $ и $ (\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 $

а) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5$ и $(1,5 + \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, получим:
$(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^5 = 1^5 = 1$.
2. Упростим второе выражение. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Поскольку $1,5 + \frac{2}{3}$ является суммой положительных чисел, это выражение не равно нулю.
$(1,5 + \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $1 = 1$.
Следовательно, выражения равны.
Ответ: $(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5 = (1,5 + \frac{2}{3})^0$.

б) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6$ и $(1,5 + \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Представим $(\frac{2}{3})^7$ как $(\frac{2}{3})^6 \cdot \frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3})^6 \cdot (\frac{3}{2})^6 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^6 = \frac{2}{3} \cdot 1^6 = \frac{2}{3}$.
2. Второе выражение, как и в пункте а), равно 1:
$(1,5 + \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $\frac{2}{3} < 1$.
Следовательно, первое выражение меньше второго.
Ответ: $(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6 < (1,5 + \frac{2}{3})^0$.

в) Сравним значения выражений $(-\frac{2}{3})^9 \cdot 1,5^{10}$ и $(-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Преобразуем $1,5$ в обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$. Так как показатель степени 9 является нечетным числом, знак минус сохраняется.
$(-\frac{2}{3})^9 \cdot 1,5^{10} = -(\frac{2}{3})^9 \cdot (\frac{3}{2})^{10} = -(\frac{2}{3})^9 \cdot (\frac{3}{2})^9 \cdot \frac{3}{2} = -(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^9 \cdot \frac{3}{2} = -1^9 \cdot \frac{3}{2} = -1 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$.
2. Упростим второе выражение. Основание степени $(-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})$ не равно нулю, так как это сумма двух отрицательных чисел. Следовательно, выражение равно 1.
$(-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $-\frac{3}{2} < 1$.
Следовательно, первое выражение меньше второго.
Ответ: $(-\frac{2}{3})^9 \cdot 1,5^{10} < (-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.

г) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^3 \cdot (-1,5)^4$ и $(\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Преобразуем $-1,5$ в дробь $-\frac{3}{2}$. Так как показатель степени 4 является четным числом, отрицательное основание становится положительным.
$(\frac{2}{3})^3 \cdot (-1,5)^4 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (-\frac{3}{2})^4 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^4 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^3 \cdot \frac{3}{2} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^3 \cdot \frac{3}{2} = 1^3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
2. Упростим второе выражение. Проверим, не равно ли основание нулю: $\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6} \neq 0$. Следовательно, выражение равно 1.
$(\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $\frac{3}{2} > 1$.
Следовательно, первое выражение больше второго.
Ответ: $(\frac{2}{3})^3 \cdot (-1,5)^4 > (\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.

22.12 При каких значениях $x$ верно равенство:

a) $2^x = 1;$

б) $5^{x - 3} = 1;$

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 1;$

г) $\left(\frac{7}{9}\right)^{x + 5} = 1?$

а) Для решения уравнения $2^x = 1$ воспользуемся основным свойством степеней: любое число $a$, не равное нулю, в нулевой степени равно единице, то есть $a^0 = 1$.
Представим число 1 в правой части уравнения как степень с основанием 2: $1 = 2^0$.
Теперь уравнение выглядит так: $2^x = 2^0$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (и не равны 1), мы можем приравнять их показатели:
$x = 0$.
Проверка: $2^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 0.

б) Рассмотрим уравнение $5^{x - 3} = 1$.
Аналогично предыдущему пункту, представим 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$.
Получим уравнение: $5^{x - 3} = 5^0$.
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$x - 3 = 0$
Переносим -3 в правую часть уравнения, меняя знак:
$x = 3$.
Проверка: $5^{3-3} = 5^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 3.

в) Решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = 1$.
Основание степени здесь - дробь $\frac{1}{3}$. Правило $a^0=1$ действует для любых оснований $a \neq 0$.
Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = (\frac{1}{3})^0$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 0$.
Проверка: $(\frac{1}{3})^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 0.

г) Решим уравнение $(\frac{7}{9})^{x+5} = 1$.
Представим 1 как степень с основанием $\frac{7}{9}$: $1 = (\frac{7}{9})^0$.
Получим уравнение с одинаковыми основаниями: $(\frac{7}{9})^{x+5} = (\frac{7}{9})^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x + 5 = 0$
Переносим 5 в правую часть, меняя знак:
$x = -5$.
Проверка: $(\frac{7}{9})^{-5+5} = (\frac{7}{9})^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: -5.

В № 21.1–21.6 (см. с. 103) все выражения имеют вид $(A)^k$, где A — буквенное выражение, а $k$ — показатель степени. Составьте ряд из всех показателей $k$.

23.1 a) Найдите наименьшее значение $k$.

б) Найдите наибольшее значение $k$.

в) Каков размах измерения?

г) Каков объём измерения?

Для выполнения задания необходимо сначала составить ряд из всех показателей степени $k$ для выражений вида $(A)^k$ из упражнений № 21.1–21.6. Предположительно, это задания из учебника "Алгебра. 7 класс" А. Г. Мордковича. Выпишем все числовые значения $k$ (буквенные показатели, такие как $n$ и $m$ в № 21.2, не учитываются, так как их значение не определено).

Показатели $k$, извлеченные из упражнений:

• № 21.1: 3, 3, 2, 4
• № 21.2: 2, 7
• № 21.3: 3, 2, 5, 4
• № 21.4: 4, 5, 3, 2
• № 21.5: 5, 2, 3, 5
• № 21.6: 2, 3, 3, 2

Итоговый ряд данных, составленный из показателей $k$: 3, 3, 2, 4, 2, 7, 3, 2, 5, 4, 4, 5, 3, 2, 5, 2, 3, 5, 2, 3, 3, 2.

а) Найдите наименьшее значение k.
Наименьшее значение в ряду данных — это минимальный элемент. Просмотрев составленный ряд, находим, что наименьшее значение $k$ равно 2.
Ответ: 2.

б) Найдите наибольшее значение k.
Наибольшее значение в ряду данных — это максимальный элемент. В данном ряду наибольшее значение $k$ равно 7.
Ответ: 7.

в) Каков размах измерения?
Размах измерения определяется как разность между наибольшим ($k_{max}$) и наименьшим ($k_{min}$) значениями в ряду. Размах вычисляется по формуле: $k_{max} - k_{min} = 7 - 2 = 5$.
Ответ: 5.

г) Каков объём измерения?
Объём измерения — это общее количество элементов в ряду. Подсчитав все числа в составленном ряду, получаем 22 элемента (4+2+4+4+4+4=22).
Ответ: 22.

23.2 a) Входит ли число 17 в данные этого измерения? Сколько раз?

б) Входит ли число 7 в данные этого измерения? Сколько раз?

в) Составьте таблицу распределения показателей степени $k$.

г) Сколько различных показателей $k$ встретилось в условии этих задач?

а) Для ответа на вопрос предполагается, что "данные этого измерения" относятся к набору показателей степени $k$ из предыдущей задачи (23.1). Этот набор данных следующий: {7, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7}.
При просмотре этого ряда чисел видно, что число 17 в нём отсутствует. Следовательно, его частота в данной выборке равна нулю.
Ответ: Нет, число 17 не входит в данные этого измерения. Оно встречается 0 раз.

б) Проанализируем тот же набор данных: {7, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7}.
Необходимо найти, сколько раз в этом наборе встречается число 7. Подсчитаем его вхождения: 7, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7.
Прямой подсчёт показывает, что число 7 встречается 6 раз.
Ответ: Да, число 7 входит в данные этого измерения. Оно встречается 6 раз.

в) Таблица распределения, или частотная таблица, — это таблица, показывающая, как часто встречаются различные значения (варианты) в наборе данных. Исходный ряд данных для показателей степени $k$: {7, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7}.
В этом наборе есть три различных значения: 6, 7 и 8.
Найдем частоту для каждого значения:
- значение 6 встречается 4 раза;
- значение 7 встречается 6 раз;
- значение 8 встречается 5 раз.
Сумма частот $4 + 6 + 5 = 15$, что равно общему количеству данных в ряду. Ниже представлена таблица распределения.

Ответ: Таблица распределения составлена выше.

г) Чтобы найти количество различных показателей $k$, нужно посчитать количество уникальных значений в рассматриваемом наборе данных: {7, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7, 6, 8, 7}.
Уникальными значениями (различными показателями) в этом наборе являются числа 6, 7 и 8.
Таким образом, всего в условии этих задач встретилось три различных показателя степени $k$.
Ответ: 3.