Номер 22.12, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

22.12 При каких значениях $x$ верно равенство:

a) $2^x = 1;$

б) $5^{x - 3} = 1;$

в) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = 1;$

г) $\left(\frac{7}{9}\right)^{x + 5} = 1?$

а) Для решения уравнения $2^x = 1$ воспользуемся основным свойством степеней: любое число $a$, не равное нулю, в нулевой степени равно единице, то есть $a^0 = 1$.
Представим число 1 в правой части уравнения как степень с основанием 2: $1 = 2^0$.
Теперь уравнение выглядит так: $2^x = 2^0$.
Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны (и не равны 1), мы можем приравнять их показатели:
$x = 0$.
Проверка: $2^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 0.

б) Рассмотрим уравнение $5^{x - 3} = 1$.
Аналогично предыдущему пункту, представим 1 как степень с основанием 5: $1 = 5^0$.
Получим уравнение: $5^{x - 3} = 5^0$.
Так как основания степеней равны, приравниваем показатели:
$x - 3 = 0$
Переносим -3 в правую часть уравнения, меняя знак:
$x = 3$.
Проверка: $5^{3-3} = 5^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 3.

в) Решим уравнение $(\frac{1}{3})^x = 1$.
Основание степени здесь - дробь $\frac{1}{3}$. Правило $a^0=1$ действует для любых оснований $a \neq 0$.
Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{3}$: $1 = (\frac{1}{3})^0$.
Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{3})^x = (\frac{1}{3})^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x = 0$.
Проверка: $(\frac{1}{3})^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: 0.

г) Решим уравнение $(\frac{7}{9})^{x+5} = 1$.
Представим 1 как степень с основанием $\frac{7}{9}$: $1 = (\frac{7}{9})^0$.
Получим уравнение с одинаковыми основаниями: $(\frac{7}{9})^{x+5} = (\frac{7}{9})^0$.
Приравниваем показатели степеней:
$x + 5 = 0$
Переносим 5 в правую часть, меняя знак:
$x = -5$.
Проверка: $(\frac{7}{9})^{-5+5} = (\frac{7}{9})^0 = 1$. Равенство верно.
Ответ: -5.