Номер 22.7, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

22.7 Упростите выражение:

a) $\frac{a^2 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}}$

б) $\frac{b^{12}b^{11} : (b^3)^5}{(b^5)^4 b^4 : (b^3)^8}$

В) $\frac{a^7 \cdot a^9 : a^4}{a^{16} : a^6 \cdot a^2}$

Г) $\frac{(b^4)^3 (b^3)^3 : b^{19}}{b^{19}b : (b^4)^5}$

а) $ \frac{a^2 \cdot a^5 : a^6}{a^7 \cdot a^8 : a^{14}} $

Для упрощения данного выражения воспользуемся свойствами степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$), а при делении вычитаются ($a^m : a^n = a^{m-n}$). Операции умножения и деления выполняются последовательно слева направо.

Сначала упростим числитель дроби:

$ a^2 \cdot a^5 : a^6 = a^{2+5} : a^6 = a^7 : a^6 = a^{7-6} = a^1 = a $.

Теперь упростим знаменатель дроби:

$ a^7 \cdot a^8 : a^{14} = a^{7+8} : a^{14} = a^{15} : a^{14} = a^{15-14} = a^1 = a $.

Подставим полученные значения в исходную дробь:

$ \frac{a}{a} = 1 $.

Ответ: $1$

б) $ \frac{b^{12}b^{11} : (b^3)^5}{(b^5)^4 b^4 : (b^3)^8} $

Для упрощения этого выражения будем использовать те же свойства степеней, что и в предыдущем пункте, а также свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Упростим числитель. Сначала раскроем скобки:

$ b^{12} \cdot b^{11} : (b^3)^5 = b^{12} \cdot b^{11} : b^{3 \cdot 5} = b^{12} \cdot b^{11} : b^{15} $.

Далее выполним умножение и деление:

$ b^{12+11} : b^{15} = b^{23} : b^{15} = b^{23-15} = b^8 $.

Теперь упростим знаменатель. Раскроем скобки:

$ (b^5)^4 \cdot b^4 : (b^3)^8 = b^{5 \cdot 4} \cdot b^4 : b^{3 \cdot 8} = b^{20} \cdot b^4 : b^{24} $.

Выполним умножение и деление:

$ b^{20+4} : b^{24} = b^{24} : b^{24} = b^{24-24} = b^0 = 1 $ (при условии, что $b \ne 0$).

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь:

$ \frac{b^8}{1} = b^8 $.

Ответ: $b^8$

в) $ \frac{a^7 \cdot a^9 : a^4}{a^{16} : a^6 \cdot a^2} $

Упростим числитель, выполняя действия слева направо:

$ a^7 \cdot a^9 : a^4 = a^{7+9} : a^4 = a^{16} : a^4 = a^{16-4} = a^{12} $.

Упростим знаменатель, также выполняя действия слева направо:

$ a^{16} : a^6 \cdot a^2 = a^{16-6} \cdot a^2 = a^{10} \cdot a^2 = a^{10+2} = a^{12} $.

Разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:

$ \frac{a^{12}}{a^{12}} = 1 $.

Ответ: $1$

г) $ \frac{(b^4)^3 (b^3)^3 : b^{19}}{b^{19} b : (b^4)^5} $

Вспомним, что $b = b^1$. Используем свойства степеней.

Упростим числитель. Сначала возведение в степень:

$ (b^4)^3 \cdot (b^3)^3 : b^{19} = b^{4 \cdot 3} \cdot b^{3 \cdot 3} : b^{19} = b^{12} \cdot b^9 : b^{19} $.

Затем умножение и деление:

$ b^{12+9} : b^{19} = b^{21} : b^{19} = b^{21-19} = b^2 $.

Теперь упростим знаменатель. Сначала возведение в степень:

$ b^{19} \cdot b : (b^4)^5 = b^{19} \cdot b^1 : b^{4 \cdot 5} = b^{19} \cdot b^1 : b^{20} $.

Затем умножение и деление:

$ b^{19+1} : b^{20} = b^{20} : b^{20} = b^{20-20} = b^0 = 1 $ (при $b \ne 0$).

Подставим полученные выражения в дробь:

$ \frac{b^2}{1} = b^2 $.

Ответ: $b^2$