Номер 22.11, страница 107, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

22.11 Сравните значения выражений:

a) $ (\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5 $ и $ (1.5 + \frac{2}{3})^0 $;

б) $ (\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6 $ и $ (1.5 + \frac{2}{3})^0 $;

в) $ (-\frac{2}{3})^9 \cdot 1.5^{10} $ и $ (-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 $;

г) $ (\frac{2}{3})^3 \cdot (-1.5)^4 $ и $ (\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 $

а) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5$ и $(1,5 + \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Используя свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, получим:
$(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^5 = 1^5 = 1$.
2. Упростим второе выражение. Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Поскольку $1,5 + \frac{2}{3}$ является суммой положительных чисел, это выражение не равно нулю.
$(1,5 + \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $1 = 1$.
Следовательно, выражения равны.
Ответ: $(\frac{2}{3})^5 \cdot (\frac{3}{2})^5 = (1,5 + \frac{2}{3})^0$.

б) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6$ и $(1,5 + \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Представим $(\frac{2}{3})^7$ как $(\frac{2}{3})^6 \cdot \frac{2}{3}$:
$(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3})^6 \cdot (\frac{3}{2})^6 = \frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^6 = \frac{2}{3} \cdot 1^6 = \frac{2}{3}$.
2. Второе выражение, как и в пункте а), равно 1:
$(1,5 + \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $\frac{2}{3} < 1$.
Следовательно, первое выражение меньше второго.
Ответ: $(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^6 < (1,5 + \frac{2}{3})^0$.

в) Сравним значения выражений $(-\frac{2}{3})^9 \cdot 1,5^{10}$ и $(-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Преобразуем $1,5$ в обыкновенную дробь $\frac{3}{2}$. Так как показатель степени 9 является нечетным числом, знак минус сохраняется.
$(-\frac{2}{3})^9 \cdot 1,5^{10} = -(\frac{2}{3})^9 \cdot (\frac{3}{2})^{10} = -(\frac{2}{3})^9 \cdot (\frac{3}{2})^9 \cdot \frac{3}{2} = -(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^9 \cdot \frac{3}{2} = -1^9 \cdot \frac{3}{2} = -1 \cdot \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$.
2. Упростим второе выражение. Основание степени $(-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})$ не равно нулю, так как это сумма двух отрицательных чисел. Следовательно, выражение равно 1.
$(-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $-\frac{3}{2} < 1$.
Следовательно, первое выражение меньше второго.
Ответ: $(-\frac{2}{3})^9 \cdot 1,5^{10} < (-\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.

г) Сравним значения выражений $(\frac{2}{3})^3 \cdot (-1,5)^4$ и $(\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.
1. Упростим первое выражение. Преобразуем $-1,5$ в дробь $-\frac{3}{2}$. Так как показатель степени 4 является четным числом, отрицательное основание становится положительным.
$(\frac{2}{3})^3 \cdot (-1,5)^4 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (-\frac{3}{2})^4 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^4 = (\frac{2}{3})^3 \cdot (\frac{3}{2})^3 \cdot \frac{3}{2} = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^3 \cdot \frac{3}{2} = 1^3 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$.
2. Упростим второе выражение. Проверим, не равно ли основание нулю: $\frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9-4}{6} = \frac{5}{6} \neq 0$. Следовательно, выражение равно 1.
$(\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0 = 1$.
3. Сравниваем полученные значения: $\frac{3}{2} > 1$.
Следовательно, первое выражение больше второго.
Ответ: $(\frac{2}{3})^3 \cdot (-1,5)^4 > (\frac{3}{2} - \frac{2}{3})^0$.