Номер 22.9, страница 106, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вычислите:

22.9 а) $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 : \left(-\frac{25}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^0; $

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) : \left(\frac{1}{3}\right)^5; $

в) $ 1.5^4 : (-1.5)^3 \cdot (-1.5)^0 : 1.5; $

г) $ \frac{8}{27} : \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^0. $

а) $ \left(\frac{5}{2}\right)^2 : \left(-\frac{25}{4}\right) \cdot \left(\frac{5}{2}\right)^0 $
Сначала вычислим значения выражений со степенями.
Возводим дробь в квадрат:
$ \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{5^2}{2^2} = \frac{25}{4} $
Любое число, отличное от нуля, в нулевой степени равно единице:
$ \left(\frac{5}{2}\right)^0 = 1 $
Теперь подставим полученные значения в исходное выражение:
$ \frac{25}{4} : \left(-\frac{25}{4}\right) \cdot 1 $
При делении числа на само себя с противоположным знаком получается -1.
$ \frac{25}{4} : \left(-\frac{25}{4}\right) = -1 $
Остается умножить на 1:
$ -1 \cdot 1 = -1 $
Ответ: -1

б) $ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(-\frac{1}{9}\right) : \left(\frac{1}{3}\right)^5 $
Для удобства вычислений представим все числа в виде степеней с основанием $ \frac{1}{3} $.
$ -\frac{1}{9} = -\frac{1}{3^2} = -\left(\frac{1}{3}\right)^2 $
Подставим это в выражение:
$ \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(-\left(\frac{1}{3}\right)^2\right) : \left(\frac{1}{3}\right)^5 $
Используем свойства степеней: при умножении показатели складываются ($ a^m \cdot a^n = a^{m+n} $), а при делении — вычитаются ($ a^m : a^n = a^{m-n} $). Знак минус сохраняется.
$ - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^2 : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \right) = - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^{3+2} : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \right) = - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^5 : \left(\frac{1}{3}\right)^5 \right) $
$ - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^{5-5} \right) = - \left( \left(\frac{1}{3}\right)^0 \right) $
Так как любое ненулевое число в степени 0 равно 1, получаем:
$ -1 $
Ответ: -1

в) $ 1,5^4 : (-1,5)^3 \cdot (-1,5)^0 : 1,5 $
Упростим выражение, используя свойства степеней и выполняя действия по порядку.
Так как степень 3 нечетная, минус можно вынести: $ (-1,5)^3 = -(1,5)^3 $.
Любое ненулевое число в нулевой степени равно 1: $ (-1,5)^0 = 1 $.
Число 1,5 можно представить как $ 1,5^1 $.
Выражение принимает вид:
$ 1,5^4 : (-(1,5)^3) \cdot 1 : 1,5^1 $
Выполним первое деление:
$ 1,5^4 : (-(1,5)^3) = -(1,5^{4-3}) = -1,5^1 = -1,5 $
Теперь выражение выглядит так:
$ -1,5 \cdot 1 : 1,5 $
Выполним умножение:
$ -1,5 \cdot 1 = -1,5 $
И, наконец, последнее деление:
$ -1,5 : 1,5 = -1 $
Ответ: -1

г) $ \left(\frac{8}{27}\right) : \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot \left(\frac{16}{81}\right)^0 $
Приведем все члены выражения к общему основанию $ \frac{2}{3} $.
$ \frac{8}{27} = \frac{2^3}{3^3} = \left(\frac{2}{3}\right)^3 $
$ \left(\frac{16}{81}\right)^0 = 1 $
Подставим преобразованные значения в исходное выражение:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^3 : \left(\frac{2}{3}\right)^2 \cdot 1 $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются:
$ \left(\frac{2}{3}\right)^{3-2} \cdot 1 = \left(\frac{2}{3}\right)^1 \cdot 1 $
$ \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $
Ответ: $ \frac{2}{3} $