Номер 23.5, страница 108, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 23. Работа с таблицами распределения. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Часть 2 - номер 23.5, страница 108.

Условие.

23.5 Среди следующих равенств есть верные, но могут быть и неверные:

$(a^5 : a^2)^3 = a^9$, $(b^3)^2 = b^5$, $(x^3 \cdot x^4)^5 = x^{35}$,
$(a^5 : a : a^2)^2 = a^4$, $(t^2)^5 : t = t^9$.

На карточке № 1 записывают одно из равенств, а на карточке № 2 — одно из оставшихся равенств.

а) Сколько существует способов такого выбора двух равенств?

б) В скольких случаях на обеих карточках будут верные равенства?

в) В скольких случаях на обеих карточках будут неверные равенства?

г) В скольких случаях основания степеней на обеих карточках совпадут между собой?

Решение 8.

Для решения задачи сначала проанализируем каждое из пяти предложенных равенств, используя свойства степеней: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $a^m : a^n = a^{m-n}$ и $(a^m)^n = a^{mn}$.

1. $(a^5 : a^2)^3 = (a^{5-2})^3 = (a^3)^3 = a^{3 \cdot 3} = a^9$. Равенство $a^9 = a^9$ верное. Основание степени — $a$.
2. $(b^3)^2 = b^{3 \cdot 2} = b^6$. Равенство $b^6 = b^5$ неверное (в общем случае). Основание степени — $b$.
3. $(x^3 \cdot x^4)^5 = (x^{3+4})^5 = (x^7)^5 = x^{7 \cdot 5} = x^{35}$. Равенство $x^{35} = x^{35}$ верное. Основание степени — $x$.
4. $(a^5 : a : a^2)^2 = (a^{5-1} : a^2)^2 = (a^4 : a^2)^2 = (a^{4-2})^2 = (a^2)^2 = a^{2 \cdot 2} = a^4$. Равенство $a^4 = a^4$ верное. Основание степени — $a$.
5. $(t^2)^5 : t = t^{2 \cdot 5} : t^1 = t^{10} : t^1 = t^{10-1} = t^9$. Равенство $t^9 = t^9$ верное. Основание степени — $t$.

Таким образом, у нас есть 4 верных равенства и 1 неверное.

а) Сколько существует способов такого выбора двух равенств?

Нам нужно выбрать 2 равенства из 5 и разместить их на двух пронумерованных карточках. Порядок выбора важен. Количество способов выбора первого равенства (на карточку № 1) равно 5. После этого для второй карточки останется 4 равенства. Общее число способов равно произведению вариантов:

$5 \cdot 4 = 20$

Это число размещений из 5 элементов по 2, которое вычисляется по формуле $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$:

$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{120}{6} = 20$.

Ответ: 20.

б) В скольких случаях на обеих карточках будут верные равенства?

Всего верных равенств — 4. Нам нужно выбрать 2 из них и разместить на двух карточках. Для карточки № 1 есть 4 варианта выбора (любое из верных равенств). Для карточки № 2 останется 3 варианта.

Число способов равно:

$4 \cdot 3 = 12$

Или, используя формулу размещений из 4 по 2:

$A_4^2 = \frac{4!}{(4-2)!} = \frac{24}{2} = 12$.

Ответ: 12.

в) В скольких случаях на обеих карточках будут неверные равенства?

Согласно нашему анализу, существует только одно неверное равенство: $(b^3)^2 = b^5$. Чтобы на обеих карточках были неверные равенства, необходимо выбрать два различных неверных равенства. Так как неверное равенство всего одно, это сделать невозможно.

Число таких случаев равно 0.

Ответ: 0.

г) В скольких случаях основания степеней на обеих карточках совпадут между собой?

Основания степеней в равенствах следующие: $a$, $b$, $x$, $a$, $t$.

Совпадающие основания есть только у равенств 1 и 4 (основание $a$). Следовательно, чтобы основания совпали, на карточках должны быть именно эти два равенства.

Существует два способа их размещения:

1. На карточке № 1 — равенство 1, на карточке № 2 — равенство 4.
2. На карточке № 1 — равенство 4, на карточке № 2 — равенство 1.

Таким образом, существует всего 2 таких способа.

Ответ: 2.