Номер 6, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6 Вычислите наиболее рациональным способом:

$\frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)}$

Для наиболее рационального вычисления значения выражения преобразуем его, используя свойства степеней и разложение чисел на простые множители.

Исходное выражение:

$$ \frac{4^2 \cdot (-12)^3 \cdot 9}{32 \cdot (-3^4)} $$

Сначала определим знак всего выражения. В числителе множитель $(-12)^3$ отрицателен, так как возводится в нечетную степень. В знаменателе стоит $-3^4$, что тоже является отрицательным числом. Частное двух отрицательных чисел — число положительное. Таким образом, выражение равносильно следующему:

$$ \frac{4^2 \cdot 12^3 \cdot 9}{32 \cdot 3^4} $$

Теперь представим основания степеней в виде произведений простых чисел:

• $4 = 2^2$
• $12 = 2^2 \cdot 3$
• $9 = 3^2$
• $32 = 2^5$

Подставим полученные разложения в выражение:

$$ \frac{(2^2)^2 \cdot (2^2 \cdot 3)^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} $$

Применим свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$ для упрощения числителя:

$$ \frac{2^{4} \cdot (2^2)^3 \cdot 3^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} = \frac{2^4 \cdot 2^6 \cdot 3^3 \cdot 3^2}{2^5 \cdot 3^4} $$

Сложим показатели степеней с одинаковыми основаниями в числителе (свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$$ \frac{2^{4+6} \cdot 3^{3+2}}{2^5 \cdot 3^4} = \frac{2^{10} \cdot 3^5}{2^5 \cdot 3^4} $$

Выполним деление, вычитая показатели степеней (свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$$ 2^{10-5} \cdot 3^{5-4} = 2^5 \cdot 3^1 $$

Осталось вычислить конечный результат:

$$ 2^5 \cdot 3 = 32 \cdot 3 = 96 $$

Ответ: $96$