Номер 2, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Глава 4. Степень с натуральным показателем и её свойства. Домашняя контрольная работа № 4. Вариант 2 - номер 2, страница 110.

Условие.

2 Вычислите:

$\frac{\left(\frac{12}{25}\right)^3 \cdot \left(-1\frac{2}{3}\right)^2}{\left(-1\frac{1}{5}\right)^2}$

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

Для решения данного примера выполним следующие действия по шагам.

1. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби. Это первый шаг к упрощению выражения.

$$ -1\frac{2}{3} = -\frac{1 \cdot 3 + 2}{3} = -\frac{5}{3} $$

$$ -1\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = -\frac{6}{5} $$

2. Подставим полученные неправильные дроби в исходное выражение:

$$ \frac{(\frac{12}{25})^3 \cdot (-\frac{5}{3})^2}{(-\frac{6}{5})^2} $$

3. Возведение отрицательного числа в четную степень (в данном случае в квадрат) дает положительный результат. Поэтому мы можем убрать знаки минуса:

$$ (-\frac{5}{3})^2 = (\frac{5}{3})^2 \quad \text{и} \quad (-\frac{6}{5})^2 = (\frac{6}{5})^2 $$

Выражение принимает вид:

$$ \frac{(\frac{12}{25})^3 \cdot (\frac{5}{3})^2}{(\frac{6}{5})^2} $$

4. Для удобства вычислений можно переписать выражение, используя свойство степеней $ \frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n $:

$$ \left(\frac{12}{25}\right)^3 \cdot \left(\frac{\frac{5}{3}}{\frac{6}{5}}\right)^2 $$

Упростим частное дробей в скобках. Деление на дробь — это умножение на обратную ей дробь:

$$ \frac{5}{3} \div \frac{6}{5} = \frac{5}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{18} $$

5. Теперь подставим упрощенную дробь обратно в выражение:

$$ \left(\frac{12}{25}\right)^3 \cdot \left(\frac{25}{18}\right)^2 $$

6. Раскроем скобки, возведя числитель и знаменатель каждой дроби в соответствующую степень:

$$ \frac{12^3}{25^3} \cdot \frac{25^2}{18^2} $$

7. Сократим степени с одинаковым основанием $25$:

$$ \frac{12^3}{25^{3-2} \cdot 18^2} = \frac{12^3}{25 \cdot 18^2} $$

8. Представим степени как произведения чисел и выполним сокращение:

$$ \frac{12 \cdot 12 \cdot 12}{25 \cdot 18 \cdot 18} $$

Сокращаем пары чисел $12$ и $18$ на их наибольший общий делитель $6$ ($12=2 \cdot 6$, $18=3 \cdot 6$):

$$ \frac{12 \cdot (2 \cdot 6) \cdot (2 \cdot 6)}{25 \cdot (3 \cdot 6) \cdot (3 \cdot 6)} = \frac{12 \cdot 2 \cdot 2}{25 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{12 \cdot 4}{25 \cdot 9} $$

Теперь сократим $12$ и $9$ на их общий делитель $3$ ($12=4 \cdot 3$, $9=3 \cdot 3$):

$$ \frac{(4 \cdot 3) \cdot 4}{25 \cdot (3 \cdot 3)} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 3} $$

9. Вычислим конечный результат:

$$ \frac{16}{75} $$

Ответ: $ \frac{16}{75} $.