Номер 6, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

6 Вычислите наиболее рациональным способом:

$\frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6}$

Для наиболее рационального вычисления данного выражения необходимо разложить основания степеней на простые множители и применить свойства степеней.

Исходное выражение:

$$ \frac{(-3)^2 \cdot 15^3 \cdot (-25)}{5^4 \cdot 3^6} $$

Сначала разберемся со знаками. Так как $(-3)^2 = 3^2$ (четная степень убирает минус), а множитель $(-25)$ отрицательный, итоговый результат будет отрицательным. Вынесем знак минус за дробь:

$$ -\frac{3^2 \cdot 15^3 \cdot 25}{5^4 \cdot 3^6} $$

Теперь представим числа 15 и 25 в виде произведения простых множителей:

$15 = 3 \cdot 5$

$25 = 5^2$

Подставим эти значения в выражение:

$$ -\frac{3^2 \cdot (3 \cdot 5)^3 \cdot 5^2}{5^4 \cdot 3^6} $$

Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$, раскроем скобки в числителе:

$$ -\frac{3^2 \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 5^2}{5^4 \cdot 3^6} $$

Применим свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ для числителя:

$$ -\frac{3^{2+3} \cdot 5^{3+2}}{5^4 \cdot 3^6} = -\frac{3^5 \cdot 5^5}{5^4 \cdot 3^6} $$

Теперь сократим дробь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$$ -(3^{5-6} \cdot 5^{5-4}) = -(3^{-1} \cdot 5^1) $$

Учитывая, что $a^{-1} = \frac{1}{a}$, получаем конечный результат:

$$ -(\frac{1}{3} \cdot 5) = -\frac{5}{3} $$

Ответ: $-\frac{5}{3}$