Номер 24.3, страница 111, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 24. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена. Глава 5. Одночлены. Арифметические операции над одночленами. Часть 2 - номер 24.3, страница 111.

Условие.

24.3 a) $x - y$;

б) $\frac{3p^3}{4q^4}$;

в) $2(c^2 + d^2)$;

г) $\frac{c^3 + d^3}{c^3 - d^3}$.

Решение 1.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

а) Рациональным выражением называется выражение, которое можно представить в виде дроби $\frac{P}{Q}$, где $P$ и $Q$ — многочлены, и $Q$ не является тождественно равным нулю многочленом.
Выражение $x-y$ является многочленом. Любой многочлен можно представить в виде рационального выражения (дроби), записав в знаменателе 1:
$x - y = \frac{x-y}{1}$
Здесь числитель $P(x,y) = x-y$ является многочленом, и знаменатель $Q=1$ также является многочленом (причем не нулевым). Следовательно, $x-y$ — это рациональное выражение. Такие выражения, не содержащие деления на переменную, называются целыми рациональными выражениями.
Ответ: Выражение $x-y$ является целым рациональным выражением.

б) Данное выражение $\frac{3p^3}{4q^4}$ уже представлено в виде дроби.
Числитель этой дроби, $P(p) = 3p^3$, является многочленом (одночленом).
Знаменатель, $Q(q) = 4q^4$, также является многочленом (одночленом) и не равен нулю тождественно.
По определению, данное выражение является рациональным. Так как знаменатель содержит переменную $q$, его называют дробно-рациональным выражением.
Ответ: Выражение $\frac{3p^3}{4q^4}$ является дробно-рациональным выражением.

в) Выражение $2(c^2 + d^2)$ после раскрытия скобок принимает вид $2c^2 + 2d^2$, что является многочленом от переменных $c$ и $d$.
Как и любое целое выражение, его можно представить в виде дроби со знаменателем 1:
$2(c^2 + d^2) = \frac{2c^2 + 2d^2}{1}$
Числитель $P(c,d) = 2c^2 + 2d^2$ — многочлен, знаменатель $Q=1$ — ненулевой многочлен.
Таким образом, это выражение является целым рациональным выражением.
Ответ: Выражение $2(c^2 + d^2)$ является целым рациональным выражением.

г) Выражение $\frac{c^3 + d^3}{c^3 - d^3}$ представлено в виде дроби.
Числитель $P(c,d) = c^3 + d^3$ является многочленом (сумма кубов).
Знаменатель $Q(c,d) = c^3 - d^3$ является многочленом (разность кубов) и не является тождественно нулевым многочленом.
Следовательно, по определению, это рациональное выражение. Так как знаменатель содержит деление на переменные, это дробно-рациональное выражение.
Ответ: Выражение $\frac{c^3 + d^3}{c^3 - d^3}$ является дробно-рациональным выражением.