Номер 10, страница 110, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

10 Сколько всего значений принимает выражение $2^n \cdot 5^k$ при $n=0, 1, 2, 3, 4$ и $k=0, 1$?

Для нахождения общего количества значений, которое может принимать выражение $2^n \cdot 5^k$, необходимо определить количество уникальных комбинаций переменных $n$ и $k$ и убедиться, что каждая комбинация дает уникальный результат.

Согласно условию, переменная $n$ может принимать 5 различных значений из множества $\{0, 1, 2, 3, 4\}$.

Переменная $k$ может принимать 2 различных значения из множества $\{0, 1\}$.

Общее количество возможных пар $(n, k)$ равно произведению числа вариантов для каждой переменной: $5 \text{ (вариантов для } n) \times 2 \text{ (варианта для } k) = 10 \text{ пар}$.

Теперь необходимо проверить, будут ли все значения, полученные для этих 10 пар, уникальными. Выражение $2^n \cdot 5^k$ представляет собой разложение числа на простые множители, где единственными простыми множителями являются 2 и 5.

В соответствии с основной теоремой арифметики, каждое натуральное число больше 1 имеет единственное (с точностью до порядка множителей) разложение на простые множители. Это означает, что если для двух различных пар $(n_1, k_1)$ и $(n_2, k_2)$ значения выражения совпадают, то есть $2^{n_1} \cdot 5^{k_1} = 2^{n_2} \cdot 5^{k_2}$, то из-за единственности разложения на простые множители должно следовать, что $n_1 = n_2$ и $k_1 = k_2$.

Таким образом, каждая из 10 различных пар $(n, k)$ будет давать уникальное значение. Следовательно, общее количество различных значений, которые принимает выражение, равно общему количеству пар.

Ответ: 10.