Номер 10, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

10 Сколько всего значений принимает выражение $2^n \cdot 3^k$ при $n=0, 1, 2, 3$ и $k=0, 1, 2$?

Чтобы найти количество различных значений, которые может принимать выражение $2^n \cdot 3^k$, необходимо определить, сколько уникальных результатов мы можем получить, подставляя все возможные комбинации значений $n$ и $k$.

По условию задачи, переменная $n$ может принимать 4 значения из множества $\{0, 1, 2, 3\}$.

Переменная $k$ может принимать 3 значения из множества $\{0, 1, 2\}$.

Общее количество комбинаций пар $(n, k)$ равно произведению количества возможных значений для каждой переменной:

$4 \text{ (значения для n)} \times 3 \text{ (значения для k)} = 12$

Таким образом, существует 12 пар $(n, k)$, для которых нужно вычислить значение выражения.

Теперь нужно выяснить, будут ли все эти 12 значений уникальными. Рассмотрим, могут ли две разные пары $(n_1, k_1)$ и $(n_2, k_2)$ дать одинаковый результат:

$2^{n_1} \cdot 3^{k_1} = 2^{n_2} \cdot 3^{k_2}$

Согласно основной теореме арифметики, любое натуральное число больше 1 имеет единственное разложение на простые множители (с точностью до порядка сомножителей). Числа, которые мы получаем, имеют в своем разложении на простые множители только простые числа 2 и 3. Поэтому, чтобы два таких числа были равны, показатели степени у простых множителей 2 и 3 должны быть соответственно равны.

Следовательно, равенство $2^{n_1} \cdot 3^{k_1} = 2^{n_2} \cdot 3^{k_2}$ выполняется тогда и только тогда, когда $n_1 = n_2$ и $k_1 = k_2$.

Это означает, что каждая из 12 уникальных пар $(n, k)$ дает уникальное значение выражения. Следовательно, общее количество различных значений выражения равно общему количеству пар.

Для проверки можно вычислить все значения:

При $n=0$: $2^0 \cdot 3^0 = 1$; $2^0 \cdot 3^1 = 3$; $2^0 \cdot 3^2 = 9$.

При $n=1$: $2^1 \cdot 3^0 = 2$; $2^1 \cdot 3^1 = 6$; $2^1 \cdot 3^2 = 18$.

При $n=2$: $2^2 \cdot 3^0 = 4$; $2^2 \cdot 3^1 = 12$; $2^2 \cdot 3^2 = 36$.

При $n=3$: $2^3 \cdot 3^0 = 8$; $2^3 \cdot 3^1 = 24$; $2^3 \cdot 3^2 = 72$.

Полученные значения: $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$. Все они различны, и их количество равно 12.

Ответ: 12