Номер 8, страница 109, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

8 Вместо символа * поставьте степень с основанием а так, чтобы выполнялось равенство

$\frac{a^3 \cdot (-a^2)^4 \cdot *}{a^5} = a^{12}$

Чтобы найти неизвестный член выражения, который нужно поставить вместо символа *, обозначим его за $x$. Тогда исходное равенство можно записать в виде уравнения:

$ \frac{a^3 \cdot (-a^2)^4 \cdot x}{a^5} = a^{12} $

Для решения этого уравнения необходимо последовательно упростить левую часть.

1. Упростим выражение $ (-a^2)^4 $. Поскольку отрицательное основание возводится в четную степень (4), результат будет положительным. Применяя правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $, получаем:

$ (-a^2)^4 = (a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8 $

2. Подставим полученный результат обратно в уравнение:

$ \frac{a^3 \cdot a^8 \cdot x}{a^5} = a^{12} $

3. Упростим числитель дроби, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $ x^m \cdot x^n = x^{m+n} $:

$ a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11} $

Теперь уравнение выглядит так:

$ \frac{a^{11} \cdot x}{a^5} = a^{12} $

4. Сократим дробь, используя правило деления степеней с одинаковым основанием $ \frac{x^m}{x^n} = x^{m-n} $:

$ \frac{a^{11}}{a^5} = a^{11-5} = a^6 $

Уравнение принимает окончательно упрощенный вид:

$ a^6 \cdot x = a^{12} $

5. Находим неизвестный множитель $x$, разделив обе части уравнения на $a^6$:

$ x = \frac{a^{12}}{a^6} = a^{12-6} = a^6 $

Таким образом, вместо символа * необходимо подставить степень $a^6$.

Для уверенности выполним проверку, подставив $a^6$ в исходное выражение:

$ \frac{a^3 \cdot (-a^2)^4 \cdot a^6}{a^5} = \frac{a^3 \cdot a^8 \cdot a^6}{a^5} = \frac{a^{3+8+6}}{a^5} = \frac{a^{17}}{a^5} = a^{17-5} = a^{12} $

Получаем верное равенство $ a^{12} = a^{12} $.

Ответ: $a^6$