Номер 21.24, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

21.24 a) $\frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3;$

б) $\frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100.$

a) Решим уравнение $ \frac{(2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2}{(4x)^3 \cdot 8x^4} = -3 $.

Для начала упростим левую часть уравнения. Используем свойства степеней.

1. Упростим числитель. Используем правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$ (2x)^5 \cdot (2x)^3 \cdot 2 = (2x)^{5+3} \cdot 2 = (2x)^8 \cdot 2 $.

Теперь раскроем скобки, используя правило $(ab)^n = a^n b^n$:

$ (2x)^8 \cdot 2 = 2^8 \cdot x^8 \cdot 2^1 = 2^{8+1} \cdot x^8 = 2^9 x^8 $.

2. Упростим знаменатель. Представим числа 4 и 8 как степени двойки ($4 = 2^2$, $8 = 2^3$):

$ (4x)^3 \cdot 8x^4 = ((2^2)x)^3 \cdot (2^3)x^4 = (2^2)^3 \cdot x^3 \cdot 2^3 \cdot x^4 $.

Используя правило возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{mn}$ и правило умножения степеней:

$ 2^{2 \cdot 3} \cdot x^3 \cdot 2^3 \cdot x^4 = 2^6 \cdot x^3 \cdot 2^3 \cdot x^4 = (2^6 \cdot 2^3) \cdot (x^3 \cdot x^4) = 2^{6+3} \cdot x^{3+4} = 2^9 x^7 $.

3. Подставим упрощенные выражения обратно в дробь и сократим ее, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$ \frac{2^9 x^8}{2^9 x^7} = \frac{2^9}{2^9} \cdot \frac{x^8}{x^7} = 1 \cdot x^{8-7} = x $.

4. Теперь исходное уравнение принимает вид:

$ x = -3 $.

Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $(4x)^3 \cdot 8x^4 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Корень $x = -3$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = -3$.

б) Решим уравнение $ \frac{(5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25}{(25x^2)^4 \cdot 125x^2} = 100 $.

Упростим левую часть уравнения, представив все числовые коэффициенты как степени числа 5.

1. Упростим числитель. $25 = 5^2$:

$ (5x)^7 \cdot (5x)^4 \cdot 25 = (5x)^{7+4} \cdot 5^2 = (5x)^{11} \cdot 5^2 = 5^{11} \cdot x^{11} \cdot 5^2 = 5^{11+2} \cdot x^{11} = 5^{13} x^{11} $.

2. Упростим знаменатель. $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$:

$ (25x^2)^4 \cdot 125x^2 = ((5^2)x^2)^4 \cdot (5^3)x^2 = (5^2)^4 \cdot (x^2)^4 \cdot 5^3 \cdot x^2 $.

Используя свойства степеней:

$ 5^{2 \cdot 4} \cdot x^{2 \cdot 4} \cdot 5^3 \cdot x^2 = 5^8 \cdot x^8 \cdot 5^3 \cdot x^2 = (5^8 \cdot 5^3) \cdot (x^8 \cdot x^2) = 5^{8+3} \cdot x^{8+2} = 5^{11} x^{10} $.

3. Подставим упрощенные выражения в дробь и сократим ее:

$ \frac{5^{13} x^{11}}{5^{11} x^{10}} = \frac{5^{13}}{5^{11}} \cdot \frac{x^{11}}{x^{10}} = 5^{13-11} \cdot x^{11-10} = 5^2 \cdot x^1 = 25x $.

4. Теперь исходное уравнение принимает вид:

$ 25x = 100 $.

Разделим обе части уравнения на 25:

$ x = \frac{100}{25} $

$ x = 4 $.

Область допустимых значений: знаменатель не равен нулю, т.е. $(25x^2)^4 \cdot 125x^2 \neq 0$, откуда $x \neq 0$. Корень $x = 4$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: $x = 4$.