Номер 21.19, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

21.19 а) $(- \frac{5}{7})^3 \cdot (- \frac{7}{3})^3;$

Б) $(- \frac{7}{8})^{10} \cdot (- \frac{8}{7})^{10};$

В) $(\frac{5}{6})^6 \cdot (\frac{12}{5})^6;$

Г) $(\frac{3}{4})^4 \cdot (\frac{8}{3})^4.$

а) Для вычисления значения выражения $(-\frac{5}{7})^3 \cdot (-\frac{7}{3})^3$ воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Так как показатели степени у обоих множителей одинаковы (равны 3), мы можем объединить основания под одной степенью.
$(-\frac{5}{7})^3 \cdot (-\frac{7}{3})^3 = (-\frac{5}{7} \cdot -\frac{7}{3})^3$.
Теперь выполним умножение дробей в скобках. Произведение двух отрицательных чисел — число положительное:
$-\frac{5}{7} \cdot -\frac{7}{3} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{5 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 3} = \frac{5}{3}$.
Подставим полученное значение обратно и возведем в степень:
$(\frac{5}{3})^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}$.
Ответ: $\frac{125}{27}$.

б) В выражении $(-\frac{7}{8})^{10} \cdot (-\frac{8}{7})^{10}$ показатели степени также равны (10). Применим свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(-\frac{7}{8})^{10} \cdot (-\frac{8}{7})^{10} = (-\frac{7}{8} \cdot -\frac{8}{7})^{10}$.
Вычислим произведение в скобках. Дроби являются взаимно обратными, а произведение двух отрицательных чисел положительно:
$-\frac{7}{8} \cdot -\frac{8}{7} = \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot \cancel{7}} = 1$.
Теперь возведем 1 в десятую степень:
$1^{10} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Рассмотрим выражение $(\frac{5}{6})^6 \cdot (\frac{12}{5})^6$. Здесь показатели степени также совпадают (равны 6). Используем то же свойство степени произведения.
$(\frac{5}{6})^6 \cdot (\frac{12}{5})^6 = (\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5})^6$.
Умножим дроби в скобках:
$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot 12}{6 \cdot \cancel{5}} = \frac{12}{6} = 2$.
Подставим результат и вычислим степень:
$2^6 = 64$.
Ответ: $64$.

г) Вычислим значение выражения $(\frac{3}{4})^4 \cdot (\frac{8}{3})^4$. Показатели степени равны 4, поэтому применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(\frac{3}{4})^4 \cdot (\frac{8}{3})^4 = (\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3})^4$.
Выполним умножение оснований:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{\cancel{3} \cdot 8}{4 \cdot \cancel{3}} = \frac{8}{4} = 2$.
Теперь возведем 2 в четвертую степень:
$2^4 = 16$.
Ответ: $16$.