Номер 21.15, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

21.15 a) $(\frac{3^5}{7^2})^2$;

б) $(\frac{-9^2}{8})^4$;

в) $(\frac{2^5}{5^2})^2$;

г) $(\frac{(-3)^3}{(-7)^2})^3$.

a) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это свойство степени выражается формулой $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Затем воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
Применяя эти правила, получаем:
$(\frac{3^5}{7^2})^2 = \frac{(3^5)^2}{(7^2)^2} = \frac{3^{5 \cdot 2}}{7^{2 \cdot 2}} = \frac{3^{10}}{7^4}$.
Ответ: $\frac{3^{10}}{7^4}$.

б) Сначала разберемся с выражением в скобках. В выражении $-9^2$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала вычисляется $9^2=81$, а затем применяется знак минуса. Таким образом, $-9^2 = -81$.
Исходное выражение преобразуется к виду $(\frac{-81}{8})^4$.
При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в степень 4), результат будет положительным: $(\frac{-81}{8})^4 = (\frac{81}{8})^4$.
Далее, представим числа $81$ и $8$ в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$ и $8 = 2^3$.
$(\frac{81}{8})^4 = \frac{81^4}{8^4} = \frac{(3^4)^4}{(2^3)^4} = \frac{3^{4 \cdot 4}}{2^{3 \cdot 4}} = \frac{3^{16}}{2^{12}}$.
Ответ: $\frac{3^{16}}{2^{12}}$.

в) Применим те же свойства степеней, что и в пункте а). Сначала используем правило возведения дроби в степень, а затем правило возведения степени в степень.
$(\frac{2^5}{5^2})^2 = \frac{(2^5)^2}{(5^2)^2} = \frac{2^{5 \cdot 2}}{5^{2 \cdot 2}} = \frac{2^{10}}{5^4}$.
Вычислим значения в числителе и знаменателе:
$2^{10} = 1024$
$5^4 = 625$
Таким образом, результат равен $\frac{1024}{625}$.
Ответ: $\frac{1024}{625}$.

г) Упростим выражение в скобках. В числителе: $(-3)^3 = -27$, так как нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом.
В знаменателе: $(-7)^2 = 49$, так как четная степень отрицательного числа является положительным числом.
Выражение принимает вид $(\frac{-27}{49})^3$.
При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (в данном случае в степень 3), результат будет отрицательным:
$(\frac{-27}{49})^3 = -(\frac{27}{49})^3 = -\frac{27^3}{49^3}$.
Представим числа $27$ и $49$ как степени простых чисел: $27 = 3^3$ и $49 = 7^2$.
$-\frac{(3^3)^3}{(7^2)^3} = -\frac{3^{3 \cdot 3}}{7^{2 \cdot 3}} = -\frac{3^9}{7^6}$.
Ответ: $-\frac{3^9}{7^6}$.