Номер 21.12, страница 103, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

21.12 Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:

а) $2^3 \cdot 5^3;$

б) $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7;$

в) $0,6^6 \cdot 5^6;$

г) $(\frac{35}{24})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{2}{5})^3.$

а) $2^3 \cdot 5^3$

Наиболее рациональным способом решения будет использование свойства степени: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований. Формула: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

б) $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7$

Используем то же свойство степеней, что и в пункте а). Сначала представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной:

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Теперь применим свойство степеней:

$(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^7 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: 1

в) $0,6^6 \cdot 5^6$

Снова применяем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,6^6 \cdot 5^6 = (0,6 \cdot 5)^6 = 3^6$.

Осталось вычислить значение $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Или так: $3^6 = (3^2)^3 = 9^3 = 729$.

Ответ: 729

г) $(\frac{35}{24})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{2}{5})^3$

Все множители в выражении возведены в одну и ту же степень. Объединим их под общим показателем степени, используя свойство $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.

$(\frac{35}{24})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{2}{5})^3 = (\frac{35}{24} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{5})^3$.

Теперь вычислим произведение дробей в скобках, предварительно сократив их:

$\frac{35}{24} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{35 \cdot 6 \cdot 2}{24 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot 6 \cdot 2}{(4 \cdot 6) \cdot 7 \cdot 5}$.

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (5, 7, 6):

$\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{6} \cdot 2}{4 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{5}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Полученное выражение равно $(\frac{1}{2})^3$.

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$