Номер 21.17, страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

21.17 Представьте в виде степени с показателем, отличным от единицы:

а) $b^3x^3$;

б) $25a^4$;

в) $32x^{10}y^5$;

г) $16a^8b^{12}$.

а) $b^3x^3$

Чтобы представить произведение в виде степени, необходимо воспользоваться свойством степени произведения, которое гласит: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном выражении $b^3x^3$ оба множителя возведены в одну и ту же степень 3. Применив это свойство, мы можем сгруппировать основания под общим показателем степени:

$b^3x^3 = (b \cdot x)^3 = (bx)^3$

Полученное выражение является степенью с основанием $bx$ и показателем 3, который отличен от единицы.

Ответ: $(bx)^3$

б) $25a^4$

Для представления этого выражения в виде степени нужно каждый множитель представить как степень с одинаковым показателем. Сначала представим числовой коэффициент 25 в виде степени. Известно, что $25 = 5^2$. Теперь выражение имеет вид $5^2a^4$.

Далее, представим $a^4$ как степень с показателем 2, используя свойство степени степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Поскольку $4 = 2 \cdot 2$, то:

$a^4 = a^{2 \cdot 2} = (a^2)^2$

Теперь подставим полученные выражения обратно:

$25a^4 = 5^2(a^2)^2$

Используя свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, объединяем множители под общим показателем 2:

$5^2(a^2)^2 = (5a^2)^2$

Показатель степени равен 2, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $(5a^2)^2$

в) $32x^{10}y^5$

Требуется найти общий показатель степени для всех множителей. Начнем с числового коэффициента 32. Его можно представить как $32 = 2^5$.

Теперь рассмотрим показатели степеней всех множителей в выражении: у числа 2 показатель 5, у переменной $x$ – 10, у переменной $y$ – 5. Найдем наибольший общий делитель (НОД) этих показателей: НОД(5, 10, 5) = 5. Это и будет наш общий показатель степени.

Представим каждый множитель исходного выражения как степень с показателем 5:

$32 = 2^5$

$x^{10} = x^{2 \cdot 5} = (x^2)^5$

$y^5 = (y)^5$

Теперь объединим все множители под общим показателем 5, используя свойство $a^n b^n c^n = (abc)^n$:

$32x^{10}y^5 = 2^5(x^2)^5y^5 = (2x^2y)^5$

Показатель степени равен 5, что отлично от единицы.

Ответ: $(2x^2y)^5$

г) $16a^8b^{12}$

Найдем общий показатель степени для всех множителей. Представим число 16 в виде степени. Можно записать $16=4^2$ или $16=2^4$. Чтобы выбрать наиболее подходящий вариант, посмотрим на показатели других множителей: 8 и 12. Найдем наибольший общий делитель показателей. Если взять $16=2^4$, то показатели будут 4, 8, 12. НОД(4, 8, 12) = 4. Это позволяет получить степень с наибольшим возможным показателем.

Представим каждый множитель в виде степени с показателем 4:

$16 = 2^4$

$a^8 = a^{2 \cdot 4} = (a^2)^4$

$b^{12} = b^{3 \cdot 4} = (b^3)^4$

Теперь объединим множители под общим показателем 4:

$16a^8b^{12} = 2^4(a^2)^4(b^3)^4 = (2a^2b^3)^4$

Показатель степени равен 4, что отлично от единицы.

Ответ: $(2a^2b^3)^4$