Номер 21.22, страница 105, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

21.22 Сравните:

а) $(10x)^5$ и $10x^5$, если $x > 0$;

б) $(\frac{x}{2})^7$ и $\frac{x^7}{2}$, если $x > 0$;

в) $(6x)^9$ и $6x^9$, если $x < 0$;

г) $(\frac{x}{3})^5$ и $\frac{x^5}{3}$, если $x < 0$.

а) Сравним выражения $(10x)^5$ и $10x^5$ при $x > 0$.
Сначала преобразуем первое выражение, используя свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$:
$(10x)^5 = 10^5 \cdot x^5 = 100000x^5$.
Теперь необходимо сравнить $100000x^5$ и $10x^5$.
Поскольку по условию $x > 0$, то и $x^5 > 0$. Мы можем разделить оба выражения на положительное число $10x^5$, при этом знак неравенства не изменится.
Сравним результаты деления: $100000x^5 / (10x^5) = 10000$ и $10x^5 / (10x^5) = 1$.
Так как $10000 > 1$, то и $100000x^5 > 10x^5$.
Следовательно, $(10x)^5 > 10x^5$.
Ответ: $(10x)^5 > 10x^5$.

б) Сравним выражения $(\frac{x}{2})^7$ и $\frac{x^7}{2}$ при $x > 0$.
Преобразуем первое выражение, используя свойство степени частного $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$:
$(\frac{x}{2})^7 = \frac{x^7}{2^7} = \frac{x^7}{128}$.
Теперь сравним две дроби: $\frac{x^7}{128}$ и $\frac{x^7}{2}$.
По условию $x > 0$, следовательно, числитель $x^7$ положителен. При сравнении двух дробей с одинаковым положительным числителем большей является та дробь, у которой знаменатель меньше.
Поскольку $128 > 2$, то $\frac{x^7}{128} < \frac{x^7}{2}$.
Значит, $(\frac{x}{2})^7 < \frac{x^7}{2}$.
Ответ: $(\frac{x}{2})^7 < \frac{x^7}{2}$.

в) Сравним выражения $(6x)^9$ и $6x^9$ при $x < 0$.
Преобразуем первое выражение: $(6x)^9 = 6^9 \cdot x^9$.
Теперь сравним $6^9 x^9$ и $6x^9$.
По условию $x < 0$. Так как показатель степени 9 является нечетным числом, то $x^9$ также будет отрицательным, то есть $x^9 < 0$.
Сравним коэффициенты при $x^9$: $6^9$ и $6$. Очевидно, что $6^9 > 6$.
Умножим обе части неравенства $6^9 > 6$ на отрицательное число $x^9$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
$6^9 \cdot x^9 < 6 \cdot x^9$.
Следовательно, $(6x)^9 < 6x^9$.
Ответ: $(6x)^9 < 6x^9$.

г) Сравним выражения $(\frac{x}{3})^5$ и $\frac{x^5}{3}$ при $x < 0$.
Преобразуем первое выражение: $(\frac{x}{3})^5 = \frac{x^5}{3^5} = \frac{x^5}{243}$.
Теперь сравним дроби $\frac{x^5}{243}$ и $\frac{x^5}{3}$.
По условию $x < 0$. Так как показатель степени 5 нечетный, то $x^5 < 0$. Числители обеих дробей отрицательны.
При сравнении двух отрицательных чисел большим является то, чей модуль меньше. Сравним модули наших выражений:
$|\frac{x^5}{243}| = \frac{|x^5|}{243}$ и $|\frac{x^5}{3}| = \frac{|x^5|}{3}$.
Поскольку $|x^5| > 0$ и $243 > 3$, то $\frac{|x^5|}{243} < \frac{|x^5|}{3}$.
Так как мы сравниваем отрицательные числа, и модуль первого числа меньше модуля второго, то первое число больше второго.
Таким образом, $\frac{x^5}{243} > \frac{x^5}{3}$.
Следовательно, $(\frac{x}{3})^5 > \frac{x^5}{3}$.
Ответ: $(\frac{x}{3})^5 > \frac{x^5}{3}$.