Страница 104, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Возведите дробь в степень:

21.13 а) $(\frac{a}{b})^{12}$;

б) $(-\frac{a}{b})^4$;

в) $(\frac{c}{d})^{17}$;

г) $(-\frac{c}{d})^5$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и отдельно знаменатель. Используем правило возведения дроби в степень: $(\frac{x}{y})^n = \frac{x^n}{y^n}$.

Применяем это правило к заданному выражению:

$(\frac{a}{b})^{12} = \frac{a^{12}}{b^{12}}$

Ответ: $\frac{a^{12}}{b^{12}}$

б) В этом примере мы возводим в степень отрицательную дробь. Показатель степени — 4, это четное число. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда положительный. Поэтому знак "минус" исчезает.

$(-\frac{a}{b})^4 = (\frac{a}{b})^4$

Теперь, как и в предыдущем задании, возводим в степень числитель и знаменатель:

$(\frac{a}{b})^4 = \frac{a^4}{b^4}$

Ответ: $\frac{a^4}{b^4}$

в) Снова применяем правило возведения дроби в степень. Возводим числитель и знаменатель в 17-ю степень.

$(\frac{c}{d})^{17} = \frac{c^{17}}{d^{17}}$

Ответ: $\frac{c^{17}}{d^{17}}$

г) Здесь отрицательная дробь возводится в нечетную степень (показатель степени — 5). При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат остается отрицательным. Знак "минус" сохраняется перед дробью.

$(-\frac{c}{d})^5 = -(\frac{c}{d})^5$

Далее возводим в степень саму дробь:

$-(\frac{c}{d})^5 = -\frac{c^5}{d^5}$

Ответ: $-\frac{c^5}{d^5}$

21.14 а) $(\left(\frac{2a}{3b}\right)^6)$;

б) $(\left(-\frac{c}{2d}\right)^5)$;

в) $(\left(\frac{7x}{8y}\right)^3)$;

г) $(\left(-\frac{3m}{5n}\right)^2)$.

а) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень как числитель, так и знаменатель дроби. Для этого воспользуемся свойством степени $ (\frac{A}{B})^n = \frac{A^n}{B^n} $. Затем для выражений в числителе и знаменателе применим свойство степени произведения $ (AB)^n = A^n B^n $.
$ (\frac{2a}{3b})^6 = \frac{(2a)^6}{(3b)^6} = \frac{2^6 a^6}{3^6 b^6} $
Теперь вычислим числовые значения: $ 2^6 = 64 $ и $ 3^6 = 729 $.
Подставив значения, получаем: $ \frac{64a^6}{729b^6} $.

Ответ: $ \frac{64a^6}{729b^6} $

б) В данном случае основание степени является отрицательным числом, а показатель степени — нечетным числом (5). При возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным.
$ (-\frac{c}{2d})^5 = -(\frac{c}{2d})^5 = -\frac{c^5}{(2d)^5} = -\frac{c^5}{2^5 d^5} $
Вычислим значение $ 2^5 = 32 $.
В результате получаем: $ -\frac{c^5}{32d^5} $.

Ответ: $ -\frac{c^5}{32d^5} $

в) Используем те же свойства степени, что и в пункте а). Сначала возводим в куб всю дробь, а затем числитель и знаменатель по отдельности.
$ (\frac{7x}{8y})^3 = \frac{(7x)^3}{(8y)^3} = \frac{7^3 x^3}{8^3 y^3} $
Вычислим числовые значения: $ 7^3 = 343 $ и $ 8^3 = 512 $.
Получаем выражение: $ \frac{343x^3}{512y^3} $.

Ответ: $ \frac{343x^3}{512y^3} $

г) Здесь основание степени — отрицательное число, а показатель степени — четное число (2). При возведении отрицательного числа в четную степень результат будет положительным.
$ (-\frac{3m}{5n})^2 = (\frac{3m}{5n})^2 = \frac{(3m)^2}{(5n)^2} = \frac{3^2 m^2}{5^2 n^2} $
Вычислим числовые значения: $ 3^2 = 9 $ и $ 5^2 = 25 $.
Итоговый результат: $ \frac{9m^2}{25n^2} $.

Ответ: $ \frac{9m^2}{25n^2} $

21.15 a) $(\frac{3^5}{7^2})^2$;

б) $(\frac{-9^2}{8})^4$;

в) $(\frac{2^5}{5^2})^2$;

г) $(\frac{(-3)^3}{(-7)^2})^3$.

a) Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби. Это свойство степени выражается формулой $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$. Затем воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.
Применяя эти правила, получаем:
$(\frac{3^5}{7^2})^2 = \frac{(3^5)^2}{(7^2)^2} = \frac{3^{5 \cdot 2}}{7^{2 \cdot 2}} = \frac{3^{10}}{7^4}$.
Ответ: $\frac{3^{10}}{7^4}$.

б) Сначала разберемся с выражением в скобках. В выражении $-9^2$ операция возведения в степень имеет более высокий приоритет, чем унарный минус, поэтому сначала вычисляется $9^2=81$, а затем применяется знак минуса. Таким образом, $-9^2 = -81$.
Исходное выражение преобразуется к виду $(\frac{-81}{8})^4$.
При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае в степень 4), результат будет положительным: $(\frac{-81}{8})^4 = (\frac{81}{8})^4$.
Далее, представим числа $81$ и $8$ в виде степеней простых чисел: $81 = 3^4$ и $8 = 2^3$.
$(\frac{81}{8})^4 = \frac{81^4}{8^4} = \frac{(3^4)^4}{(2^3)^4} = \frac{3^{4 \cdot 4}}{2^{3 \cdot 4}} = \frac{3^{16}}{2^{12}}$.
Ответ: $\frac{3^{16}}{2^{12}}$.

в) Применим те же свойства степеней, что и в пункте а). Сначала используем правило возведения дроби в степень, а затем правило возведения степени в степень.
$(\frac{2^5}{5^2})^2 = \frac{(2^5)^2}{(5^2)^2} = \frac{2^{5 \cdot 2}}{5^{2 \cdot 2}} = \frac{2^{10}}{5^4}$.
Вычислим значения в числителе и знаменателе:
$2^{10} = 1024$
$5^4 = 625$
Таким образом, результат равен $\frac{1024}{625}$.
Ответ: $\frac{1024}{625}$.

г) Упростим выражение в скобках. В числителе: $(-3)^3 = -27$, так как нечетная степень отрицательного числа является отрицательным числом.
В знаменателе: $(-7)^2 = 49$, так как четная степень отрицательного числа является положительным числом.
Выражение принимает вид $(\frac{-27}{49})^3$.
При возведении отрицательной дроби в нечетную степень (в данном случае в степень 3), результат будет отрицательным:
$(\frac{-27}{49})^3 = -(\frac{27}{49})^3 = -\frac{27^3}{49^3}$.
Представим числа $27$ и $49$ как степени простых чисел: $27 = 3^3$ и $49 = 7^2$.
$-\frac{(3^3)^3}{(7^2)^3} = -\frac{3^{3 \cdot 3}}{7^{2 \cdot 3}} = -\frac{3^9}{7^6}$.
Ответ: $-\frac{3^9}{7^6}$.

21.16 Представьте в виде степени дробь:

а) $ \frac{3^8}{5^8}; $

б) $ \frac{m^3}{8}; $

в) $ \frac{7^9}{11^9}; $

г) $ \frac{c^4}{16}. $

а) Для того чтобы представить дробь $\frac{3^8}{5^8}$ в виде степени, используется свойство степени частного, которое гласит, что частное степеней с одинаковыми показателями равно степени частного с тем же показателем: $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$. В данном случае $a=3$, $b=5$ и $n=8$. Применяя это правило, получаем: $\frac{3^8}{5^8} = (\frac{3}{5})^8$.

Ответ: $(\frac{3}{5})^8$.

б) В дроби $\frac{m^3}{8}$ числитель уже является степенью с показателем $3$. Чтобы применить свойство степени частного, необходимо представить знаменатель $8$ в виде степени с таким же показателем. Число $8$ является третьей степенью числа $2$, то есть $8 = 2^3$. Теперь дробь можно записать как $\frac{m^3}{2^3}$. Используя свойство $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, получаем: $\frac{m^3}{2^3} = (\frac{m}{2})^3$.

Ответ: $(\frac{m}{2})^3$.

в) Дробь $\frac{7^9}{11^9}$ представляет собой частное двух степеней с одинаковым показателем $9$. По свойству степени частного $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, мы можем записать это выражение как степень дроби. В данном случае $a=7$, $b=11$ и $n=9$. Таким образом, $\frac{7^9}{11^9} = (\frac{7}{11})^9$.

Ответ: $(\frac{7}{11})^9$.

г) В дроби $\frac{c^4}{16}$ показатель степени числителя равен $4$. Необходимо представить знаменатель $16$ в виде степени с показателем $4$. Число $16$ можно представить как $2$ в четвертой степени, поскольку $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$, то есть $16 = 2^4$. Заменив $16$ на $2^4$, получаем дробь $\frac{c^4}{2^4}$. Теперь, применяя свойство степени частного $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$, имеем: $\frac{c^4}{2^4} = (\frac{c}{2})^4$.

Ответ: $(\frac{c}{2})^4$.

21.17 Представьте в виде степени с показателем, отличным от единицы:

а) $b^3x^3$;

б) $25a^4$;

в) $32x^{10}y^5$;

г) $16a^8b^{12}$.

а) $b^3x^3$

Чтобы представить произведение в виде степени, необходимо воспользоваться свойством степени произведения, которое гласит: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. В данном выражении $b^3x^3$ оба множителя возведены в одну и ту же степень 3. Применив это свойство, мы можем сгруппировать основания под общим показателем степени:

$b^3x^3 = (b \cdot x)^3 = (bx)^3$

Полученное выражение является степенью с основанием $bx$ и показателем 3, который отличен от единицы.

Ответ: $(bx)^3$

б) $25a^4$

Для представления этого выражения в виде степени нужно каждый множитель представить как степень с одинаковым показателем. Сначала представим числовой коэффициент 25 в виде степени. Известно, что $25 = 5^2$. Теперь выражение имеет вид $5^2a^4$.

Далее, представим $a^4$ как степень с показателем 2, используя свойство степени степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Поскольку $4 = 2 \cdot 2$, то:

$a^4 = a^{2 \cdot 2} = (a^2)^2$

Теперь подставим полученные выражения обратно:

$25a^4 = 5^2(a^2)^2$

Используя свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, объединяем множители под общим показателем 2:

$5^2(a^2)^2 = (5a^2)^2$

Показатель степени равен 2, что удовлетворяет условию задачи.

Ответ: $(5a^2)^2$

в) $32x^{10}y^5$

Требуется найти общий показатель степени для всех множителей. Начнем с числового коэффициента 32. Его можно представить как $32 = 2^5$.

Теперь рассмотрим показатели степеней всех множителей в выражении: у числа 2 показатель 5, у переменной $x$ – 10, у переменной $y$ – 5. Найдем наибольший общий делитель (НОД) этих показателей: НОД(5, 10, 5) = 5. Это и будет наш общий показатель степени.

Представим каждый множитель исходного выражения как степень с показателем 5:

$32 = 2^5$

$x^{10} = x^{2 \cdot 5} = (x^2)^5$

$y^5 = (y)^5$

Теперь объединим все множители под общим показателем 5, используя свойство $a^n b^n c^n = (abc)^n$:

$32x^{10}y^5 = 2^5(x^2)^5y^5 = (2x^2y)^5$

Показатель степени равен 5, что отлично от единицы.

Ответ: $(2x^2y)^5$

г) $16a^8b^{12}$

Найдем общий показатель степени для всех множителей. Представим число 16 в виде степени. Можно записать $16=4^2$ или $16=2^4$. Чтобы выбрать наиболее подходящий вариант, посмотрим на показатели других множителей: 8 и 12. Найдем наибольший общий делитель показателей. Если взять $16=2^4$, то показатели будут 4, 8, 12. НОД(4, 8, 12) = 4. Это позволяет получить степень с наибольшим возможным показателем.

Представим каждый множитель в виде степени с показателем 4:

$16 = 2^4$

$a^8 = a^{2 \cdot 4} = (a^2)^4$

$b^{12} = b^{3 \cdot 4} = (b^3)^4$

Теперь объединим множители под общим показателем 4:

$16a^8b^{12} = 2^4(a^2)^4(b^3)^4 = (2a^2b^3)^4$

Показатель степени равен 4, что отлично от единицы.

Ответ: $(2a^2b^3)^4$

Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:

21.18 a) $8^5 \cdot 0,125^5;$

б) $4^6 \cdot 0,25^6;$

в) $5^4 \cdot 0,4^4;$

г) $(1,25)^7 \cdot 8^7.$

а) $8^5 \cdot 0,125^5$

Для нахождения значения данного выражения наиболее рациональным способом воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Поскольку показатели степеней у обоих множителей одинаковы (равны 5), мы можем сначала перемножить основания, а затем возвести результат в степень:

$8^5 \cdot 0,125^5 = (8 \cdot 0,125)^5$

Вычислим произведение в скобках. Удобно представить десятичную дробь 0,125 в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

$8 \cdot 0,125 = 8 \cdot \frac{1}{8} = 1$

Теперь подставим полученное значение обратно в выражение:

$(1)^5 = 1$

Ответ: 1

б) $4^6 \cdot 0,25^6$

Аналогично предыдущему пункту, используем свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, так как показатели степеней равны 6.

$4^6 \cdot 0,25^6 = (4 \cdot 0,25)^6$

Вычислим произведение в скобках. Десятичная дробь 0,25 равна обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$.

$4 \cdot 0,25 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$

Подставим результат в выражение:

$(1)^6 = 1$

Ответ: 1

в) $5^4 \cdot 0,4^4$

Применяем то же свойство степени произведения, так как показатели степеней равны 4.

$5^4 \cdot 0,4^4 = (5 \cdot 0,4)^4$

Выполним умножение в скобках:

$5 \cdot 0,4 = 2$

Теперь возведем полученное число в степень:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Ответ: 16

г) $(1,25)^7 \cdot 8^7$

Показатели степеней у множителей одинаковы и равны 7. Используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$(1,25)^7 \cdot 8^7 = (1,25 \cdot 8)^7$

Вычислим произведение в скобках. Десятичная дробь 1,25 равна обыкновенной дроби $1 \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

$1,25 \cdot 8 = \frac{5}{4} \cdot 8 = 5 \cdot \frac{8}{4} = 5 \cdot 2 = 10$

Возведем результат в степень:

$10^7 = 10 \, 000 \, 000$

Ответ: 10 000 000

21.19 а) $(- \frac{5}{7})^3 \cdot (- \frac{7}{3})^3;$

Б) $(- \frac{7}{8})^{10} \cdot (- \frac{8}{7})^{10};$

В) $(\frac{5}{6})^6 \cdot (\frac{12}{5})^6;$

Г) $(\frac{3}{4})^4 \cdot (\frac{8}{3})^4.$

а) Для вычисления значения выражения $(-\frac{5}{7})^3 \cdot (-\frac{7}{3})^3$ воспользуемся свойством степени произведения: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Так как показатели степени у обоих множителей одинаковы (равны 3), мы можем объединить основания под одной степенью.
$(-\frac{5}{7})^3 \cdot (-\frac{7}{3})^3 = (-\frac{5}{7} \cdot -\frac{7}{3})^3$.
Теперь выполним умножение дробей в скобках. Произведение двух отрицательных чисел — число положительное:
$-\frac{5}{7} \cdot -\frac{7}{3} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{5 \cdot \cancel{7}}{\cancel{7} \cdot 3} = \frac{5}{3}$.
Подставим полученное значение обратно и возведем в степень:
$(\frac{5}{3})^3 = \frac{5^3}{3^3} = \frac{125}{27}$.
Ответ: $\frac{125}{27}$.

б) В выражении $(-\frac{7}{8})^{10} \cdot (-\frac{8}{7})^{10}$ показатели степени также равны (10). Применим свойство степени произведения $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(-\frac{7}{8})^{10} \cdot (-\frac{8}{7})^{10} = (-\frac{7}{8} \cdot -\frac{8}{7})^{10}$.
Вычислим произведение в скобках. Дроби являются взаимно обратными, а произведение двух отрицательных чисел положительно:
$-\frac{7}{8} \cdot -\frac{8}{7} = \frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7} = \frac{\cancel{7} \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot \cancel{7}} = 1$.
Теперь возведем 1 в десятую степень:
$1^{10} = 1$.
Ответ: $1$.

в) Рассмотрим выражение $(\frac{5}{6})^6 \cdot (\frac{12}{5})^6$. Здесь показатели степени также совпадают (равны 6). Используем то же свойство степени произведения.
$(\frac{5}{6})^6 \cdot (\frac{12}{5})^6 = (\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5})^6$.
Умножим дроби в скобках:
$\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5} = \frac{\cancel{5} \cdot 12}{6 \cdot \cancel{5}} = \frac{12}{6} = 2$.
Подставим результат и вычислим степень:
$2^6 = 64$.
Ответ: $64$.

г) Вычислим значение выражения $(\frac{3}{4})^4 \cdot (\frac{8}{3})^4$. Показатели степени равны 4, поэтому применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$(\frac{3}{4})^4 \cdot (\frac{8}{3})^4 = (\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3})^4$.
Выполним умножение оснований:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{\cancel{3} \cdot 8}{4 \cdot \cancel{3}} = \frac{8}{4} = 2$.
Теперь возведем 2 в четвертую степень:
$2^4 = 16$.
Ответ: $16$.

Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:

21.20 a) $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^6}$;

б) $\frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3}$;

в) $\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}$;

г) $\frac{2^8 \cdot 8^8}{16^7}$.

a)

Чтобы найти значение выражения $\frac{2^8 \cdot 3^8}{6^6}$ наиболее рациональным способом, воспользуемся свойствами степеней.

Сначала преобразуем числитель. Используем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$2^8 \cdot 3^8 = (2 \cdot 3)^8 = 6^8$

Теперь исходное выражение имеет вид:

$\frac{6^8}{6^6}$

Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

$\frac{6^8}{6^6} = 6^{8-6} = 6^2$

Вычислим полученное значение:

$6^2 = 36$

Ответ: 36

б)

Для выражения $\frac{3^5 \cdot 4^5}{12^3}$ применим те же свойства степеней.

Преобразуем числитель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5$

Подставим полученное значение в дробь:

$\frac{12^5}{12^3}$

Теперь используем свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{12^5}{12^3} = 12^{5-3} = 12^2$

Вычислим результат:

$12^2 = 144$

Ответ: 144

в)

Для выражения $\frac{7^{11} \cdot 9^{11}}{63^{10}}$ снова используем свойства степеней.

Объединим множители в числителе по свойству $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$7^{11} \cdot 9^{11} = (7 \cdot 9)^{11} = 63^{11}$

Выражение примет вид:

$\frac{63^{11}}{63^{10}}$

Применим свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{63^{11}}{63^{10}} = 63^{11-10} = 63^1$

Результат равен 63.

$63^1 = 63$

Ответ: 63

г)

Для нахождения значения выражения $\frac{2^8 \cdot 8^8}{16^7}$ поступим аналогично.

Преобразуем числитель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$, так как у множителей одинаковый показатель степени:

$2^8 \cdot 8^8 = (2 \cdot 8)^8 = 16^8$

Подставим результат в исходное выражение:

$\frac{16^8}{16^7}$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{16^8}{16^7} = 16^{8-7} = 16^1$

Вычислим конечное значение:

$16^1 = 16$

Ответ: 16

21.21 a) $\frac{16^3 \cdot 3^3}{48^2};$

б) $\frac{10^{12}}{2^6 \cdot 5^6};$

В) $\frac{5^{16} \cdot 3^{16}}{15^{14}};$

Г) $\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}.$

а) Для упрощения выражения $\frac{16^3 \cdot 3^3}{48^2}$ воспользуемся свойствами степеней. В числителе применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
$16^3 \cdot 3^3 = (16 \cdot 3)^3 = 48^3$.
Теперь исходное выражение принимает вид: $\frac{48^3}{48^2}$.
Далее, применяя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, получаем:
$\frac{48^3}{48^2} = 48^{3-2} = 48^1 = 48$.
Ответ: 48

б) Рассмотрим выражение $\frac{10^{12}}{2^6 \cdot 5^6}$. Преобразуем знаменатель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$2^6 \cdot 5^6 = (2 \cdot 5)^6 = 10^6$.
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{10^{12}}{10^6}$.
Теперь, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, находим результат:
$10^{12-6} = 10^6 = 1 000 000$.
Ответ: 1 000 000

в) Упростим выражение $\frac{5^{16} \cdot 3^{16}}{15^{14}}$. Используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ для числителя, получаем:
$5^{16} \cdot 3^{16} = (5 \cdot 3)^{16} = 15^{16}$.
Выражение становится равным:
$\frac{15^{16}}{15^{14}}$.
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$15^{16-14} = 15^2$.
Вычисляем значение: $15^2 = 225$.
Ответ: 225

г) Рассмотрим выражение $\frac{12^6}{3^5 \cdot 4^5}$. Сначала упростим знаменатель, используя свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:
$3^5 \cdot 4^5 = (3 \cdot 4)^5 = 12^5$.
Теперь наше выражение выглядит так:
$\frac{12^6}{12^5}$.
По свойству деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ получаем:
$12^{6-5} = 12^1 = 12$.
Ответ: 12