Страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Представьте частное в виде степени:

20.15 a) $x^7 : x^4$;

б) $y^{16} : y^{12}$;

в) $z^{13} : z$;

г) $m^{28} : m^{27}$.

а) Для того чтобы представить частное $x^7 : x^4$ в виде степени, используется свойство деления степеней с одинаковым основанием. Согласно этому свойству, при делении степеней основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В данном примере основание — это $x$, показатель степени делимого равен 7, а показатель степени делителя — 4.
Применим правило:
$x^7 : x^4 = x^{7-4} = x^3$.
Ответ: $x^3$.

б) Чтобы представить частное $y^{16} : y^{12}$ в виде степени, воспользуемся тем же свойством деления степеней: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Здесь основание — это $y$, показатель степени делимого — 16, а показатель степени делителя — 12.
Выполним вычитание показателей степеней:
$y^{16} : y^{12} = y^{16-12} = y^4$.
Ответ: $y^4$.

в) Рассмотрим частное $z^{13} : z$. Переменная $z$ без явно указанного показателя степени подразумевает первую степень, то есть $z = z^1$.
Теперь мы можем применить правило деления степеней с одинаковым основанием $z$:
$z^{13} : z^1 = z^{13-1} = z^{12}$.
Ответ: $z^{12}$.

г) Для частного $m^{28} : m^{27}$ вновь используем правило деления степеней $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Основание в этом выражении равно $m$, показатель степени делимого — 28, а показатель степени делителя — 27.
Производим вычитание показателей:
$m^{28} : m^{27} = m^{28-27} = m^1$.
Степень с показателем 1 принято записывать без самого показателя, поэтому $m^1 = m$.
Ответ: $m$.

20.16 а) $a^{12} : a^{10} : a;$

б) $b^{45} : b^{15} : b^{29};$

В) $c^{3} : c : c;$

Г) $d^{43} : d^{14} : d^{5}.$

а) Для упрощения выражения $a^{12} : a^{10} : a$ применяется свойство деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Действия выполняются последовательно слева направо. Необходимо также учесть, что $a$ можно представить как $a^1$.

1. Первое действие — деление $a^{12}$ на $a^{10}$:

$a^{12} : a^{10} = a^{12-10} = a^2$

2. Второе действие — деление полученного результата $a^2$ на $a$:

$a^2 : a = a^2 : a^1 = a^{2-1} = a^1 = a$

Альтернативно, можно вычесть все показатели из первого показателя за один шаг:

$a^{12} : a^{10} : a = a^{12-10-1} = a^1 = a$

Ответ: $a$

б) Упростим выражение $b^{45} : b^{15} : b^{29}$, используя то же правило деления степеней.

1. Выполним первое деление:

$b^{45} : b^{15} = b^{45-15} = b^{30}$

2. Теперь разделим результат на $b^{29}$:

$b^{30} : b^{29} = b^{30-29} = b^1 = b$

Или в виде одного выражения:

$b^{45} : b^{15} : b^{29} = b^{45-15-29} = b^{30-29} = b$

Ответ: $b$

в) Упростим выражение $c^3 : c : c$. Учитываем, что $c = c^1$.

1. Делим $c^3$ на $c$:

$c^3 : c = c^3 : c^1 = c^{3-1} = c^2$

2. Делим результат $c^2$ на $c$:

$c^2 : c = c^2 : c^1 = c^{2-1} = c^1 = c$

Или сразу вычитаем все показатели:

$c^3 : c : c = c^{3-1-1} = c^1 = c$

Ответ: $c$

г) Упростим выражение $d^{43} : d^{14} : d^5$.

1. Выполняем первое деление:

$d^{43} : d^{14} = d^{43-14} = d^{29}$

2. Выполняем второе деление:

$d^{29} : d^5 = d^{29-5} = d^{24}$

Или одной операцией:

$d^{43} : d^{14} : d^5 = d^{43-14-5} = d^{29-5} = d^{24}$

Ответ: $d^{24}$

20.17 а) $(a - b)^3 : (a - b)^2;$

б) $(z + r)^{13} : (z + r)^8 : (z + r)^3;$

в) $(c + d)^8 : (c + d)^5;$

г) $(m - n)^{42} : (m - n)^{12} : (m - n)^{29}.$

а) Для того чтобы упростить выражение $(a - b)^3 : (a - b)^2$, необходимо воспользоваться свойством деления степеней с одинаковым основанием. Правило гласит: $x^m : x^n = x^{m-n}$. В данном случае основанием является выражение $(a - b)$, а показателями степеней являются 3 и 2.

Применим это правило:

$(a - b)^3 : (a - b)^2 = (a - b)^{3-2} = (a - b)^1 = a - b$.

Ответ: $a - b$.

б) В выражении $(z + r)^{13} : (z + r)^8 : (z + r)^3$ мы имеем дело с последовательным делением степеней с одинаковым основанием $(z + r)$. Мы можем вычитать показатели степеней последовательно.

Сначала выполним первое деление:

$(z + r)^{13} : (z + r)^8 = (z + r)^{13-8} = (z + r)^5$.

Затем разделим полученный результат на оставшийся член:

$(z + r)^5 : (z + r)^3 = (z + r)^{5-3} = (z + r)^2$.

Альтернативно, можно вычесть все показатели из первого за один шаг: $13 - 8 - 3 = 2$.

$(z + r)^{13-8-3} = (z + r)^2$.

Ответ: $(z + r)^2$.

в) Для упрощения выражения $(c + d)^8 : (c + d)^5$ мы снова используем правило деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$. Здесь основание $x = (c + d)$, а показатели степеней $m = 8$ и $n = 5$.

Выполняем вычитание показателей степеней:

$(c + d)^8 : (c + d)^5 = (c + d)^{8-5} = (c + d)^3$.

Ответ: $(c + d)^3$.

г) В выражении $(m - n)^{42} : (m - n)^{12} : (m - n)^{29}$ основание степени равно $(m - n)$. Выполним деление последовательно, вычитая показатели.

Первый шаг:

$(m - n)^{42} : (m - n)^{12} = (m - n)^{42-12} = (m - n)^{30}$.

Второй шаг:

$(m - n)^{30} : (m - n)^{29} = (m - n)^{30-29} = (m - n)^1 = m - n$.

Как и в пункте б), можно выполнить все вычитания сразу: $(m - n)^{42-12-29} = (m - n)^{1} = m - n$.

Ответ: $m - n$.

Вычислите:

20.18 а) $10^{13} : 10^8;$

б) $12^{17} : 12^{16};$

в) $(-324)^3 : (-324)^2;$

г) $(0,751)^{27} : (0,751)^{26}.$

а) Для вычисления частного степеней с одинаковым основанием используется свойство, согласно которому основание остается тем же, а из показателя степени делимого вычитается показатель степени делителя: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
В данном выражении $10^{13} : 10^8$ основание $a = 10$, показатель делимого $m = 13$, а показатель делителя $n = 8$.
Применим правило:
$10^{13} : 10^8 = 10^{13-8} = 10^5$
Теперь вычислим значение $10^5$:
$10^5 = 100000$
Ответ: 100000.

б) Используем то же свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Здесь основание $a = 12$, $m = 17$, $n = 16$.
$12^{17} : 12^{16} = 12^{17-16} = 12^1$
Любое число в первой степени равно самому себе, поэтому:
$12^1 = 12$
Ответ: 12.

в) Данное правило справедливо и для отрицательных оснований. В выражении $(-324)^3 : (-324)^2$ основание $a = -324$, $m = 3$, $n = 2$.
$(-324)^3 : (-324)^2 = (-324)^{3-2} = (-324)^1$
Результат равен основанию:
$(-324)^1 = -324$
Ответ: -324.

г) Аналогично предыдущим примерам, применим свойство деления степеней для дробного основания $a = 0,751$ с показателями $m = 27$ и $n = 26$.
$(0,751)^{27} : (0,751)^{26} = (0,751)^{27-26} = (0,751)^1$
Результат равен основанию:
$(0,751)^1 = 0,751$
Ответ: 0,751.

20.19 а) $\frac{7^8}{7^5}$;

б) $\frac{0,6^7}{0,6^5}$;

в) $\frac{(-0,2)^6}{(-0,2)^2}$;

г) $\frac{\left(1\frac{1}{3}\right)^4}{\left(1\frac{1}{3}\right)^3}$.

а) Для решения данного примера воспользуемся свойством частного степеней с одинаковым основанием, которое гласит: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. В данном случае основание $a=7$, показатель степени делимого $m=8$, а показатель степени делителя $n=5$.
Выполним вычисления:
$\frac{7^8}{7^5} = 7^{8-5} = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$.
Ответ: $343$.

б) Применим то же свойство деления степеней с одинаковым основанием. Здесь основание $a=0,6$.
Выполним вычисления:
$\frac{0,6^7}{0,6^5} = 0,6^{7-5} = 0,6^2 = 0,36$.
Ответ: $0,36$.

в) Данное свойство справедливо и для отрицательных оснований. В этом примере основание $a=-0,2$.
Выполним вычисления:
$\frac{(-0,2)^6}{(-0,2)^2} = (-0,2)^{6-2} = (-0,2)^4$.
Поскольку показатель степени ($4$) является четным числом, результат возведения отрицательного числа в степень будет положительным:
$(-0,2)^4 = 0,2^4 = 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 \cdot 0,2 = 0,0016$.
Ответ: $0,0016$.

г) В этом примере основание является смешанным числом $1\frac{1}{3}$. Применяем то же правило деления степеней.
Выполним вычисления:
$\frac{\left(1\frac{1}{3}\right)^4}{\left(1\frac{1}{3}\right)^3} = \left(1\frac{1}{3}\right)^{4-3} = \left(1\frac{1}{3}\right)^1 = 1\frac{1}{3}$.
Ответ: $1\frac{1}{3}$.

20.20 а) $ (1\frac{1}{3})^{18} : (1\frac{1}{3})^{17} $;

б) $ (-2\frac{1}{7})^{6} : (-2\frac{1}{7})^{4} $;

в) $ (3\frac{2}{9})^{23} : (3\frac{2}{9})^{21} $;

г) $ (-1\frac{7}{8})^{15} : (-1\frac{7}{8})^{14} $.

Для решения всех примеров используется свойство деления степеней с одинаковым основанием: при делении степеней с одинаковым основанием из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя, а основание оставляют прежним. Формула выглядит так: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

а) $(1\frac{1}{3})^{18} : (1\frac{1}{3})^{17}$

В этом примере основание степени $a = 1\frac{1}{3}$, а показатели $m=18$ и $n=17$.

Применяем свойство деления степеней:

$(1\frac{1}{3})^{18} : (1\frac{1}{3})^{17} = (1\frac{1}{3})^{18-17} = (1\frac{1}{3})^1 = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3}$.

б) $(-2\frac{1}{7})^6 : (-2\frac{1}{7})^4$

Основание степени $a = -2\frac{1}{7}$, показатели $m=6$ и $n=4$.

Применяем свойство деления степеней:

$(-2\frac{1}{7})^6 : (-2\frac{1}{7})^4 = (-2\frac{1}{7})^{6-4} = (-2\frac{1}{7})^2$.

Чтобы возвести в квадрат, сначала представим смешанное число в виде неправильной дроби:

$-2\frac{1}{7} = -\frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{15}{7}$.

Теперь выполним возведение в степень:

$(-\frac{15}{7})^2 = \frac{(-15)^2}{7^2} = \frac{225}{49}$.

Преобразуем полученную неправильную дробь обратно в смешанное число:

$\frac{225}{49} = 4\frac{29}{49}$.

Ответ: $4\frac{29}{49}$.

в) $(3\frac{2}{9})^{23} : (3\frac{2}{9})^{21}$

Основание степени $a = 3\frac{2}{9}$, показатели $m=23$ и $n=21$.

Применяем свойство деления степеней:

$(3\frac{2}{9})^{23} : (3\frac{2}{9})^{21} = (3\frac{2}{9})^{23-21} = (3\frac{2}{9})^2$.

Переведем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{2}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 2}{9} = \frac{29}{9}$.

Возведем в квадрат:

$(\frac{29}{9})^2 = \frac{29^2}{9^2} = \frac{841}{81}$.

Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{841}{81} = 10\frac{31}{81}$.

Ответ: $10\frac{31}{81}$.

г) $(-1\frac{7}{8})^{15} : (-1\frac{7}{8})^{14}$

Основание степени $a = -1\frac{7}{8}$, показатели $m=15$ и $n=14$.

Применяем свойство деления степеней:

$(-1\frac{7}{8})^{15} : (-1\frac{7}{8})^{14} = (-1\frac{7}{8})^{15-14} = (-1\frac{7}{8})^1 = -1\frac{7}{8}$.

Ответ: $-1\frac{7}{8}$.

Замените символ * степенью с основанием x так, чтобы выполнялось равенство:

20.21 a) $x^5 : * = x^3;$

б) $x^{18} : * = x^{11};$

В) $x^{49} : * = x^{13};$

Г) $* : x^5 = x^{99}.$

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство деления степеней с одинаковым основанием, которое гласит: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит следующим образом: $x^m : x^n = x^{m-n}$.

а)

В равенстве $x^5 : * = x^3$ нам нужно найти делитель. Обозначим искомую степень через $x^n$.

Тогда уравнение примет вид: $x^5 : x^n = x^3$.

Согласно свойству деления степеней, мы можем записать: $x^{5-n} = x^3$.

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$5 - n = 3$

Чтобы найти $n$, выразим его из уравнения:

$n = 5 - 3$

$n = 2$

Следовательно, неизвестный член равен $x^2$.

Ответ: $x^2$.

б)

В равенстве $x^{18} : * = x^{11}$ нам также нужно найти делитель. Пусть он равен $x^n$.

Получаем уравнение: $x^{18} : x^n = x^{11}$.

Применяя свойство деления степеней, имеем: $x^{18-n} = x^{11}$.

Приравниваем показатели:

$18 - n = 11$

$n = 18 - 11$

$n = 7$

Таким образом, вместо символа * должна стоять степень $x^7$.

Ответ: $x^7$.

в)

Рассмотрим равенство $x^{49} : * = x^{13}$. Обозначим искомую степень как $x^n$.

Уравнение: $x^{49} : x^n = x^{13}$.

По свойству деления степеней: $x^{49-n} = x^{13}$.

Приравниваем показатели:

$49 - n = 13$

$n = 49 - 13$

$n = 36$

Значит, искомая степень – это $x^{36}$.

Ответ: $x^{36}$.

г)

В равенстве $* : x^5 = x^{99}$ нам нужно найти делимое. Обозначим его через $x^n$.

Уравнение: $x^n : x^5 = x^{99}$.

По свойству деления степеней: $x^{n-5} = x^{99}$.

Приравниваем показатели:

$n - 5 = 99$

Чтобы найти $n$, выразим его из уравнения:

$n = 99 + 5$

$n = 104$

Следовательно, неизвестный член равен $x^{104}$.

Ответ: $x^{104}$.

20.22 а) $* : x^{10} : * = x^{40};$

Б) $x^{44} \cdot * \cdot x : * = x^{51};$

В) $x^{45} : * : x^{15} \cdot * = x;$

Г) $* : * : x = x^{73}.$

а) Заменим знак `*` на степень $x^n$. Тогда уравнение примет вид $x^n : x^{10} : x^n = x^{40}$.

При последовательном выполнении действий слева направо получаем уравнение для показателей степеней: $n - 10 - n = 40$, что упрощается до неверного равенства $-10 = 40$. Это означает, что в исходной постановке (когда все `*` заменяются на одно и то же выражение) задача не имеет решения. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Если предположить, что второй знак деления (`:`) должен быть знаком умножения (`·`), задача приобретает смысл.

Рассмотрим исправленное уравнение: $* : x^{10} \cdot * = x^{40}$.

Тогда уравнение для показателей степеней будет выглядеть так:

$n - 10 + n = 40$

$2n - 10 = 40$

$2n = 50$

$n = 25$

Таким образом, `*` следует заменить на $x^{25}$.

Проверка: $x^{25} : x^{10} \cdot x^{25} = x^{25-10} \cdot x^{25} = x^{15} \cdot x^{25} = x^{15+25} = x^{40}$. Равенство выполняется.

Ответ: $* = x^{25}$ (в предположении, что второй оператор — умножение).

б) Заменим `*` на $x^n$. Уравнение примет вид $x^{44} \cdot x^n \cdot x : x^n = x^{51}$. Учитывая, что $x = x^1$, составим уравнение для показателей степеней при выполнении действий слева направо:

$44 + n + 1 - n = 51$

$45 = 51$

Получено неверное равенство, значит, в данной постановке задача не имеет решения. Предположим, что в условии есть опечатка в последнем знаке операции. Если заменить деление на умножение, получим:

$x^{44} \cdot * \cdot x \cdot * = x^{51}$

Тогда уравнение для показателей степеней:

$44 + n + 1 + n = 51$

$45 + 2n = 51$

$2n = 6$

$n = 3$

Значит, `*` следует заменить на $x^3$.

Проверка: $x^{44} \cdot x^3 \cdot x^1 \cdot x^3 = x^{44+3+1+3} = x^{51}$. Равенство выполняется.

Ответ: $* = x^3$ (в предположении, что последний оператор — умножение).

в) Заменим `*` на $x^n$. Уравнение $x^{45} : * : x^{15} \cdot * = x$ примет вид $x^{45} : x^n : x^{15} \cdot x^n = x^1$.

Уравнение для показателей степеней:

$45 - n - 15 + n = 1$

$30 = 1$

Это неверное равенство, поэтому задача в такой формулировке не имеет решения. Изменение одного из операторов также не приводит к целочисленному решению (например, замена `·` на `:` дает $30 - 2n = 1$, откуда $n = 14.5$).

Возможно, в этом задании подразумевалось, что символы `*` могут быть заменены на разные степени $x$. Пусть первый `*` это $x^a$, а второй — $x^b$.

Тогда уравнение для показателей будет: $45 - a - 15 + b = 1$, что упрощается до $30 - a + b = 1$, или $b - a = -29$.

Это уравнение имеет бесконечно много решений. Мы можем выбрать любую пару чисел $a$ и $b$, удовлетворяющую этому условию. Например, пусть $a=30$, тогда $b = 30-29=1$.

Ответ: Задача не имеет однозначного решения в исходной формулировке. Если предположить, что `*` могут быть разными, то одним из возможных решений является: первый `*` равен $x^{30}$, а второй `*` равен $x^1$.

г) Заменим `*` на $x^n$. Уравнение $* : * : * : x = x^{73}$ примет вид $x^n : x^n : x^n : x^1 = x^{73}$.

Составим уравнение для показателей степеней, выполняя деление последовательно слева направо:

$n - n - n - 1 = 73$

$-n - 1 = 73$

$-n = 74$

$n = -74$

Таким образом, `*` следует заменить на $x^{-74}$.

Проверка: $x^{-74} : x^{-74} : x^{-74} : x^1 = x^{-74 - (-74)} : x^{-74} : x^1 = x^0 : x^{-74} : x^1 = x^{0 - (-74)} : x^1 = x^{74} : x^1 = x^{74-1} = x^{73}$. Равенство выполняется.

Ответ: $* = x^{-74}$.

20.23 Каким должно быть натуральное число $n$, чтобы выполнялось равенство:

а) $128^n : 128^{56} = 128^{42}$;

б) $216^3 : 216^n = 216$;

в) $395^n : 395 = 395^9$;

г) $548^4 : 548^n = 548^3$?

а) $128^n : 128^{56} = 128^{42}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Применим это правило к левой части уравнения:

$128^n : 128^{56} = 128^{n-56}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$128^{n-56} = 128^{42}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n - 56 = 42$

Чтобы найти $n$, перенесем 56 в правую часть уравнения, изменив знак:

$n = 42 + 56$

$n = 98$

Ответ: 98.

б) $216^3 : 216^n = 216$

Сначала представим число 216 в правой части уравнения в виде степени с тем же основанием. Любое число без показателя степени равно этому числу в первой степени: $216 = 216^1$.

Уравнение принимает вид:

$216^3 : 216^n = 216^1$

Используем то же свойство степеней, что и в предыдущем пункте ($a^m : a^k = a^{m-k}$), для левой части уравнения:

$216^3 : 216^n = 216^{3-n}$

Теперь приравняем левую и правую части:

$216^{3-n} = 216^1$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$3 - n = 1$

Выразим $n$ из этого уравнения:

$n = 3 - 1$

$n = 2$

Ответ: 2.

в) $395^n : 395 = 395^9$

Представим число 395 в левой части как $395^1$. Уравнение станет таким:

$395^n : 395^1 = 395^9$

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^k = a^{m-k}$) к левой части:

$395^n : 395^1 = 395^{n-1}$

Теперь уравнение выглядит так:

$395^{n-1} = 395^9$

Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы:

$n - 1 = 9$

Находим $n$:

$n = 9 + 1$

$n = 10$

Ответ: 10.

г) $548^4 : 548^n = 548^3$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^k = a^{m-k}$) для левой части уравнения:

$548^4 : 548^n = 548^{4-n}$

Получаем уравнение:

$548^{4-n} = 548^3$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$4 - n = 3$

Решаем уравнение относительно $n$:

$n = 4 - 3$

$n = 1$

Ответ: 1.