Номер 20.23, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.23 Каким должно быть натуральное число $n$, чтобы выполнялось равенство:

а) $128^n : 128^{56} = 128^{42}$;

б) $216^3 : 216^n = 216$;

в) $395^n : 395 = 395^9$;

г) $548^4 : 548^n = 548^3$?

а) $128^n : 128^{56} = 128^{42}$

Для решения этого уравнения воспользуемся свойством степеней: при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, а основание остается прежним. Формула выглядит так: $a^m : a^k = a^{m-k}$.

Применим это правило к левой части уравнения:

$128^n : 128^{56} = 128^{n-56}$

Теперь наше уравнение имеет вид:

$128^{n-56} = 128^{42}$

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n - 56 = 42$

Чтобы найти $n$, перенесем 56 в правую часть уравнения, изменив знак:

$n = 42 + 56$

$n = 98$

Ответ: 98.

б) $216^3 : 216^n = 216$

Сначала представим число 216 в правой части уравнения в виде степени с тем же основанием. Любое число без показателя степени равно этому числу в первой степени: $216 = 216^1$.

Уравнение принимает вид:

$216^3 : 216^n = 216^1$

Используем то же свойство степеней, что и в предыдущем пункте ($a^m : a^k = a^{m-k}$), для левой части уравнения:

$216^3 : 216^n = 216^{3-n}$

Теперь приравняем левую и правую части:

$216^{3-n} = 216^1$

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$3 - n = 1$

Выразим $n$ из этого уравнения:

$n = 3 - 1$

$n = 2$

Ответ: 2.

в) $395^n : 395 = 395^9$

Представим число 395 в левой части как $395^1$. Уравнение станет таким:

$395^n : 395^1 = 395^9$

Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^k = a^{m-k}$) к левой части:

$395^n : 395^1 = 395^{n-1}$

Теперь уравнение выглядит так:

$395^{n-1} = 395^9$

Приравниваем показатели степеней, так как основания одинаковы:

$n - 1 = 9$

Находим $n$:

$n = 9 + 1$

$n = 10$

Ответ: 10.

г) $548^4 : 548^n = 548^3$

Воспользуемся свойством деления степеней с одинаковым основанием ($a^m : a^k = a^{m-k}$) для левой части уравнения:

$548^4 : 548^n = 548^{4-n}$

Получаем уравнение:

$548^{4-n} = 548^3$

Поскольку основания степеней равны, их показатели также должны быть равны:

$4 - n = 3$

Решаем уравнение относительно $n$:

$n = 4 - 3$

$n = 1$

Ответ: 1.