Номер 20.22, страница 100, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

20.22 а) $* : x^{10} : * = x^{40};$

Б) $x^{44} \cdot * \cdot x : * = x^{51};$

В) $x^{45} : * : x^{15} \cdot * = x;$

Г) $* : * : x = x^{73}.$

а) Заменим знак `*` на степень $x^n$. Тогда уравнение примет вид $x^n : x^{10} : x^n = x^{40}$.

При последовательном выполнении действий слева направо получаем уравнение для показателей степеней: $n - 10 - n = 40$, что упрощается до неверного равенства $-10 = 40$. Это означает, что в исходной постановке (когда все `*` заменяются на одно и то же выражение) задача не имеет решения. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка. Если предположить, что второй знак деления (`:`) должен быть знаком умножения (`·`), задача приобретает смысл.

Рассмотрим исправленное уравнение: $* : x^{10} \cdot * = x^{40}$.

Тогда уравнение для показателей степеней будет выглядеть так:

$n - 10 + n = 40$

$2n - 10 = 40$

$2n = 50$

$n = 25$

Таким образом, `*` следует заменить на $x^{25}$.

Проверка: $x^{25} : x^{10} \cdot x^{25} = x^{25-10} \cdot x^{25} = x^{15} \cdot x^{25} = x^{15+25} = x^{40}$. Равенство выполняется.

Ответ: $* = x^{25}$ (в предположении, что второй оператор — умножение).

б) Заменим `*` на $x^n$. Уравнение примет вид $x^{44} \cdot x^n \cdot x : x^n = x^{51}$. Учитывая, что $x = x^1$, составим уравнение для показателей степеней при выполнении действий слева направо:

$44 + n + 1 - n = 51$

$45 = 51$

Получено неверное равенство, значит, в данной постановке задача не имеет решения. Предположим, что в условии есть опечатка в последнем знаке операции. Если заменить деление на умножение, получим:

$x^{44} \cdot * \cdot x \cdot * = x^{51}$

Тогда уравнение для показателей степеней:

$44 + n + 1 + n = 51$

$45 + 2n = 51$

$2n = 6$

$n = 3$

Значит, `*` следует заменить на $x^3$.

Проверка: $x^{44} \cdot x^3 \cdot x^1 \cdot x^3 = x^{44+3+1+3} = x^{51}$. Равенство выполняется.

Ответ: $* = x^3$ (в предположении, что последний оператор — умножение).

в) Заменим `*` на $x^n$. Уравнение $x^{45} : * : x^{15} \cdot * = x$ примет вид $x^{45} : x^n : x^{15} \cdot x^n = x^1$.

Уравнение для показателей степеней:

$45 - n - 15 + n = 1$

$30 = 1$

Это неверное равенство, поэтому задача в такой формулировке не имеет решения. Изменение одного из операторов также не приводит к целочисленному решению (например, замена `·` на `:` дает $30 - 2n = 1$, откуда $n = 14.5$).

Возможно, в этом задании подразумевалось, что символы `*` могут быть заменены на разные степени $x$. Пусть первый `*` это $x^a$, а второй — $x^b$.

Тогда уравнение для показателей будет: $45 - a - 15 + b = 1$, что упрощается до $30 - a + b = 1$, или $b - a = -29$.

Это уравнение имеет бесконечно много решений. Мы можем выбрать любую пару чисел $a$ и $b$, удовлетворяющую этому условию. Например, пусть $a=30$, тогда $b = 30-29=1$.

Ответ: Задача не имеет однозначного решения в исходной формулировке. Если предположить, что `*` могут быть разными, то одним из возможных решений является: первый `*` равен $x^{30}$, а второй `*` равен $x^1$.

г) Заменим `*` на $x^n$. Уравнение $* : * : * : x = x^{73}$ примет вид $x^n : x^n : x^n : x^1 = x^{73}$.

Составим уравнение для показателей степеней, выполняя деление последовательно слева направо:

$n - n - n - 1 = 73$

$-n - 1 = 73$

$-n = 74$

$n = -74$

Таким образом, `*` следует заменить на $x^{-74}$.

Проверка: $x^{-74} : x^{-74} : x^{-74} : x^1 = x^{-74 - (-74)} : x^{-74} : x^1 = x^0 : x^{-74} : x^1 = x^{0 - (-74)} : x^1 = x^{74} : x^1 = x^{74-1} = x^{73}$. Равенство выполняется.

Ответ: $* = x^{-74}$.