Номер 20.25, страница 101, часть 2 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мордкович, Александрова

Вычислите:

20.25 а) $\frac{7^3 \cdot 7^{12}}{7^{14}}$;

б) $\frac{10^{15} \cdot 10^7}{10^{19}}$;

в) $\frac{15 \cdot 15^{13}}{15^{12}}$;

г) $\frac{43^{12}}{43^6 \cdot 43^5}$.

а) Чтобы вычислить значение дроби $\frac{7^3 \cdot 7^{12}}{7^{14}}$, воспользуемся свойствами степеней.
Сначала упростим числитель. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются, согласно правилу $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
$7^3 \cdot 7^{12} = 7^{3+12} = 7^{15}$.
Теперь наше выражение выглядит так: $\frac{7^{15}}{7^{14}}$.
Далее, при делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются, согласно правилу $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
$\frac{7^{15}}{7^{14}} = 7^{15-14} = 7^1 = 7$.
Ответ: 7

б) Для вычисления выражения $\frac{10^{15} \cdot 10^7}{10^{19}}$ применим те же свойства степеней.
Упростим числитель, используя правило умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$10^{15} \cdot 10^7 = 10^{15+7} = 10^{22}$.
Теперь разделим полученный результат на знаменатель, используя правило деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:
$\frac{10^{22}}{10^{19}} = 10^{22-19} = 10^3$.
Вычислим полученное значение: $10^3 = 1000$.
Ответ: 1000

в) Вычислим значение выражения $\frac{15 \cdot 15^{13}}{15^{12}}$.
Заметим, что число $15$ можно представить как $15^1$. Упростим числитель, сложив показатели степеней:
$15^1 \cdot 15^{13} = 15^{1+13} = 15^{14}$.
Теперь выполним деление, вычтя показатели степеней:
$\frac{15^{14}}{15^{12}} = 15^{14-12} = 15^2$.
Вычислим квадрат числа 15: $15^2 = 225$.
Ответ: 225

г) Рассмотрим выражение $\frac{43^{12}}{43^6 \cdot 43^5}$.
В этом случае сначала упростим знаменатель, применив правило умножения степеней с одинаковым основанием:
$43^6 \cdot 43^5 = 43^{6+5} = 43^{11}$.
Теперь исходное выражение имеет вид: $\frac{43^{12}}{43^{11}}$.
Выполним деление, вычитая показатель знаменателя из показателя числителя:
$\frac{43^{12}}{43^{11}} = 43^{12-11} = 43^1 = 43$.
Ответ: 43