Страница 103, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Представьте выражение в виде произведения степеней:

21.1 а) $(2a)^4;$

б) $(3b)^5;$

в) $(6n)^3;$

г) $(8n)^2.$

а)

Чтобы представить выражение в виде произведения степеней, необходимо использовать свойство степени произведения, которое гласит: $(ab)^n = a^n b^n$. Это означает, что для возведения произведения в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить.

Применим это правило к выражению $(2a)^4$:

$(2a)^4 = 2^4 \cdot a^4$

Теперь вычислим числовую часть $2^4$:

$2^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$

Таким образом, исходное выражение равно:

$16a^4$

Ответ: $16a^4$

б)

Используем то же свойство степени произведения $(ab)^n = a^n b^n$ для выражения $(3b)^5$:

$(3b)^5 = 3^5 \cdot b^5$

Вычислим значение $3^5$:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$

В результате получаем:

$243b^5$

Ответ: $243b^5$

в)

Для выражения $(6n)^3$ снова применим правило возведения произведения в степень:

$(6n)^3 = 6^3 \cdot n^3$

Вычислим значение $6^3$:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216$

Итоговое выражение имеет вид:

$216n^3$

Ответ: $216n^3$

г)

Для выражения $(8n)^2$ также воспользуемся свойством степени произведения:

$(8n)^2 = 8^2 \cdot n^2$

Вычислим значение $8^2$:

$8^2 = 8 \cdot 8 = 64$

Следовательно, получаем:

$64n^2$

Ответ: $64n^2$

21.2 a) $(-2p)^3;$

б) $(-5q)^4;$

в) $(-7c)^2;$

г) $(-3d)^5.$

а) Чтобы возвести произведение в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Это свойство можно записать в виде формулы: $(xy)^n = x^n y^n$.

Применим это свойство к выражению $(-2p)^3$:

$(-2p)^3 = (-2)^3 \cdot p^3$

Теперь вычислим значение $(-2)^3$. Так как показатель степени нечетный (3), результат будет отрицательным:

$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$

Соединив результаты, получаем:

$-8 \cdot p^3 = -8p^3$

Ответ: $-8p^3$

б) Воспользуемся тем же свойством возведения произведения в степень: $(xy)^n = x^n y^n$.

Для выражения $(-5q)^4$ получаем:

$(-5q)^4 = (-5)^4 \cdot q^4$

Вычислим значение $(-5)^4$. Так как показатель степени четный (4), результат будет положительным:

$(-5)^4 = (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) \cdot (-5) = 25 \cdot 25 = 625$

Таким образом, итоговое выражение:

$625 \cdot q^4 = 625q^4$

Ответ: $625q^4$

в) Применим свойство возведения произведения в степень для выражения $(-7c)^2$:

$(-7c)^2 = (-7)^2 \cdot c^2$

Возводим в квадрат число -7. Так как показатель степени четный (2), знак минус становится плюсом:

$(-7)^2 = (-7) \cdot (-7) = 49$

Объединяем части:

$49 \cdot c^2 = 49c^2$

Ответ: $49c^2$

г) Используем правило возведения произведения в степень для выражения $(-3d)^5$:

$(-3d)^5 = (-3)^5 \cdot d^5$

Вычислим значение $(-3)^5$. Так как показатель степени нечетный (5), результат будет отрицательным:

$(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = 9 \cdot 9 \cdot (-3) = 81 \cdot (-3) = -243$

В результате получаем:

$-243 \cdot d^5 = -243d^5$

Ответ: $-243d^5$

21.3 а) $(mn)^6$;

б) $(ab)^4$;

в) $(pq)^3$;

г) $(cd)^{10}$.

Для решения данных задач используется свойство возведения произведения в степень. Это свойство гласит, что для того чтобы возвести произведение в степень, нужно возвести в эту степень каждый множитель и результаты перемножить. Математически это записывается так: $(xy)^k = x^k y^k$.

а)

В выражении $(mn)^6$ основанием является произведение переменных $m$ и $n$, а показателем степени — число 6. Применяя правило возведения произведения в степень, мы возводим каждый множитель в эту степень:

$(mn)^6 = m^6 n^6$

Ответ: $m^6 n^6$

б)

В выражении $(ab)^4$ основанием является произведение $a$ и $b$, а показателем степени — 4. Применим то же свойство степени произведения:

$(ab)^4 = a^4 b^4$

Ответ: $a^4 b^4$

в)

В выражении $(pq)^3$ основанием является произведение $p$ и $q$, а показателем степени — 3. Аналогично предыдущим примерам, возводим каждый множитель в куб:

$(pq)^3 = p^3 q^3$

Ответ: $p^3 q^3$

г)

В выражении $(cd)^{10}$ основанием является произведение $c$ и $d$, а показателем степени — 10. Используя свойство степени произведения, получаем:

$(cd)^{10} = c^{10} d^{10}$

Ответ: $c^{10} d^{10}$

21.4 а) $(-ac)^{17}$;

б) $(-am)^8$;

в) $(-rs)^3$;

г) $(-xy)^{12}$.

а) Для того чтобы возвести произведение в степень, нужно каждый множитель возвести в эту степень. Основание $(-ac)$ можно представить как произведение $-1$, $a$ и $c$. Показатель степени 17 является нечетным числом, поэтому при возведении отрицательного числа в нечетную степень знак минус сохраняется.

$(-ac)^{17} = (-1 \cdot a \cdot c)^{17} = (-1)^{17} \cdot a^{17} \cdot c^{17} = -1 \cdot a^{17}c^{17} = -a^{17}c^{17}$.

Ответ: $-a^{17}c^{17}$

б) В этом примере основание $(-am)$ возводится в степень 8. Показатель степени 8 является четным числом. При возведении отрицательного числа в четную степень результат всегда будет положительным.

$(-am)^{8} = (-1 \cdot a \cdot m)^{8} = (-1)^{8} \cdot a^{8} \cdot m^{8} = 1 \cdot a^{8}m^{8} = a^{8}m^{8}$.

Ответ: $a^{8}m^{8}$

в) Здесь основание $(-rs)$ возводится в степень 3. Так как показатель степени 3 — нечетное число, знак минус в итоговом выражении сохранится.

$(-rs)^{3} = (-1 \cdot r \cdot s)^{3} = (-1)^{3} \cdot r^{3} \cdot s^{3} = -1 \cdot r^{3}s^{3} = -r^{3}s^{3}$.

Ответ: $-r^{3}s^{3}$

г) Основание $(-xy)$ возводится в степень 12. Показатель степени 12 — четное число. Следовательно, знак минус исчезнет, и результат будет положительным.

$(-xy)^{12} = (-1 \cdot x \cdot y)^{12} = (-1)^{12} \cdot x^{12} \cdot y^{12} = 1 \cdot x^{12}y^{12} = x^{12}y^{12}$.

Ответ: $x^{12}y^{12}$

21.5 а) $(xy^3)^2$;

б) $(a^2bc^3)^4$;

в) $(p^3cd^6)^{18}$;

г) $(u^5v^4t^7)^9$.

а) Для упрощения выражения $(xy^3)^2$ необходимо использовать два основных свойства степеней:

1. Свойство возведения произведения в степень: $(ab)^n = a^n b^n$.
2. Свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Применим первое свойство к исходному выражению. Каждый множитель в скобках возводится в квадрат:

$(xy^3)^2 = x^2 \cdot (y^3)^2$

Далее, для множителя $(y^3)^2$ применим второе свойство. Основание $y$ остается, а показатели степеней $3$ и $2$ перемножаются:

$(y^3)^2 = y^{3 \cdot 2} = y^6$

В итоге получаем:

$(xy^3)^2 = x^2y^6$

Ответ: $x^2y^6$

б) Упростим выражение $(a^2bc^3)^4$. Используем те же свойства, что и в предыдущем пункте. Учтем, что переменная $b$ находится в первой степени, то есть $b = b^1$.

Возведем каждый множитель в скобках в четвертую степень:

$(a^2bc^3)^4 = (a^2)^4 \cdot b^4 \cdot (c^3)^4$

Теперь для каждого множителя, который уже является степенью, применим правило возведения степени в степень:

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$

$(c^3)^4 = c^{3 \cdot 4} = c^{12}$

Собираем все вместе:

$(a^2bc^3)^4 = a^8b^4c^{12}$

Ответ: $a^8b^4c^{12}$

в) Упростим выражение $(p^3cd^6)^{18}$. Переменная $c$ имеет показатель степени 1 ($c = c^1$).

Применяем правило возведения произведения в степень:

$(p^3cd^6)^{18} = (p^3)^{18} \cdot c^{18} \cdot (d^6)^{18}$

Применяем правило возведения степени в степень:

$(p^3)^{18} = p^{3 \cdot 18} = p^{54}$

$(d^6)^{18} = d^{6 \cdot 18} = d^{108}$

Объединяем результаты:

$(p^3cd^6)^{18} = p^{54}c^{18}d^{108}$

Ответ: $p^{54}c^{18}d^{108}$

г) Упростим выражение $(u^5v^4t^7)^9$.

Используем правило возведения произведения в степень:

$(u^5v^4t^7)^9 = (u^5)^9 \cdot (v^4)^9 \cdot (t^7)^9$

Теперь для каждого множителя используем правило возведения степени в степень:

$(u^5)^9 = u^{5 \cdot 9} = u^{45}$

$(v^4)^9 = v^{4 \cdot 9} = v^{36}$

$(t^7)^9 = t^{7 \cdot 9} = t^{63}$

Собираем все части вместе:

$(u^5v^4t^7)^9 = u^{45}v^{36}t^{63}$

Ответ: $u^{45}v^{36}t^{63}$

21.6 a) $(3p^2r^8)^5$;

б) $(6a^5bx^3)^3$;

В) $(10a^2b^5)^4$;

г) $(4r^5q^8p^9)^2$.

а)

Чтобы возвести одночлен (произведение чисел и переменных в степенях) в степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель одночлена. Для этого мы используем два основных свойства степеней:

1. Правило возведения произведения в степень: $(xyz)^n = x^n y^n z^n$.
2. Правило возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.

Применим эти правила к выражению $(3p^2r^8)^5$:

$(3p^2r^8)^5 = 3^5 \cdot (p^2)^5 \cdot (r^8)^5$

Теперь вычислим значение для каждого множителя:

$3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$

$(p^2)^5 = p^{2 \cdot 5} = p^{10}$

$(r^8)^5 = r^{8 \cdot 5} = r^{40}$

Собираем все вместе:

$243p^{10}r^{40}$

Ответ: $243p^{10}r^{40}$

б)

Используем те же свойства степеней для выражения $(6a^5bx^3)^3$. Обратите внимание, что переменная $b$ имеет степень 1 ($b = b^1$).

$(6a^5bx^3)^3 = 6^3 \cdot (a^5)^3 \cdot b^3 \cdot (x^3)^3$

Вычисляем каждый множитель:

$6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 216$

$(a^5)^3 = a^{5 \cdot 3} = a^{15}$

$b^3$

$(x^3)^3 = x^{3 \cdot 3} = x^9$

Объединяем результаты:

$216a^{15}b^3x^9$

Ответ: $216a^{15}b^3x^9$

в)

Применяем правила для выражения $(10a^2b^5)^4$.

$(10a^2b^5)^4 = 10^4 \cdot (a^2)^4 \cdot (b^5)^4$

Вычисляем каждый множитель:

$10^4 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

$(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$

$(b^5)^4 = b^{5 \cdot 4} = b^{20}$

Собираем все вместе:

$10000a^8b^{20}$

Ответ: $10000a^8b^{20}$

г)

Применяем правила для выражения $(4r^5q^8p^9)^2$.

$(4r^5q^8p^9)^2 = 4^2 \cdot (r^5)^2 \cdot (q^8)^2 \cdot (p^9)^2$

Вычисляем каждый множитель:

$4^2 = 16$

$(r^5)^2 = r^{5 \cdot 2} = r^{10}$

$(q^8)^2 = q^{8 \cdot 2} = q^{16}$

$(p^9)^2 = p^{9 \cdot 2} = p^{18}$

Объединяем результаты: $16r^{10}q^{16}p^{18}$. По принятому стандарту переменные в одночлене записывают в алфавитном порядке.

$16p^{18}q^{16}r^{10}$

Ответ: $16p^{18}q^{16}r^{10}$

Представьте выражение в виде степени произведения:

21.7 а) $36a^2$;

б) $49b^2$;

в) $81c^2$;

г) $64d^2$.

а) Чтобы представить выражение $36a^2$ в виде степени произведения, необходимо представить каждый множитель в виде степени с одинаковым показателем.
Число 36 можно представить как квадрат числа 6, то есть $36 = 6^2$.
Таким образом, выражение $36a^2$ можно переписать как $6^2a^2$.
Используя свойство степени $(xy)^n = x^n y^n$, мы можем сгруппировать множители под одной степенью: $6^2a^2 = (6a)^2$.
Ответ: $(6a)^2$.

б) Чтобы представить выражение $49b^2$ в виде степени произведения, представим число 49 как квадрат.
Число 49 является квадратом числа 7: $49 = 7^2$.
Следовательно, выражение $49b^2$ эквивалентно $7^2b^2$.
Применяя свойство степени произведения в обратном порядке $x^n y^n = (xy)^n$, получаем: $7^2b^2 = (7b)^2$.
Ответ: $(7b)^2$.

в) Рассмотрим выражение $81c^2$. Нам нужно представить его в виде степени произведения.
Число 81 – это квадрат числа 9, так как $81 = 9^2$.
Подставив это в исходное выражение, получим $9^2c^2$.
Используя формулу степени произведения $(xy)^n = x^n y^n$, запишем выражение в искомом виде: $9^2c^2 = (9c)^2$.
Ответ: $(9c)^2$.

г) Для выражения $64d^2$ необходимо выполнить аналогичные действия.
Представим число 64 в виде квадрата. Мы знаем, что $64 = 8^2$.
Тогда выражение $64d^2$ можно записать как $8^2d^2$.
Применив свойство степени произведения, получим: $8^2d^2 = (8d)^2$.
Ответ: $(8d)^2$.

21.8 а) $a^2b^2c^2$;

б) $x^3y^3z^3$;

в) $m^5n^5s^5$;

г) $p^{12}q^{12}r^{12}$.

а) Чтобы представить произведение $a^2b^2c^2$ в виде степени, необходимо воспользоваться свойством степени произведения. Это свойство утверждает, что произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения их оснований с тем же показателем: $x^n \cdot y^n \cdot z^n = (x \cdot y \cdot z)^n$. В данном выражении все переменные $a$, $b$ и $c$ возведены в одну и ту же степень 2. Применяя указанное свойство, мы можем сгруппировать основания $a$, $b$ и $c$ под общим показателем степени 2. Таким образом, получаем: $a^2b^2c^2 = (a \cdot b \cdot c)^2 = (abc)^2$.
Ответ: $(abc)^2$

б) Аналогично предыдущему примеру, рассмотрим выражение $x^3y^3z^3$. Здесь все переменные $x$, $y$ и $z$ возведены в одинаковую степень 3. Используем то же свойство степени произведения: $a^n b^n c^n = (abc)^n$. Вынесем общий показатель степени 3 за скобки, объединив основания: $x^3y^3z^3 = (x \cdot y \cdot z)^3 = (xyz)^3$.
Ответ: $(xyz)^3$

в) В выражении $m^5n^5s^5$ все основания $m$, $n$ и $s$ имеют одинаковый показатель степени, равный 5. Применим свойство степени произведения в обратном порядке, чтобы представить произведение степеней как степень произведения. $m^5n^5s^5 = (m \cdot n \cdot s)^5 = (mns)^5$.
Ответ: $(mns)^5$

г) Рассмотрим выражение $p^{12}q^{12}r^{12}$. Общий показатель степени для всех переменных $p$, $q$ и $r$ равен 12. Применяя свойство степени для произведения оснований, мы можем записать это выражение в виде степени произведения. $p^{12}q^{12}r^{12} = (p \cdot q \cdot r)^{12} = (pqr)^{12}$.
Ответ: $(pqr)^{12}$

21.9 a) $16x^4y^4z^4$;

б) $125c^3d^3z^3$;

в) $81m^2p^2q^2$;

г) $32r^5s^5q^5$.

а) Чтобы представить одночлен $16x^4y^4z^4$ в виде степени другого одночлена, необходимо найти такое основание, которое при возведении в соответствующую степень даст исходное выражение. В данном случае все множители (числовой коэффициент и переменные) имеют показатель степени 4.

1. Представим числовой коэффициент 16 в виде степени. Мы ищем число, которое при возведении в 4-ю степень равно 16. Это число 2, так как $2^4 = 16$.

2. Переменные $x, y, z$ уже возведены в 4-ю степень: $x^4, y^4, z^4$.

3. Используя свойство степени произведения $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$ в обратном порядке, объединим все множители под общим показателем степени 4:

$16x^4y^4z^4 = 2^4 \cdot x^4 \cdot y^4 \cdot z^4 = (2 \cdot x \cdot y \cdot z)^4 = (2xyz)^4$.

Таким образом, исходный одночлен является четвертой степенью одночлена $2xyz$.

Ответ: $(2xyz)^4$

б) Рассмотрим одночлен $125c^3d^3z^3$. Здесь все множители находятся в третьей степени (в кубе).

1. Представим коэффициент 125 в виде куба некоторого числа. Это число 5, так как $5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$.

2. Переменные $c, d, z$ также находятся в третьей степени: $c^3, d^3, z^3$.

3. Сгруппируем основания под общим показателем степени 3:

$125c^3d^3z^3 = 5^3 \cdot c^3 \cdot d^3 \cdot z^3 = (5 \cdot c \cdot d \cdot z)^3 = (5cdz)^3$.

Исходный одночлен является кубом одночлена $5cdz$.

Ответ: $(5cdz)^3$

в) Для одночлена $81m^2p^2q^2$ все множители находятся во второй степени (в квадрате).

1. Числовой коэффициент 81 представим в виде квадрата. Это квадрат числа 9, то есть $81 = 9^2$.

2. Переменные $m, p, q$ также возведены во вторую степень: $m^2, p^2, q^2$.

3. Применяя свойство степени произведения, объединим основания под общим показателем степени 2:

$81m^2p^2q^2 = 9^2 \cdot m^2 \cdot p^2 \cdot q^2 = (9 \cdot m \cdot p \cdot q)^2 = (9mpq)^2$.

Таким образом, данный одночлен является квадратом одночлена $9mpq$.

Ответ: $(9mpq)^2$

г) В одночлене $32r^5s^5q^5$ общая степень для всех множителей равна 5.

1. Найдем число, которое в пятой степени дает 32. Это число 2, поскольку $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

2. Переменные $r, s, q$ также находятся в пятой степени: $r^5, s^5, q^5$.

3. Объединим все множители под общим показателем степени 5:

$32r^5s^5q^5 = 2^5 \cdot r^5 \cdot s^5 \cdot q^5 = (2 \cdot r \cdot s \cdot q)^5 = (2rsq)^5$.

Исходный одночлен является пятой степенью одночлена $2rsq$.

Ответ: $(2rsq)^5$

Запишите выражение в виде степени с показателем 2:

21.10

а) $a^2b^{10}$;

б) $x^8y^{12}$;

в) $x^2y^4z^{24}$;

г) $p^8q^{10}z^{30}$.

Чтобы записать выражение в виде степени с показателем 2 (то есть в виде квадрата), необходимо каждый множитель в выражении представить в виде квадрата. Это делается с помощью свойства возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$. Для любого выражения $a^k$, где $k$ — четное число, справедливо равенство $a^k = (a^{k/2})^2$. После того как каждый множитель будет представлен в виде квадрата, мы используем свойство степени произведения $(x \cdot y)^n = x^n \cdot y^n$ (в обратную сторону: $x^n \cdot y^n = (x \cdot y)^n$), чтобы объединить их в один квадрат.

а)

Рассмотрим выражение $a^2b^{10}$. Представим каждый его множитель в виде квадрата:
$a^2 = (a^{2/2})^2 = (a^1)^2 = a^2$
$b^{10} = (b^{10/2})^2 = (b^5)^2$
Теперь объединяем полученные выражения под один показатель степени 2:
$a^2b^{10} = (a)^2 \cdot (b^5)^2 = (a \cdot b^5)^2 = (ab^5)^2$.
Ответ: $(ab^5)^2$

б)

Рассмотрим выражение $x^8y^{12}$. Представим каждый его множитель в виде квадрата:
$x^8 = (x^{8/2})^2 = (x^4)^2$
$y^{12} = (y^{12/2})^2 = (y^6)^2$
Объединяем полученные выражения:
$x^8y^{12} = (x^4)^2 \cdot (y^6)^2 = (x^4y^6)^2$.
Ответ: $(x^4y^6)^2$

в)

Рассмотрим выражение $x^2y^4z^{24}$. Представим каждый его множитель в виде квадрата:
$x^2 = (x^{2/2})^2 = (x^1)^2 = x^2$
$y^4 = (y^{4/2})^2 = (y^2)^2$
$z^{24} = (z^{24/2})^2 = (z^{12})^2$
Объединяем полученные выражения:
$x^2y^4z^{24} = (x)^2 \cdot (y^2)^2 \cdot (z^{12})^2 = (xy^2z^{12})^2$.
Ответ: $(xy^2z^{12})^2$

г)

Рассмотрим выражение $p^8q^{10}z^{30}$. Представим каждый его множитель в виде квадрата:
$p^8 = (p^{8/2})^2 = (p^4)^2$
$q^{10} = (q^{10/2})^2 = (q^5)^2$
$z^{30} = (z^{30/2})^2 = (z^{15})^2$
Объединяем полученные выражения:
$p^8q^{10}z^{30} = (p^4)^2 \cdot (q^5)^2 \cdot (z^{15})^2 = (p^4q^5z^{15})^2$.
Ответ: $(p^4q^5z^{15})^2$

21.11 a) $x^4y^6$;

б) $16q^{18}r^{34}$;

в) $81c^8d^{16}f^{28}$;

г) $121m^{12}n^{16}r^{54}$.

а) Чтобы представить одночлен $x^4y^6$ в виде квадрата другого одночлена, необходимо каждый множитель представить в виде квадрата. Для этого воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, из которого следует, что $a^k = (a^{k/2})^2$.
Представим $x^4$ в виде квадрата: $x^4 = (x^{4/2})^2 = (x^2)^2$.
Представим $y^6$ в виде квадрата: $y^6 = (y^{6/2})^2 = (y^3)^2$.
Тогда исходное выражение можно записать так: $x^4y^6 = (x^2)^2(y^3)^2$.
Используя свойство $(ab)^n = a^n b^n$, получаем: $(x^2y^3)^2$.
Ответ: $(x^2y^3)^2$.

б) Чтобы представить одночлен $16q^{18}r^{34}$ в виде квадрата, представим каждый его множитель в виде квадрата.
Числовой коэффициент: $16 = 4^2$.
Для переменных используем то же свойство степени, разделяя показатели на 2:
$q^{18} = (q^{18/2})^2 = (q^9)^2$.
$r^{34} = (r^{34/2})^2 = (r^{17})^2$.
Собираем все вместе: $16q^{18}r^{34} = 4^2 (q^9)^2 (r^{17})^2 = (4q^9r^{17})^2$.
Ответ: $(4q^9r^{17})^2$.

в) Представим одночлен $81c^8d^{16}f^{28}$ в виде квадрата. Для этого каждый множитель представим в виде квадрата.
Числовой коэффициент: $81 = 9^2$.
Для переменных со степенями разделим каждый показатель степени на 2:
$c^8 = (c^{8/2})^2 = (c^4)^2$.
$d^{16} = (d^{16/2})^2 = (d^8)^2$.
$f^{28} = (f^{28/2})^2 = (f^{14})^2$.
Объединяя все части, получаем: $81c^8d^{16}f^{28} = 9^2 (c^4)^2 (d^8)^2 (f^{14})^2 = (9c^4d^8f^{14})^2$.
Ответ: $(9c^4d^8f^{14})^2$.

г) Представим одночлен $121m^{12}n^{16}r^{54}$ в виде квадрата.
Находим квадратный корень из числового коэффициента: $\sqrt{121} = 11$, значит $121 = 11^2$.
Делим показатели степеней переменных на 2:
$m^{12} = (m^{12/2})^2 = (m^6)^2$.
$n^{16} = (n^{16/2})^2 = (n^8)^2$.
$r^{54} = (r^{54/2})^2 = (r^{27})^2$.
Таким образом, исходный одночлен равен: $121m^{12}n^{16}r^{54} = 11^2 (m^6)^2 (n^8)^2 (r^{27})^2 = (11m^6n^8r^{27})^2$.
Ответ: $(11m^6n^8r^{27})^2$.

21.12 Найдите наиболее рациональным способом значение выражения:

а) $2^3 \cdot 5^3;$

б) $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7;$

в) $0,6^6 \cdot 5^6;$

г) $(\frac{35}{24})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{2}{5})^3.$

а) $2^3 \cdot 5^3$

Наиболее рациональным способом решения будет использование свойства степени: произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения оснований. Формула: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

Применим это свойство к нашему выражению:

$2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$.

Ответ: 1000

б) $(\frac{2}{3})^7 \cdot 1,5^7$

Используем то же свойство степеней, что и в пункте а). Сначала представим десятичную дробь 1,5 в виде обыкновенной:

$1,5 = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$.

Теперь применим свойство степеней:

$(\frac{2}{3})^7 \cdot (\frac{3}{2})^7 = (\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2})^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: 1

в) $0,6^6 \cdot 5^6$

Снова применяем свойство произведения степеней с одинаковыми показателями $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

$0,6^6 \cdot 5^6 = (0,6 \cdot 5)^6 = 3^6$.

Осталось вычислить значение $3^6$:

$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$.

Или так: $3^6 = (3^2)^3 = 9^3 = 729$.

Ответ: 729

г) $(\frac{35}{24})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{2}{5})^3$

Все множители в выражении возведены в одну и ту же степень. Объединим их под общим показателем степени, используя свойство $(a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n$.

$(\frac{35}{24})^3 \cdot (\frac{6}{7})^3 \cdot (\frac{2}{5})^3 = (\frac{35}{24} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{5})^3$.

Теперь вычислим произведение дробей в скобках, предварительно сократив их:

$\frac{35}{24} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{2}{5} = \frac{35 \cdot 6 \cdot 2}{24 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{(5 \cdot 7) \cdot 6 \cdot 2}{(4 \cdot 6) \cdot 7 \cdot 5}$.

Сокращаем одинаковые множители в числителе и знаменателе (5, 7, 6):

$\frac{\cancel{5} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{6} \cdot 2}{4 \cdot \cancel{6} \cdot \cancel{7} \cdot \cancel{5}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Полученное выражение равно $(\frac{1}{2})^3$.

$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1}{8}$.

Ответ: $\frac{1}{8}$