Страница 68, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

13.6 Какая из данных пар чисел является решением системы уравнений

${ \begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9? \end{cases} }$

а) (3; -1);

б) (-9; 3);

в) (2; 1);

г) (1; 2).

Для того чтобы определить, какая из предложенных пар чисел является решением системы уравнений, необходимо последовательно подставить координаты (x; y) каждой пары в оба уравнения системы. Решением будет та пара, при подстановке которой оба уравнения обращаются в верные числовые равенства.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} 2x + 11y = 15, \\ 10x - 11y = 9 \end{cases}$$

Проверим каждый из предложенных вариантов ответа.

а) (3; -1)

Подставляем значения $x = 3$ и $y = -1$ в первое уравнение системы:

$2 \cdot 3 + 11 \cdot (-1) = 6 - 11 = -5$

Полученный результат $-5$ не равен $15$, поэтому данная пара чисел не является решением системы. Проверять второе уравнение нет необходимости.

Ответ: не является решением.

б) (-9; 3)

Подставляем значения $x = -9$ и $y = 3$ в первое уравнение системы:

$2 \cdot (-9) + 11 \cdot 3 = -18 + 33 = 15$

Равенство $15 = 15$ является верным. Теперь проверим второе уравнение системы:

$10 \cdot (-9) - 11 \cdot 3 = -90 - 33 = -123$

Полученный результат $-123$ не равен $9$, поэтому данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: не является решением.

в) (2; 1)

Подставляем значения $x = 2$ и $y = 1$ в первое уравнение системы:

$2 \cdot 2 + 11 \cdot 1 = 4 + 11 = 15$

Равенство $15 = 15$ является верным. Теперь проверим второе уравнение системы:

$10 \cdot 2 - 11 \cdot 1 = 20 - 11 = 9$

Равенство $9 = 9$ также является верным. Так как оба уравнения обратились в верные равенства, эта пара чисел является решением системы.

Ответ: является решением.

г) (1; 2)

Подставляем значения $x = 1$ и $y = 2$ в первое уравнение системы:

$2 \cdot 1 + 11 \cdot 2 = 2 + 22 = 24$

Полученный результат $24$ не равен $15$, поэтому данная пара чисел не является решением системы.

Ответ: не является решением.

13.7 Является ли решением системы уравнений $\begin{cases} 4x - 3y = 7, \\ 5x + 2y = 26 \end{cases}$ пара чисел:

а) (1; 2);

б) (-2; -5);

в) (4; 3);

г) (0; 1)?

Для того чтобы пара чисел являлась решением системы уравнений, она должна удовлетворять каждому уравнению системы. Проверим каждую предложенную пару чисел, подставив ее в систему уравнений:

а) (1; 2)

Подставим значения $x=1$ и $y=2$ в первое уравнение системы:

$4 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$

Полученное значение $-2$ не равно $7$. Так как пара чисел не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы.

Ответ: не является.

б) (-2; -5)

Подставим значения $x=-2$ и $y=-5$ в первое уравнение системы:

$4 \cdot (-2) - 3 \cdot (-5) = -8 + 15 = 7$

Равенство $7 = 7$ является верным, поэтому проверим второе уравнение:

$5 \cdot (-2) + 2 \cdot (-5) = -10 - 10 = -20$

Полученное значение $-20$ не равно $26$. Так как пара чисел не удовлетворяет второму уравнению, она не является решением системы.

Ответ: не является.

в) (4; 3)

Подставим значения $x=4$ и $y=3$ в первое уравнение системы:

$4 \cdot 4 - 3 \cdot 3 = 16 - 9 = 7$

Равенство $7 = 7$ является верным, поэтому проверим второе уравнение:

$5 \cdot 4 + 2 \cdot 3 = 20 + 6 = 26$

Равенство $26 = 26$ также является верным. Поскольку пара чисел удовлетворяет обоим уравнениям системы, она является решением.

Ответ: является.

г) (0; 1)

Подставим значения $x=0$ и $y=1$ в первое уравнение системы:

$4 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = 0 - 3 = -3$

Полученное значение $-3$ не равно $7$. Так как пара чисел не удовлетворяет первому уравнению, она не является решением системы.

Ответ: не является.

13.8 Убедитесь, что пара чисел (12; 15) является решением системы уравнений:

a) $\begin{cases} x + y = 27 \\ 2x - 4y = -36 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - y = 9 \\ 4y = 5x \end{cases}$

Чтобы убедиться, что пара чисел $(12; 15)$ является решением системы уравнений, нужно подставить значения $x=12$ и $y=15$ в каждое уравнение системы. Если оба уравнения обратятся в верные числовые равенства, то пара чисел является решением системы.

а)

Проверим систему уравнений: $$ \begin{cases} x + y = 27, \\ 2x - 4y = -36 \end{cases} $$

Подставляем $x=12$ и $y=15$ в первое уравнение:

$12 + 15 = 27$

$27 = 27$

Равенство верное.

Подставляем $x=12$ и $y=15$ во второе уравнение:

$2 \cdot 12 - 4 \cdot 15 = -36$

$24 - 60 = -36$

$-36 = -36$

Равенство верное.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(12; 15)$ является решением данной системы.

Ответ: Да, пара чисел $(12; 15)$ является решением системы.

б)

Проверим систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x - y = 9, \\ 4y = 5x \end{cases} $$

Подставляем $x=12$ и $y=15$ в первое уравнение:

$2 \cdot 12 - 15 = 9$

$24 - 15 = 9$

$9 = 9$

Равенство верное.

Подставляем $x=12$ и $y=15$ во второе уравнение:

$4 \cdot 15 = 5 \cdot 12$

$60 = 60$

Равенство верное.

Поскольку оба уравнения обратились в верные равенства, пара чисел $(12; 15)$ является решением данной системы.

Ответ: Да, пара чисел $(12; 15)$ является решением системы.

13.9 Даны два линейных уравнения с двумя переменными: $x - y = 2$ и $x + y = 8$.

Найдите пару чисел, которая:

a) является решением первого уравнения, но не является решением второго;

б) является решением второго уравнения, но не является решением первого;

в) является решением и первого, и второго уравнений;

г) не является решением ни первого, ни второго уравнения.

а) является решением первого уравнения, но не является решением второго;
Нам необходимо найти такую пару чисел $(x, y)$, для которой выполняется равенство $x - y = 2$, но не выполняется равенство $x + y = 8$. Для этого можно выбрать любое значение для одной из переменных и вычислить вторую из первого уравнения.
Например, пусть $x = 3$. Подставим это значение в первое уравнение: $3 - y = 2$ $y = 3 - 2 = 1$
Таким образом, мы получили пару чисел $(3, 1)$. Проверим, удовлетворяет ли она условиям.
Подстановка в первое уравнение: $3 - 1 = 2$. Равенство верное.
Подстановка во второе уравнение: $3 + 1 = 4$. Равенство $4 = 8$ неверное.
Следовательно, пара $(3, 1)$ удовлетворяет заданным условиям.
Ответ: $(3, 1)$.

б) является решением второго уравнения, но не является решением первого;
Теперь нужно найти пару чисел $(x, y)$, для которой выполняется равенство $x + y = 8$, но не выполняется $x - y = 2$. Поступим аналогично предыдущему пункту, но будем использовать второе уравнение.
Пусть $x = 1$. Подставим это значение во второе уравнение: $1 + y = 8$ $y = 8 - 1 = 7$
Получили пару чисел $(1, 7)$. Проверим ее.
Подстановка во второе уравнение: $1 + 7 = 8$. Равенство верное.
Подстановка в первое уравнение: $1 - 7 = -6$. Равенство $-6 = 2$ неверное.
Следовательно, пара $(1, 7)$ удовлетворяет заданным условиям.
Ответ: $(1, 7)$.

в) является решением и первого, и второго уравнений;
Чтобы найти пару чисел, которая является решением обоих уравнений, необходимо решить систему этих уравнений: $$ \begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 8 \end{cases} $$ Используем метод сложения: сложим левые и правые части уравнений. $(x - y) + (x + y) = 2 + 8$ $2x = 10$ $x = 5$
Теперь подставим найденное значение $x$ в любое из исходных уравнений, например, во второе: $5 + y = 8$ $y = 8 - 5 = 3$
Таким образом, решением системы является пара чисел $(5, 3)$. Проверим:
Первое уравнение: $5 - 3 = 2$. Верно.
Второе уравнение: $5 + 3 = 8$. Верно.
Ответ: $(5, 3)$.

г) не является решением ни первого, ни второго уравнения.
Нужно подобрать такую пару чисел $(x, y)$, которая не удовлетворяет ни одному из двух равенств. Можно выбрать практически любую произвольную пару чисел, которая не была ответом в предыдущих пунктах.
Возьмем, например, пару $(0, 0)$.
Проверим для первого уравнения: $0 - 0 = 0$. Так как $0 \neq 2$, эта пара не является решением.
Проверим для второго уравнения: $0 + 0 = 0$. Так как $0 \neq 8$, эта пара не является решением.
Поскольку пара $(0, 0)$ не удовлетворяет ни одному из уравнений, она подходит.
Ответ: $(0, 0)$.

Решите графически систему уравнений:

13.10

а) $\begin{cases} y = x, \\ y = 3x - 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -3x, \\ y = 3 - 4x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 5x, \\ y = -2x + 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = -\frac{1}{4}x, \\ y = x - 5. \end{cases}$

а)

Для графического решения системы уравнений $ \begin{cases} y = x \\ y = 3x - 4 \end{cases} $ необходимо построить графики каждой функции в одной системе координат.

1. Построим график функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов. Для построения достаточно двух точек. Возьмем точки $(0, 0)$ и $(2, 2)$.

2. Построим график функции $y = 3x - 4$. Это также прямая. Найдем координаты двух точек для ее построения:
- при $x = 1$, $y = 3 \cdot 1 - 4 = -1$. Точка $(1, -1)$.
- при $x = 2$, $y = 3 \cdot 2 - 4 = 2$. Точка $(2, 2)$.

Построив обе прямые на координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются. Координаты точки пересечения являются решением системы. Из наших вычислений видно, что точка $(2, 2)$ принадлежит обоим графикам.

Проверим найденное решение, подставив значения в исходные уравнения:
$2 = 2$ (верно)
$2 = 3 \cdot 2 - 4 \implies 2 = 6 - 4 \implies 2 = 2$ (верно)

Ответ: $(2, 2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -3x \\ y = 3 - 4x \end{cases} $

Построим графики функций $y = -3x$ и $y = 3 - 4x$ на одной координатной плоскости.

1. График функции $y = -3x$ — прямая, проходящая через начало координат. Найдем вторую точку:
- при $x = 1$, $y = -3 \cdot 1 = -3$. Точка $(1, -3)$.
Таким образом, прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, -3)$.

2. График функции $y = 3 - 4x$ — также прямая. Найдем две точки для ее построения:
- при $x = 0$, $y = 3 - 4 \cdot 0 = 3$. Точка $(0, 3)$.
- при $x = 1$, $y = 3 - 4 \cdot 1 = -1$. Точка $(1, -1)$.

Построив графики на координатной плоскости, найдем их точку пересечения. Чтобы найти точные координаты, можно приравнять правые части уравнений: $-3x = 3 - 4x$, откуда $x = 3$. Тогда $y = -3 \cdot 3 = -9$.

Точка пересечения графиков — $(3, -9)$.

Проверка:
Для первого уравнения: $-9 = -3 \cdot 3$ (верно).
Для второго уравнения: $-9 = 3 - 4 \cdot 3 \implies -9 = 3 - 12 \implies -9 = -9$ (верно).

Ответ: $(3, -9)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = 5x \\ y = -2x + 7 \end{cases} $

Решим систему графически, построив графики обеих функций в одной системе координат.

1. Построим график функции $y = 5x$. Это прямая, проходящая через начало координат. Найдем вторую точку:
- при $x = 1$, $y = 5 \cdot 1 = 5$. Точка $(1, 5)$.
Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(1, 5)$.

2. Построим график функции $y = -2x + 7$. Это прямая. Найдем две точки:
- при $x = 0$, $y = -2 \cdot 0 + 7 = 7$. Точка $(0, 7)$.
- при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 + 7 = 5$. Точка $(1, 5)$.

Из расчетов видно, что точка $(1, 5)$ принадлежит обоим графикам. Следовательно, это и есть их точка пересечения.

Проверка:
Для первого уравнения: $5 = 5 \cdot 1$ (верно).
Для второго уравнения: $5 = -2 \cdot 1 + 7 \implies 5 = 5$ (верно).

Ответ: $(1, 5)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений: $ \begin{cases} y = -\frac{1}{4}x \\ y = x - 5 \end{cases} $

Для графического решения построим графики обеих линейных функций на одной координатной плоскости.

1. Построим график функции $y = -\frac{1}{4}x$. Это прямая, проходящая через начало координат $(0, 0)$. Для нахождения второй точки выберем $x$, кратное 4, чтобы получить целое значение $y$:
- при $x = 4$, $y = -\frac{1}{4} \cdot 4 = -1$. Точка $(4, -1)$.
Прямая проходит через точки $(0, 0)$ и $(4, -1)$.

2. Построим график функции $y = x - 5$. Это прямая. Найдем две точки:
- при $x = 0$, $y = 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
- при $x = 4$, $y = 4 - 5 = -1$. Точка $(4, -1)$.

Заметив, что точка $(4, -1)$ является общей для обоих графиков, мы определяем ее как точку пересечения.

Проверка:
Для первого уравнения: $-1 = -\frac{1}{4} \cdot 4 \implies -1 = -1$ (верно).
Для второго уравнения: $-1 = 4 - 5 \implies -1 = -1$ (верно).

Ответ: $(4, -1)$.

Решите графически систему уравнений:

13.11 а) $\begin{cases} y = x - 1, \\ x + 3y = 9; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - 2y = 12, \\ x + 2y = -4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = -2x, \\ x - 2y = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - 3y = 8, \\ 2x - 3y = 10. \end{cases}$

а)

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения в одной системе координат. Координаты точки пересечения этих графиков и будут решением системы.

1. Построим график первого уравнения: $y = x - 1$.
Это линейная функция, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.
При $x = 0$, $y = 0 - 1 = -1$. Получаем точку $(0, -1)$.
При $x = 3$, $y = 3 - 1 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.
Проведем прямую через эти две точки.

2. Построим график второго уравнения: $x + 3y = 9$.
Это также линейная функция. Для удобства построения выразим $y$ через $x$:
$3y = 9 - x$
$y = -\frac{1}{3}x + 3$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 0$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 3 = 3$. Получаем точку $(0, 3)$.
При $x = 3$, $y = -\frac{1}{3} \cdot 3 + 3 = -1 + 3 = 2$. Получаем точку $(3, 2)$.
Проведем прямую через эти две точки.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки — $(3, 2)$.

Ответ: $(3, 2)$.

б)

Решим систему графически. Для этого построим графики уравнений $3x - 2y = 12$ и $x + 2y = -4$.

1. Построим график уравнения $3x - 2y = 12$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = 12 - 3x$
$y = \frac{3}{2}x - 6$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 0$, $y = \frac{3}{2} \cdot 0 - 6 = -6$. Точка $(0, -6)$.
При $x = 4$, $y = \frac{3}{2} \cdot 4 - 6 = 6 - 6 = 0$. Точка $(4, 0)$.

2. Построим график уравнения $x + 2y = -4$.
Выразим $y$ через $x$:
$2y = -x - 4$
$y = -\frac{1}{2}x - 2$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 0$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 0 - 2 = -2$. Точка $(0, -2)$.
При $x = 2$, $y = -\frac{1}{2} \cdot 2 - 2 = -1 - 2 = -3$. Точка $(2, -3)$.

Построив графики, найдем их точку пересечения. Координаты этой точки — $(2, -3)$.

Ответ: $(2, -3)$.

в)

Решим систему графически, построив графики уравнений $y = -2x$ и $x - 2y = 0$.

1. Построим график уравнения $y = -2x$.
Это прямая пропорциональность, ее график — прямая, проходящая через начало координат.
Точка 1: $(0, 0)$.
Найдем еще одну точку: при $x = 1$, $y = -2 \cdot 1 = -2$. Точка 2: $(1, -2)$.

2. Построим график уравнения $x - 2y = 0$.
Выразим $y$ через $x$:
$-2y = -x$
$y = \frac{1}{2}x$
Это также прямая пропорциональность, проходящая через начало координат.
Точка 1: $(0, 0)$.
Найдем еще одну точку: при $x = 2$, $y = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$. Точка 2: $(2, 1)$.

Оба графика являются прямыми, проходящими через начало координат $(0, 0)$. Следовательно, это и есть их точка пересечения.

Ответ: $(0, 0)$.

г)

Решим систему графически, построив графики уравнений $x - 3y = 8$ и $2x - 3y = 10$.

1. Построим график уравнения $x - 3y = 8$.
Выразим $y$ через $x$:
$-3y = 8 - x$
$y = \frac{1}{3}x - \frac{8}{3}$
Найдем координаты двух точек. Чтобы избежать дробей, подберем удобные значения $x$:
При $x = -1$, $y = \frac{1}{3}(-1) - \frac{8}{3} = -\frac{9}{3} = -3$. Точка $(-1, -3)$.
При $x = 2$, $y = \frac{1}{3}(2) - \frac{8}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(2, -2)$.

2. Построим график уравнения $2x - 3y = 10$.
Выразим $y$ через $x$:
$-3y = 10 - 2x$
$y = \frac{2}{3}x - \frac{10}{3}$
Найдем координаты двух точек:
При $x = 2$, $y = \frac{2}{3}(2) - \frac{10}{3} = \frac{4 - 10}{3} = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(2, -2)$.
При $x = 5$, $y = \frac{2}{3}(5) - \frac{10}{3} = \frac{10 - 10}{3} = 0$. Точка $(5, 0)$.

Построив графики, видим, что они пересекаются в точке с координатами $(2, -2)$.

Ответ: $(2, -2)$.