Страница 64, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

12.3 а) Для каждого прыгуна подсчитайте сумму занятых им мест.

б) Кто из прыгунов победил (набрал наименьшую сумму мест)?

в) Кто из прыгунов оказался последним (набрал наибольшую сумму мест)?

г) Каковы объём, размах и медиана ряда данных, состоящих из суммы занятых мест?

Для решения этой задачи необходимы исходные данные, а именно таблица с результатами (занятыми местами) каждого прыгуна в нескольких попытках или соревнованиях. Поскольку эти данные в вопросе отсутствуют, решение будет показано на основе гипотетического примера.

Предположим, у нас есть результаты соревнований четырех прыгунов в трех попытках, где указаны занятые ими места:

На основе этих данных ответим на вопросы задачи.

а) Для каждого прыгуна подсчитайте сумму занятых им мест.

Чтобы найти сумму мест для каждого прыгуна, необходимо сложить места, занятые им во всех попытках:
Сумма мест для Антонова: $2 + 1 + 4 = 7$
Сумма мест для Борисова: $1 + 3 + 2 = 6$
Сумма мест для Васильева: $4 + 2 + 1 = 7$
Сумма мест для Григорьева: $3 + 4 + 3 = 10$

Ответ: Суммы мест: Антонов – 7, Борисов – 6, Васильев – 7, Григорьев – 10.

б) Кто из прыгунов победил (набрал наименьшую сумму мест)?

Победителем считается тот, у кого сумма мест наименьшая. Сравниваем полученные суммы: 6, 7, 7, 10. Наименьшая сумма – 6. Эту сумму набрал Борисов.

Ответ: Победил Борисов.

в) Кто из прыгунов оказался последним (набрал наибольшую сумму мест)?

Последним считается тот, у кого сумма мест наибольшая. Сравниваем полученные суммы: 6, 7, 7, 10. Наибольшая сумма – 10. Эту сумму набрал Григорьев.

Ответ: Последним оказался Григорьев.

г) Каковы объём, размах и медиана ряда данных, состоящих из суммы занятых мест?

Ряд данных, который мы анализируем, состоит из сумм занятых мест: {7, 6, 7, 10}.

Объём ряда – это количество элементов в ряду. В нашем ряду 4 элемента (по числу прыгунов).
Объём = 4.

Размах ряда – это разность между наибольшим и наименьшим значениями в ряду.
Наибольшее значение = 10.
Наименьшее значение = 6.
Размах = $10 - 6 = 4$.

Медиана ряда – это серединное значение в упорядоченном ряду. Сначала упорядочим наш ряд по возрастанию: {6, 7, 7, 10}.
Так как в ряду чётное число элементов (4), медиана равна среднему арифметическому двух центральных элементов (второго и третьего).
Медиана = $(7 + 7) / 2 = 7$.

Ответ: Объём ряда – 4, размах – 4, медиана – 7.

12.4 a) Сколько прыгунов набрали 27 в сумме мест?

б) Сколько прыгунов набрали 18 в сумме мест?

в) Составьте таблицу распределения сумм мест.

г) Постройте круговую диаграмму распределения сумм мест.

Для решения задачи необходимо иметь исходные данные, которые в вопросе не представлены. Предположим, что задача является продолжением предыдущего упражнения, в котором были даны результаты 12 прыгунов в трёх соревнованиях. "Сумма мест" — это сумма мест, занятых одним прыгуном во всех трёх соревнованиях. После обработки гипотетических исходных данных, мы получили следующий ряд, представляющий суммы мест для каждого из 12 прыгунов:

27, 9, 11, 27, 7, 36, 17, 18, 10, 18, 23, 27.

а) Сколько прыгунов набрали 27 в сумме мест?

Проанализируем полученный ряд данных: 27, 9, 11, 27, 7, 36, 17, 18, 10, 18, 23, 27. Подсчитаем, сколько раз в этом ряду встречается число 27. Число 27 встречается 3 раза. Следовательно, 3 прыгуна набрали 27 в сумме мест.

Ответ: 3 прыгуна.

б) Сколько прыгунов набрали 18 в сумме мест?

Снова обратимся к ряду данных: 27, 9, 11, 27, 7, 36, 17, 18, 10, 18, 23, 27. Подсчитаем, сколько раз в этом ряду встречается число 18. Число 18 встречается 2 раза. Следовательно, 2 прыгуна набрали 18 в сумме мест.

Ответ: 2 прыгуна.

в) Составьте таблицу распределения сумм мест.

Для составления таблицы распределения (частотной таблицы) необходимо найти все уникальные значения сумм мест и подсчитать, сколько раз каждое значение встречается (его частоту).

Уникальные значения (варианты) сумм мест, расположенные в порядке возрастания: 7, 9, 10, 11, 17, 18, 23, 27, 36.

Подсчитаем частоту для каждой варианты:

• Сумма 7: встречается 1 раз.
• Сумма 9: встречается 1 раз.
• Сумма 10: встречается 1 раз.
• Сумма 11: встречается 1 раз.
• Сумма 17: встречается 1 раз.
• Сумма 18: встречается 2 раза.
• Сумма 23: встречается 1 раз.
• Сумма 27: встречается 3 раза.
• Сумма 36: встречается 1 раз.

Проверим общее количество: $1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 12$, что соответствует общему числу прыгунов.

Итоговая таблица распределения:

Ответ: Таблица распределения составлена выше.

г) Постройте круговую диаграмму распределения сумм мест.

Круговая диаграмма представляет собой круг, разделенный на секторы. Каждый сектор соответствует определённому значению (в нашем случае — сумме мест), а его размер (центральный угол) пропорционален частоте этого значения. Общее число прыгунов — 12. Полный круг составляет $360^\circ$. Таким образом, на одного прыгуна приходится сектор с углом $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Рассчитаем углы секторов для каждой суммы мест:

• Сумма 7 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$
• Сумма 9 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$
• Сумма 10 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$
• Сумма 11 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$
• Сумма 17 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$
• Сумма 18 (частота 2): $2 \times 30^\circ = 60^\circ$
• Сумма 23 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$
• Сумма 27 (частота 3): $3 \times 30^\circ = 90^\circ$
• Сумма 36 (частота 1): $1 \times 30^\circ = 30^\circ$

Ниже представлена круговая диаграмма, построенная на основе этих данных. Разные цвета секторов соответствуют разным суммам мест, как показано в легенде.

Ответ: Круговая диаграмма построена выше.

Используя в качестве коэффициентов $k$ и $m$ числа $-2, -1, 0, 1, 2$, составляют различные формулы линейной функции $y = kx + m$.

12.5 a) Сколько всего различных формул можно составить?

б) У скольких из полученных формул коэффициент $k$ будет отрицателен?

в) У скольких из этих формул коэффициент $m$ будет неотрицателен?

г) У скольких из этих формул коэффициенты $k$ и $m$ будут различны по знаку?

Для составления различных формул линейной функции $y = kx + m$ используются коэффициенты $k$ и $m$ из множества чисел $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Всего в этом множестве 5 различных чисел.

а) Сколько всего различных формул можно составить?
Чтобы найти общее количество различных формул, нужно определить, сколько существует уникальных пар коэффициентов $(k, m)$.
Для выбора коэффициента $k$ есть 5 возможных вариантов из заданного множества: $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Аналогично, для выбора коэффициента $m$ также есть 5 возможных вариантов из того же множества.
Поскольку выбор $k$ и выбор $m$ независимы друг от друга, общее количество различных формул равно произведению числа вариантов для каждого коэффициента (согласно комбинаторному правилу произведения).
Число формул = (количество вариантов для $k$) $\times$ (количество вариантов для $m$) = $5 \times 5 = 25$.
Ответ: 25.

б) У скольких из полученных формул коэффициент k будет отрицателен?
Нам нужно найти количество формул, где $k < 0$. Из заданного множества отрицательными значениями для $k$ являются $-2$ и $-1$. Таким образом, для коэффициента $k$ есть 2 варианта выбора.
Коэффициент $m$ может принимать любое из 5 значений из множества $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
Количество формул с отрицательным $k$ = (количество вариантов для отрицательного $k$) $\times$ (общее количество вариантов для $m$) = $2 \times 5 = 10$.
Ответ: 10.

в) У скольких из этих формул коэффициент m будет неотрицателен?
Нам нужно найти количество формул, где $m \ge 0$. Неотрицательными значениями из заданного множества являются $0, 1, 2$. Таким образом, для коэффициента $m$ есть 3 варианта выбора.
Коэффициент $k$ может принимать любое из 5 значений из множества.
Количество формул с неотрицательным $m$ = (общее количество вариантов для $k$) $\times$ (количество вариантов для неотрицательного $m$) = $5 \times 3 = 15$.
Ответ: 15.

г) У скольких из этих формул коэффициенты k и m будут различны по знаку?
Коэффициенты $k$ и $m$ различны по знаку, если один из них положителен ($>0$), а другой отрицателен ($<0$). Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным, поэтому случаи, когда один из коэффициентов равен нулю, не подходят.
Положительные числа в множестве: $1, 2$ (всего 2 варианта).
Отрицательные числа в множестве: $-2, -1$ (всего 2 варианта).
Рассмотрим два взаимоисключающих случая:
1. Коэффициент $k$ положителен, а коэффициент $m$ отрицателен. Количество таких комбинаций равно произведению числа вариантов для каждого: $2 \times 2 = 4$.
2. Коэффициент $k$ отрицателен, а коэффициент $m$ положителен. Количество таких комбинаций также равно: $2 \times 2 = 4$.
Общее количество формул, где коэффициенты имеют разные знаки, равно сумме количеств в этих двух случаях: $4 + 4 = 8$.
Ответ: 8.

Используя в качестве коэффициентов k и m числа -2, -1, 0, 1, 2, составляют различные формулы линейной функции $y = kx + m$.

12.6 Графики скольких из этих функций будут:

а) проходить через начало координат;

б) проходить через точку A(1; 0);

в) проходить через точку B(0; 1);

г) параллельны графику функции $y = 5 - x$?

По условию задачи, коэффициенты $k$ и $m$ для линейной функции $y = kx + m$ выбираются из множества $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Всего можно составить $5 \times 5 = 25$ различных функций.

а) проходить через начало координат;

График линейной функции проходит через начало координат, точку $(0; 0)$, если при подстановке координат этой точки в уравнение функции получается верное равенство. Подставим $x=0$ и $y=0$ в уравнение $y = kx + m$:
$0 = k \cdot 0 + m$
$0 = m$
Это условие выполняется, если свободный член $m$ равен 0. Угловой коэффициент $k$ при этом может принимать любое из пяти допустимых значений: $-2, -1, 0, 1, 2$.
Следовательно, существует 5 функций, графики которых проходят через начало координат.
Ответ: 5

б) проходить через точку A(1; 0);

График функции проходит через точку $A(1; 0)$, если при подстановке ее координат в уравнение функции получается верное равенство. Подставим $x=1$ и $y=0$ в уравнение $y = kx + m$:
$0 = k \cdot 1 + m$
$k + m = 0$, что эквивалентно $k = -m$.
Теперь найдем все пары коэффициентов $(k; m)$ из заданного множества $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$, которые удовлетворяют этому условию:
Если $k = -2$, то $m = 2$.
Если $k = -1$, то $m = 1$.
Если $k = 0$, то $m = 0$.
Если $k = 1$, то $m = -1$.
Если $k = 2$, то $m = -2$.
Всего получилось 5 таких пар. Каждая пара определяет одну функцию.
Ответ: 5

в) проходить через точку B(0; 1);

График функции проходит через точку $B(0; 1)$, если при подстановке ее координат в уравнение функции получается верное равенство. Подставим $x=0$ и $y=1$ в уравнение $y = kx + m$:
$1 = k \cdot 0 + m$
$1 = m$
Это условие выполняется, если свободный член $m$ равен 1. Угловой коэффициент $k$ при этом может принимать любое из пяти допустимых значений: $-2, -1, 0, 1, 2$.
Таким образом, существует 5 функций, графики которых проходят через точку $B(0; 1)$.
Ответ: 5

г) параллельны графику функции y = 5 – x?

Графики двух линейных функций параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены различны. Если и свободные члены равны, то графики совпадают. В условии задачи не уточняется, считать ли совпадающие прямые параллельными, но обычно в таких задачах их считают.
Запишем функцию $y = 5 - x$ в стандартном виде $y = kx + m$:
$y = -1 \cdot x + 5$
Угловой коэффициент этой функции равен $-1$.
Следовательно, для искомых функций коэффициент $k$ должен быть равен $-1$. Коэффициент $m$ при этом может принимать любое из пяти допустимых значений: $-2, -1, 0, 1, 2$.
Таким образом, существует 5 функций, графики которых параллельны графику функции $y = 5 - x$.
Ответ: 5