Страница 72, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Решите систему уравнений методом подстановки:

14.9 а) $\begin{cases} 2x - y = 2, \\ 3x - 2y = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5y - x = 6, \\ 3x - 4y = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3x + 4y = 55, \\ 7x - y = 56; \end{cases}$

г) $\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 6y - 2x = 13. \end{cases}$

а)
$\begin{cases} 2x - y = 2, \\ 3x - 2y = 3 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $y$:
$y = 2x - 2$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$3x - 2(2x - 2) = 3$.
Решим это уравнение:
$3x - 4x + 4 = 3$
$-x = 3 - 4$
$-x = -1$
$x = 1$.
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 1$ в выражение $y = 2x - 2$:
$y = 2 \cdot 1 - 2 = 0$.
Ответ: $(1; 0)$.

б)
$\begin{cases} 5y - x = 6, \\ 3x - 4y = 4 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $x$:
$x = 5y - 6$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$3(5y - 6) - 4y = 4$.
Решим это уравнение:
$15y - 18 - 4y = 4$
$11y = 4 + 18$
$11y = 22$
$y = 2$.
Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 2$ в выражение $x = 5y - 6$:
$x = 5 \cdot 2 - 6 = 10 - 6 = 4$.
Ответ: $(4; 2)$.

в)
$\begin{cases} 3x + 4y = 55, \\ 7x - y = 56 \end{cases}$
Из второго уравнения выразим переменную $y$:
$y = 7x - 56$.
Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:
$3x + 4(7x - 56) = 55$.
Решим это уравнение:
$3x + 28x - 224 = 55$
$31x = 55 + 224$
$31x = 279$
$x = \frac{279}{31} = 9$.
Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 9$ в выражение $y = 7x - 56$:
$y = 7 \cdot 9 - 56 = 63 - 56 = 7$.
Ответ: $(9; 7)$.

г)
$\begin{cases} 4y - x = 11, \\ 6y - 2x = 13 \end{cases}$
Из первого уравнения выразим переменную $x$:
$x = 4y - 11$.
Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:
$6y - 2(4y - 11) = 13$.
Решим это уравнение:
$6y - 8y + 22 = 13$
$-2y = 13 - 22$
$-2y = -9$
$y = \frac{-9}{-2} = 4,5$.
Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 4,5$ в выражение $x = 4y - 11$:
$x = 4 \cdot 4,5 - 11 = 18 - 11 = 7$.
Ответ: $(7; 4,5)$.

Найдите координаты точки пересечения прямых:

14.10

а) $y = 10x + 30$ и $y = -12x + 272;

б) $y = -18x + 25$ и $y = 15x + 14;

в) $y = 15x - 21$ и $y = 7x - 77;

г) $y = -7x - 19$ и $y = 14x - 1.$

а) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, графики которых заданы уравнениями $y = 10x + 30$ и $y = -12x + 272$, необходимо решить систему этих уравнений. В точке пересечения значения координат $x$ и $y$ для обеих прямых совпадают, поэтому мы можем приравнять правые части уравнений.

Приравниваем выражения для $y$:

$10x + 30 = -12x + 272$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$. Перенесем все слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а числовые значения — в правую:

$10x + 12x = 272 - 30$

$22x = 242$

Разделим обе части уравнения на 22, чтобы найти $x$:

$x = \frac{242}{22} = 11$

Мы нашли абсциссу (координату $x$) точки пересечения. Теперь найдем ординату (координату $y$), подставив найденное значение $x=11$ в любое из двух исходных уравнений. Подставим в первое:

$y = 10x + 30 = 10 \cdot 11 + 30 = 110 + 30 = 140$

Для проверки можно подставить $x=11$ и во второе уравнение:

$y = -12x + 272 = -12 \cdot 11 + 272 = -132 + 272 = 140$

Так как результаты совпали, координаты точки пересечения найдены верно.

Ответ: $(11; 140)$.

б) Найдем координаты точки пересечения прямых $y = -18x + 25$ и $y = 15x + 14$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-18x + 25 = 15x + 14$

Решаем уравнение относительно $x$. Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:

$25 - 14 = 15x + 18x$

$11 = 33x$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{11}{33} = \frac{1}{3}$

Теперь подставим значение $x = \frac{1}{3}$ в любое из исходных уравнений, чтобы найти $y$. Используем второе уравнение:

$y = 15x + 14 = 15 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + 14 = 5 + 14 = 19$

Проверка с помощью первого уравнения:

$y = -18x + 25 = -18 \cdot \left(\frac{1}{3}\right) + 25 = -6 + 25 = 19$

Результаты совпали.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 19)$.

в) Найдем координаты точки пересечения прямых $y = 15x - 21$ и $y = 7x - 77$.

Приравниваем правые части уравнений:

$15x - 21 = 7x - 77$

Решаем уравнение относительно $x$:

$15x - 7x = -77 + 21$

$8x = -56$

Находим $x$:

$x = \frac{-56}{8} = -7$

Подставляем $x = -7$ в любое из уравнений для нахождения $y$. Возьмем второе:

$y = 7x - 77 = 7 \cdot (-7) - 77 = -49 - 77 = -126$

Проверка с помощью первого уравнения:

$y = 15x - 21 = 15 \cdot (-7) - 21 = -105 - 21 = -126$

Результаты совпали.

Ответ: $(-7; -126)$.

г) Найдем координаты точки пересечения прямых $y = -7x - 19$ и $y = 14x - 1$.

Приравниваем правые части уравнений:

$-7x - 19 = 14x - 1$

Решаем уравнение относительно $x$:

$-19 + 1 = 14x + 7x$

$-18 = 21x$

Находим $x$ и сокращаем дробь:

$x = \frac{-18}{21} = -\frac{18 \div 3}{21 \div 3} = -\frac{6}{7}$

Подставляем $x = -\frac{6}{7}$ в любое из уравнений для нахождения $y$. Возьмем второе:

$y = 14x - 1 = 14 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) - 1 = 2 \cdot (-6) - 1 = -12 - 1 = -13$

Проверка с помощью первого уравнения:

$y = -7x - 19 = -7 \cdot \left(-\frac{6}{7}\right) - 19 = 6 - 19 = -13$

Результаты совпали.

Ответ: $(-\frac{6}{7}; -13)$.

14.11 Найдите координаты точки пересечения прямых:

а) $y = 5x$ и $4x + y = 180$;

б) $x - 2y = 5$ и $2x + y = 9$;

в) $y = -1.4x$ и $x - y = 18$;

г) $x - 10y = 1$ и $2x + 3y = 48$.

Чтобы найти координаты точки пересечения двух прямых, необходимо решить систему уравнений, задающих эти прямые. Координаты $(x, y)$ точки пересечения должны удовлетворять обоим уравнениям одновременно.

а) $y = 5x$ и $4x + y = 180$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = 5x \\ 4x + y = 180 \end{cases}$

В первом уравнении переменная $y$ уже выражена через $x$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$4x + (5x) = 180$

Решим полученное уравнение:

$9x = 180$

$x = \frac{180}{9}$

$x = 20$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 20$ в первое уравнение:

$y = 5 \cdot 20$

$y = 100$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(20, 100)$.

Ответ: $(20, 100)$.

б) $x - 2y = 5$ и $2x + y = 9$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = 5 \\ 2x + y = 9 \end{cases}$

Выразим переменную $y$ из второго уравнения:

$y = 9 - 2x$

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы:

$x - 2(9 - 2x) = 5$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$x - 18 + 4x = 5$

$5x = 5 + 18$

$5x = 23$

$x = \frac{23}{5} = 4,6$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 4,6$ в выражение $y = 9 - 2x$:

$y = 9 - 2 \cdot 4,6$

$y = 9 - 9,2$

$y = -0,2$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(4,6; -0,2)$.

Ответ: $(4,6; -0,2)$.

в) $y = -1,4x$ и $x - y = 18$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} y = -1,4x \\ x - y = 18 \end{cases}$

Подставим выражение для $y$ из первого уравнения во второе:

$x - (-1,4x) = 18$

Решим полученное уравнение:

$x + 1,4x = 18$

$2,4x = 18$

$x = \frac{18}{2,4} = \frac{180}{24} = \frac{15}{2} = 7,5$

Теперь найдем значение $y$, подставив $x = 7,5$ в первое уравнение:

$y = -1,4 \cdot 7,5$

$y = -10,5$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(7,5; -10,5)$.

Ответ: $(7,5; -10,5)$.

г) $x - 10y = 1$ и $2x + 3y = 48$

Составим систему уравнений:

$ \begin{cases} x - 10y = 1 \\ 2x + 3y = 48 \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 1 + 10y$

Подставим полученное выражение во второе уравнение системы:

$2(1 + 10y) + 3y = 48$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$2 + 20y + 3y = 48$

$23y = 48 - 2$

$23y = 46$

$y = \frac{46}{23} = 2$

Теперь найдем значение $x$, подставив $y = 2$ в выражение $x = 1 + 10y$:

$x = 1 + 10 \cdot 2$

$x = 1 + 20$

$x = 21$

Таким образом, точка пересечения прямых имеет координаты $(21, 2)$.

Ответ: $(21, 2)$.

Решите задачу, используя для составления математической модели две переменные:

14.12

В седьмых классах девочек в 1,3 раза больше, чем мальчиков. Сколько всего учеников в седьмых классах, если девочек на 12 больше, чем мальчиков?

14.12

Для решения задачи введем две переменные. Пусть $x$ — количество девочек в седьмых классах, а $y$ — количество мальчиков.

Согласно первому условию задачи, «девочек в 1,3 раза больше, чем мальчиков». Это можно выразить следующим уравнением:
$x = 1.3 \cdot y$

Согласно второму условию, «девочек на 12 больше, чем мальчиков». Это можно выразить вторым уравнением:
$x = y + 12$

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$\begin{cases} x = 1.3y \\ x = y + 12 \end{cases}$

Так как левые части уравнений равны (обе равны $x$), мы можем приравнять их правые части:
$1.3y = y + 12$

Решим полученное уравнение, чтобы найти количество мальчиков ($y$):
$1.3y - y = 12$
$0.3y = 12$
$y = \frac{12}{0.3}$
$y = 40$
Таким образом, в седьмых классах 40 мальчиков.

Теперь, зная количество мальчиков, найдем количество девочек ($x$), подставив значение $y$ во второе уравнение:
$x = y + 12 = 40 + 12 = 52$
Следовательно, в седьмых классах 52 девочки.

Чтобы найти общее количество учеников в седьмых классах, нужно сложить количество девочек и мальчиков:
Общее количество учеников = $x + y = 52 + 40 = 92$

Ответ: 92 ученика.

Решите задачу, используя для составления математической модели две переменные:

14.13

Два числа в сумме дают 77. Найдите эти числа, если $\frac{2}{3}$ одного числа составляют $\frac{4}{5}$ другого.

Для решения задачи введем две переменные. Пусть первое число будет $x$, а второе число — $y$.

Исходя из условия, что сумма этих двух чисел равна 77, составим первое уравнение:
$x + y = 77$

Также, по условию, $\frac{2}{3}$ первого числа равны $\frac{4}{5}$ второго числа. Это дает нам второе уравнение:
$\frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y$

Таким образом, мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными:
$ \begin{cases} x + y = 77 \\ \frac{2}{3}x = \frac{4}{5}y \end{cases} $

Решим эту систему. Сначала выразим переменную $x$ из первого уравнения:
$x = 77 - y$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:
$\frac{2}{3}(77 - y) = \frac{4}{5}y$

Чтобы упростить уравнение, избавимся от дробей, умножив обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5, то есть на 15:
$15 \cdot \frac{2}{3}(77 - y) = 15 \cdot \frac{4}{5}y$
$5 \cdot 2(77 - y) = 3 \cdot 4y$
$10(77 - y) = 12y$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $y$:
$770 - 10y = 12y$
$770 = 12y + 10y$
$770 = 22y$
$y = \frac{770}{22}$
$y = 35$

Теперь, зная значение $y$, найдем $x$, подставив его в выражение $x = 77 - y$:
$x = 77 - 35$
$x = 42$

Итак, искомые числа — это 42 и 35. Выполним проверку:
1. Сумма чисел: $42 + 35 = 77$. (Верно)
2. Равенство частей: $\frac{2}{3} \cdot 42 = 2 \cdot 14 = 28$ и $\frac{4}{5} \cdot 35 = 4 \cdot 7 = 28$. Равенство $28=28$ выполняется. (Верно)

Ответ: 42 и 35.

Решите систему уравнений:

14.14 a)

$\begin{cases} 4x - 3y = 12 \\ 3x + 4y = 34 \end{cases}$

б) $\begin{cases} -5x + 2y = 20 \\ 2x - 5y = -8 \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2x - 3y = 12 \\ 3x + 2y = 5 \end{cases}$

г) $\begin{cases} 5x - 4y = 5 \\ 2x - 3y = 9 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 4x - 3y = 12, \\ 3x + 4y = 34. \end{cases}$

Решим систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим первое уравнение на 4, а второе на 3, чтобы коэффициенты при переменной y стали противоположными числами.

$\begin{cases} 4(4x - 3y) = 4 \cdot 12, \\ 3(3x + 4y) = 3 \cdot 34; \end{cases}$

$\begin{cases} 16x - 12y = 48, \\ 9x + 12y = 102. \end{cases}$

Теперь сложим левые и правые части уравнений:

$(16x - 12y) + (9x + 12y) = 48 + 102$

$25x = 150$

$x = \frac{150}{25}$

$x = 6$

Подставим найденное значение $x=6$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти y:

$4 \cdot 6 - 3y = 12$

$24 - 3y = 12$

$-3y = 12 - 24$

$-3y = -12$

$y = \frac{-12}{-3}$

$y = 4$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $3(6) + 4(4) = 18 + 16 = 34$. Равенство верное.

Ответ: $(6; 4)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} -5x + 2y = 20, \\ 2x - 5y = -8. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными числами.

$\begin{cases} 5(-5x + 2y) = 5 \cdot 20, \\ 2(2x - 5y) = 2 \cdot (-8); \end{cases}$

$\begin{cases} -25x + 10y = 100, \\ 4x - 10y = -16. \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(-25x + 10y) + (4x - 10y) = 100 + (-16)$

$-21x = 84$

$x = \frac{84}{-21}$

$x = -4$

Подставим найденное значение $x=-4$ в первое уравнение исходной системы:

$-5(-4) + 2y = 20$

$20 + 2y = 20$

$2y = 0$

$y = 0$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $2(-4) - 5(0) = -8 - 0 = -8$. Равенство верное.

Ответ: $(-4; 0)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 2x - 3y = 12, \\ 3x + 2y = 5. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на 3.

$\begin{cases} 2(2x - 3y) = 2 \cdot 12, \\ 3(3x + 2y) = 3 \cdot 5; \end{cases}$

$\begin{cases} 4x - 6y = 24, \\ 9x + 6y = 15. \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(4x - 6y) + (9x + 6y) = 24 + 15$

$13x = 39$

$x = \frac{39}{13}$

$x = 3$

Подставим $x=3$ в первое уравнение исходной системы:

$2(3) - 3y = 12$

$6 - 3y = 12$

$-3y = 6$

$y = \frac{6}{-3}$

$y = -2$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $3(3) + 2(-2) = 9 - 4 = 5$. Равенство верное.

Ответ: $(3; -2)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} 5x - 4y = 5, \\ 2x - 3y = 9. \end{cases}$

Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -5, чтобы избавиться от переменной x.

$\begin{cases} 2(5x - 4y) = 2 \cdot 5, \\ -5(2x - 3y) = -5 \cdot 9; \end{cases}$

$\begin{cases} 10x - 8y = 10, \\ -10x + 15y = -45. \end{cases}$

Сложим уравнения системы:

$(10x - 8y) + (-10x + 15y) = 10 + (-45)$

$7y = -35$

$y = \frac{-35}{7}$

$y = -5$

Подставим $y=-5$ в первое уравнение исходной системы:

$5x - 4(-5) = 5$

$5x + 20 = 5$

$5x = 5 - 20$

$5x = -15$

$x = \frac{-15}{5}$

$x = -3$

Проверка: подставим найденные значения во второе уравнение $2(-3) - 3(-5) = -6 + 15 = 9$. Равенство верное.

Ответ: $(-3; -5)$.

Решите систему уравнений:

14.15 a) $ \begin{cases} 4x - 5y = 1, \\ 2x - 3y = 2; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 3x + 4y = 0, \\ 2x + 3y = 1; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} 4x - 3y = 7, \\ 5x + 2y = 26; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} 3x - 5y = 0, \\ 8y - 5x = -1. \end{cases} $

а) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 5y = 1 \\ 2x - 3y = 2 \end{cases} $
Для решения этой системы удобно использовать метод алгебраического сложения. Умножим второе уравнение на $-2$, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$ -2 \cdot (2x - 3y) = -2 \cdot 2 $
$ -4x + 6y = -4 $
Теперь сложим почленно первое уравнение исходной системы и полученное уравнение:
$ (4x - 5y) + (-4x + 6y) = 1 + (-4) $
$ 4x - 5y - 4x + 6y = -3 $
$ y = -3 $
Подставим найденное значение $y$ в любое из уравнений системы, например, во второе:
$ 2x - 3(-3) = 2 $
$ 2x + 9 = 2 $
$ 2x = 2 - 9 $
$ 2x = -7 $
$ x = -7 / 2 = -3.5 $
Таким образом, решение системы: $x = -3.5, y = -3$.
Ответ: $(-3.5; -3)$.

б) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x + 4y = 0 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases} $
Воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -3, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными:
$ 2 \cdot (3x + 4y) = 2 \cdot 0 \implies 6x + 8y = 0 $
$ -3 \cdot (2x + 3y) = -3 \cdot 1 \implies -6x - 9y = -3 $
Сложим полученные уравнения:
$ (6x + 8y) + (-6x - 9y) = 0 + (-3) $
$ 6x + 8y - 6x - 9y = -3 $
$ -y = -3 $
$ y = 3 $
Подставим $y = 3$ в первое уравнение исходной системы:
$ 3x + 4(3) = 0 $
$ 3x + 12 = 0 $
$ 3x = -12 $
$ x = -4 $
Решение системы: $x = -4, y = 3$.
Ответ: $(-4; 3)$.

в) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 4x - 3y = 7 \\ 5x + 2y = 26 \end{cases} $
Применим метод сложения. Чтобы исключить переменную $y$, умножим первое уравнение на 2, а второе на 3:
$ 2 \cdot (4x - 3y) = 2 \cdot 7 \implies 8x - 6y = 14 $
$ 3 \cdot (5x + 2y) = 3 \cdot 26 \implies 15x + 6y = 78 $
Сложим два новых уравнения:
$ (8x - 6y) + (15x + 6y) = 14 + 78 $
$ 23x = 92 $
$ x = 92 / 23 $
$ x = 4 $
Подставим найденное значение $x$ в первое уравнение системы:
$ 4(4) - 3y = 7 $
$ 16 - 3y = 7 $
$ -3y = 7 - 16 $
$ -3y = -9 $
$ y = 3 $
Решение системы: $x = 4, y = 3$.
Ответ: $(4; 3)$.

г) Дана система уравнений: $ \begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ 8y - 5x = -1 \end{cases} $
Для удобства приведем второе уравнение к стандартному виду, поменяв местами слагаемые: $ \begin{cases} 3x - 5y = 0 \\ -5x + 8y = -1 \end{cases} $
Решим систему методом сложения. Умножим первое уравнение на 5, а второе на 3:
$ 5 \cdot (3x - 5y) = 5 \cdot 0 \implies 15x - 25y = 0 $
$ 3 \cdot (-5x + 8y) = 3 \cdot (-1) \implies -15x + 24y = -3 $
Сложим полученные уравнения:
$ (15x - 25y) + (-15x + 24y) = 0 + (-3) $
$ -y = -3 $
$ y = 3 $
Подставим $y = 3$ в первое уравнение исходной системы:
$ 3x - 5(3) = 0 $
$ 3x - 15 = 0 $
$ 3x = 15 $
$ x = 5 $
Решение системы: $x = 5, y = 3$.
Ответ: $(5; 3)$.