Страница 14, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

Используя математические термины, прочитайте выражение:

2.18 а) $3(x + y)^2$;

б) $2(a + b)^3$;

в) $2(p - q)^2$;

г) $3(z - r)^3$.

а) Для того чтобы прочитать выражение $3(x + y)^2$ математическим языком, разложим его на составляющие. Выражение в скобках $x + y$ является суммой чисел икс и игрек. Возведение в степень 2 называется возведением в квадрат. Таким образом, $(x + y)^2$ — это квадрат суммы икс и игрек. Множитель 3 перед скобками означает утроение. Следовательно, всё выражение $3(x + y)^2$ читается как утроенный квадрат суммы икс и игрек. Также можно прочитать как "произведение числа 3 и квадрата суммы икс и игрек".
Ответ: Утроенный квадрат суммы икс и игрек.

б) Рассмотрим выражение $2(a + b)^3$. Выражение в скобках $a + b$ — это сумма чисел а и бэ. Возведение в степень 3 называется возведением в куб. Соответственно, $(a + b)^3$ — это куб суммы а и бэ. Множитель 2 означает удвоение. В итоге, полное выражение $2(a + b)^3$ читается как удвоенный куб суммы а и бэ. Альтернативный вариант прочтения: "произведение числа 2 и куба суммы а и бэ".
Ответ: Удвоенный куб суммы а и бэ.

в) Проанализируем выражение $2(p - q)^2$. В скобках находится $p - q$, что является разностью чисел пэ и ку. Возведение в степень 2 — это возведение в квадрат. Следовательно, $(p - q)^2$ — это квадрат разности пэ и ку. Коэффициент 2 перед скобками указывает на удвоение. В результате, всё выражение $2(p - q)^2$ читается как удвоенный квадрат разности пэ и ку. Также можно сказать: "произведение числа 2 и квадрата разности пэ и ку".
Ответ: Удвоенный квадрат разности пэ и ку.

г) Разберем выражение $3(z - r)^3$. Часть выражения в скобках $z - r$ представляет собой разность чисел зет и эр. Возведение в степень 3 — это возведение в куб. Таким образом, $(z - r)^3$ — это куб разности зет и эр. Коэффициент 3 означает утроение. Следовательно, полное выражение $3(z - r)^3$ читается как утроенный куб разности зет и эр. Другой способ прочтения: "произведение числа 3 и куба разности зет и эр".
Ответ: Утроенный куб разности зет и эр.

2.19 а) $\frac{(m-n)^2}{2}$;

б) $\frac{(t+w)^2}{2}$;

в) $\frac{(a+b)^3}{3}$;

г) $\frac{(p-q)^2}{4}$.

а) Чтобы преобразовать данное выражение, необходимо раскрыть скобки в числителе. Для этого воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Применим эту формулу для числителя $(m-n)^2$:
$(m-n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.
Теперь подставим полученный многочлен обратно в дробь:
$\frac{(m-n)^2}{2} = \frac{m^2 - 2mn + n^2}{2}$.
Это выражение можно также представить в виде суммы одночленов: $\frac{1}{2}m^2 - mn + \frac{1}{2}n^2$.
Ответ: $\frac{m^2 - 2mn + n^2}{2}$

б) В данном случае мы раскрываем скобки в числителе, используя формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Применим эту формулу для выражения $(t+w)^2$:
$(t+w)^2 = t^2 + 2tw + w^2$.
Подставим результат обратно в дробь:
$\frac{(t+w)^2}{2} = \frac{t^2 + 2tw + w^2}{2}$.
Это выражение также можно записать как $\frac{1}{2}t^2 + tw + \frac{1}{2}w^2$.
Ответ: $\frac{t^2 + 2tw + w^2}{2}$

в) Здесь необходимо раскрыть скобки, возведя сумму в куб. Используем формулу куба суммы: $(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$.
Применительно к нашему выражению $(a+b)^3$ получаем:
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
Теперь разделим полученный многочлен на 3:
$\frac{(a+b)^3}{3} = \frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{3}$.
Альтернативная форма записи после почленного деления: $\frac{1}{3}a^3 + a^2b + ab^2 + \frac{1}{3}b^3$.
Ответ: $\frac{a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3}{3}$

г) Для преобразования этого выражения мы снова используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ для числителя.
Раскроем скобки для $(p-q)^2$:
$(p-q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Подставим результат в исходное выражение и разделим на знаменатель:
$\frac{(p-q)^2}{4} = \frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}$.
Это выражение можно представить и так: $\frac{1}{4}p^2 - \frac{1}{2}pq + \frac{1}{4}q^2$.
Ответ: $\frac{p^2 - 2pq + q^2}{4}$

Запишите утверждение на математическом языке.

2.20 а) Для того чтобы умножить сумму на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить;
$a(b+c) = ab + ac$

б) для того чтобы умножить число на разность двух чисел, можно это число умножить на уменьшаемое и на вычитаемое, а затем из первого произведения вычесть второе;
$a(b-c) = ab - ac$

в) для того чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, можно из этого числа вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть второе слагаемое;
$a - (b+c) = a - b - c$

г) для того чтобы из числа вычесть разность двух чисел, можно из этого числа вычесть уменьшаемое, а затем к полученной разности прибавить вычитаемое.
$a - (b-c) = a - b + c$

а) Для того чтобы записать это утверждение на математическом языке, введем переменные. Пусть $a$ и $b$ — это слагаемые, а $c$ — число, на которое умножается сумма. Сумма чисел $a$ и $b$ записывается как $a + b$. Умножение этой суммы на число $c$ выглядит как $(a + b) \cdot c$. Утверждение гласит, что это то же самое, что умножить каждое слагаемое на число $c$ и сложить результаты. Умножение каждого слагаемого на $c$ дает $a \cdot c$ и $b \cdot c$. Сложение этих результатов дает $a \cdot c + b \cdot c$. Таким образом, утверждение можно записать в виде равенства. Это свойство называется распределительным законом умножения относительно сложения.
Ответ: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$

б) Введем переменные. Пусть $c$ — это число, а разность двух чисел — это $a - b$, где $a$ — уменьшаемое, а $b$ — вычитаемое. Умножение числа на разность записывается как $c \cdot (a - b)$. Согласно утверждению, можно умножить число $c$ на уменьшаемое $a$ (получим $c \cdot a$) и на вычитаемое $b$ (получим $c \cdot b$), а затем из первого произведения вычесть второе: $c \cdot a - c \cdot b$. В виде равенства это утверждение выглядит следующим образом. Это свойство называется распределительным законом умножения относительно вычитания.
Ответ: $c \cdot (a - b) = c \cdot a - c \cdot b$

в) Обозначим переменными: $a$ — число, из которого вычитают; $b$ и $c$ — два числа, составляющие сумму. Вычитание суммы $(b + c)$ из числа $a$ записывается как $a - (b + c)$. Утверждение говорит, что можно из числа $a$ вычесть первое слагаемое $b$, что дает $a - b$, а затем из полученной разности вычесть второе слагаемое $c$, что дает $(a - b) - c$. Это правило вычитания суммы из числа.
Ответ: $a - (b + c) = a - b - c$

г) Пусть $a$ — число, из которого вычитают; $b$ — уменьшаемое, а $c$ — вычитаемое в разности. Вычитание разности $(b - c)$ из числа $a$ записывается как $a - (b - c)$. Согласно утверждению, можно из числа $a$ вычесть уменьшаемое $b$ (получим $a - b$), а затем к полученной разности прибавить вычитаемое $c$. Это записывается как $(a - b) + c$. Это правило вычитания разности из числа.
Ответ: $a - (b - c) = a - b + c$

2.21 a) Величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, не равное нулю;

б) величина дроби не изменится, если её числитель и знаменатель разделить на одно и то же число, не равное нулю;

в) чтобы умножить дробь на дробь, нужно перемножить отдельно числители и знаменатели, первое произведение взять в качестве числителя результата, а второе — в качестве его знаменателя;

г) чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю.

а) Это утверждение является основным свойством дроби. Пусть дана дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \ne 0$). Если умножить числитель и знаменатель на одно и то же число $c$ ($c \ne 0$), мы получим новую дробь $ \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $. Так как $ \frac{c}{c} = 1 $, то $ \frac{a \cdot c}{b \cdot c} = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{c} = \frac{a}{b} \cdot 1 = \frac{a}{b} $. Величина дроби не изменилась. Например, если взять дробь $ \frac{1}{2} $ и умножить ее числитель и знаменатель на 3, получим $ \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6} $. Дроби $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{3}{6} $ равны. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

б) Это утверждение также является следствием основного свойства дроби и описывает процесс сокращения дробей. Пусть дана дробь $ \frac{a}{b} $, где $a$ — числитель, а $b$ — знаменатель ($b \ne 0$). Если разделить числитель и знаменатель на одно и то же число $c$ ($c \ne 0$), мы получим новую дробь $ \frac{a/c}{b/c} $. Эту сложную дробь можно записать как $ \frac{a}{c} \div \frac{b}{c} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй: $ \frac{a}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{a \cdot c}{c \cdot b} = \frac{a}{b} $. Величина дроби не изменилась. Например, если взять дробь $ \frac{4}{8} $ и разделить ее числитель и знаменатель на 4, получим $ \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $. Дроби $ \frac{4}{8} $ и $ \frac{1}{2} $ равны. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

в) Это утверждение описывает правило умножения обыкновенных дробей. Пусть даны две дроби $ \frac{a}{b} $ и $ \frac{c}{d} $ ($b \ne 0, d \ne 0$). Их произведение вычисляется по формуле: $ \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d} $. То есть, числитель результирующей дроби равен произведению числителей исходных дробей, а знаменатель — произведению их знаменателей. Например, $ \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{5} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 5} = \frac{8}{15} $. Утверждение точно формулирует это правило. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

г) Это утверждение описывает правило деления обыкновенных дробей. Чтобы разделить одну дробь (делимое) на другую (делитель), нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю. Пусть нам нужно разделить дробь $ \frac{a}{b} $ (делимое) на дробь $ \frac{c}{d} $ (делитель), где $b \ne 0, c \ne 0, d \ne 0$. Дробь, обратная делителю $ \frac{c}{d} $, — это $ \frac{d}{c} $. Согласно правилу, операция деления заменяется умножением на обратную дробь: $ \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} $. Например, $ \frac{1}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} $. Утверждение верно.
Ответ: утверждение верно.

2.22 а) Отношение чисел $a$ и $b$ равно отношению чисел $x$ и $y$;

б) сумма чисел $x$ и $4$ так относится к числу $y$, как $3$ относится к $5$;

в) отношение разности чисел $c$ и $d$ к их сумме равно отношению числа $d$ к квадрату числа $c$;

г) разность чисел $x$ и $y$ так относится к числу $y$, как число $x$ относится к сумме чисел $x$ и $y$.

а) Условие "отношение чисел a и b" означает деление числа a на число b, что записывается в виде дроби $\frac{a}{b}$. Аналогично, "отношение чисел x и y" записывается как $\frac{x}{y}$. Условие "равно" означает, что эти два отношения равны между собой. Таким образом, мы получаем равенство двух отношений, то есть пропорцию.
Ответ: $\frac{a}{b} = \frac{x}{y}$

б) Выражение "сумма чисел x и 4" математически записывается как $x+4$. Фраза "сумма ... так относится к числу y" означает, что мы составляем отношение (дробь), где в числителе стоит сумма $x+4$, а в знаменателе — y. Получаем $\frac{x+4}{y}$. Конструкция "..., как 3 относится к 5" задает второе отношение, равное $\frac{3}{5}$. Приравнивая эти два отношения, получаем пропорцию.
Ответ: $\frac{x+4}{y} = \frac{3}{5}$

в) "Разность чисел c и d" — это $c-d$. "Их сумма" — это $c+d$. "Отношение разности ... к их сумме" представляет собой дробь $\frac{c-d}{c+d}$. "Квадрат числа c" — это $c^2$. "Отношение числа d к квадрату числа c" — это дробь $\frac{d}{c^2}$. Условие "равно" означает, что мы приравниваем два полученных отношения.
Ответ: $\frac{c-d}{c+d} = \frac{d}{c^2}$

г) "Разность чисел x и y" — это $x-y$. Отношение этой разности к числу y записывается как $\frac{x-y}{y}$. "Сумма чисел x и y" — это $x+y$. Отношение числа x к этой сумме записывается как $\frac{x}{x+y}$. Конструкция "так относится ..., как ..." означает, что эти два отношения равны между собой.
Ответ: $\frac{x-y}{y} = \frac{x}{x+y}$

2.23 а) Чтобы найти число $b$, составляющее $p$ % от числа $a$, надо умножить число $a$ на $p$ и разделить полученное произведение на 100;

б) чтобы найти число $a$, зная, что $p$ % от него равны числу $b$, надо число $b$ умножить на 100 и полученное произведение разделить на $p$;

в) в верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних;

г) если в верной пропорции поменять местами средние или крайние члены, то полученные пропорции также верны.

а)

Процент (обозначается знаком %) — это одна сотая часть от какого-либо числа. Таким образом, $p\%$ можно представить в виде дроби $\frac{p}{100}$.

Чтобы найти часть от числа, необходимо это число умножить на дробь, которая выражает данную часть. Следовательно, для нахождения числа $b$, составляющего $p\%$ от числа $a$, нужно $a$ умножить на $\frac{p}{100}$.

Запишем это в виде математического выражения:
$b = a \cdot \frac{p}{100}$

Данное выражение эквивалентно следующему:
$b = \frac{a \cdot p}{100}$

Эта формула полностью соответствует словесному правилу: "умножить число $a$ на $p$ и разделить полученное произведение на 100". Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: Утверждение верно, формула для расчета: $b = \frac{a \cdot p}{100}$.

б)

Данная задача является обратной по отношению к предыдущей. Мы исходим из того же соотношения между числами $a$, $b$ и процентом $p$:
$b = \frac{a \cdot p}{100}$

Наша цель — выразить из этого уравнения число $a$. Для этого выполним следующие алгебраические преобразования.

1. Чтобы избавиться от знаменателя в правой части, умножим обе части уравнения на 100:
$b \cdot 100 = \frac{a \cdot p}{100} \cdot 100$
$b \cdot 100 = a \cdot p$

2. Чтобы найти $a$, разделим обе части полученного уравнения на $p$ (при условии, что $p \neq 0$):
$\frac{b \cdot 100}{p} = \frac{a \cdot p}{p}$
$a = \frac{b \cdot 100}{p}$

Полученная формула соответствует словесному правилу: "надо число $b$ умножить на 100 и полученное произведение разделить на $p$". Следовательно, утверждение является верным.

Ответ: Утверждение верно, формула для расчета: $a = \frac{b \cdot 100}{p}$.

в)

Пропорцией называется равенство двух отношений. В общем виде пропорция записывается как $a : b = c : d$ или в виде равенства дробей:
$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$

В этой записи числа $a$ и $d$ называются крайними членами пропорции, а числа $b$ и $c$ — средними членами.

Утверждение, что произведение крайних членов равно произведению средних, является основным свойством пропорции. Докажем его.

Возьмем верную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Умножим обе части этого равенства на произведение знаменателей $b \cdot d$ (подразумевая, что $b \neq 0$ и $d \neq 0$):
$\frac{a}{b} \cdot (b \cdot d) = \frac{c}{d} \cdot (b \cdot d)$

После сокращения дробей в левой части сократится $b$, а в правой — $d$:
$a \cdot d = c \cdot b$

Мы доказали, что произведение крайних членов ($a \cdot d$) равно произведению средних ($b \cdot c$).

Ответ: Утверждение верно. Для верной пропорции $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ справедливо равенство $a \cdot d = b \cdot c$.

г)

Рассмотрим верную пропорцию $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$. Как мы доказали в предыдущем пункте, для нее выполняется основное свойство: $a \cdot d = b \cdot c$. Проверим, сохраняется ли верность пропорции при перестановке ее членов.

1. Перестановка средних членов. Поменяем местами средние члены $b$ и $c$. Новая пропорция будет выглядеть так: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$. Чтобы проверить ее верность, нужно убедиться, что произведение ее крайних членов ($a \cdot d$) равно произведению средних ($c \cdot b$). Равенство $a \cdot d = c \cdot b$ является истинным, так как это основное свойство исходной пропорции. Значит, полученная пропорция верна.

2. Перестановка крайних членов. Теперь поменяем местами крайние члены $a$ и $d$. Получим пропорцию: $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$. Проверим ее верность: произведение ее крайних членов ($d \cdot a$) должно быть равно произведению средних ($b \cdot c$). Равенство $d \cdot a = b \cdot c$ также является истинным, так как оно эквивалентно основному свойству исходной пропорции. Значит, эта пропорция тоже верна.

Таким образом, утверждение полностью доказано.

Ответ: Утверждение верно. Если $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ — верная пропорция, то пропорции $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$ (перестановка средних членов) и $\frac{d}{b} = \frac{c}{a}$ (перестановка крайних членов) также верны.