Страница 13, часть 1 - гдз по алгебре 7 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Сформулируйте определение числового выражения.

1. Числовое выражение — это запись, которая составлена из чисел, знаков арифметических действий и, в некоторых случаях, скобок. Такая запись определяет последовательность математических операций, которые необходимо выполнить над числами для нахождения результата.

Основными компонентами числового выражения являются:

• Числа: константы, которые участвуют в вычислениях (например, $5$, $-2.7$, $\frac{3}{4}$).
• Знаки арифметических действий: символы, указывающие на операции (сложение $+$, вычитание $-$, умножение $\cdot$ или $*$, деление $:$ или $/$, возведение в степень, извлечение корня и др.).
• Скобки: используются для изменения стандартного порядка выполнения действий.

Например, выражения $15 - 5 \cdot 2$, $(8 + 22) : 6$, $4^2 + \frac{9-1}{2}$ являются числовыми. Даже отдельно стоящее число, например $42$, считается простейшим числовым выражением.

Если выполнить все действия, указанные в выражении, в установленном порядке (сначала действия в скобках, затем возведение в степень и извлечение корня, после — умножение и деление, и в последнюю очередь — сложение и вычитание), то результатом будет одно конкретное число. Это число называют значением выражения. Например, значением выражения $(8 + 22) : 6$ является $30 : 6 = 5$.

Важно отметить, что не любое сочетание чисел и знаков образует осмысленное числовое выражение. Если в выражении встречается действие, которое невозможно выполнить (самый частый пример — деление на ноль), то такое выражение называют не имеющим смысла. Например, выражение $10 : (7 - 7)$ не имеет числового значения.

Ответ: Числовое выражение — это запись, состоящая из чисел, знаков арифметических действий и скобок, которая, если имеет смысл, определяет последовательность вычислений, приводящую к единственному числовому результату, называемому значением выражения.

2. Приведите три примера числового выражения.

Числовое выражение — это любая запись, составленная из чисел, знаков арифметических действий (+, −, ×, :) и скобок. Важной особенностью числового выражения является то, что его можно вычислить, то есть найти его значение, которое всегда будет являться числом.

Ниже приведены три примера числовых выражений.

Пример 1
Простое выражение, которое представляет собой сумму двух чисел.
$17 + 5$
Данное выражение состоит из чисел 17 и 5, соединенных знаком арифметического действия "сложение". Его значение равно $22$.
Ответ: $17 + 5$.

Пример 2
Выражение, содержащее скобки и несколько различных арифметических действий.
$(20 - 5) \times 3$
Здесь используются числа 20, 5 и 3, а также знаки "вычитание" и "умножение". Скобки указывают на порядок действий: сначала выполняется вычитание в скобках ($20 - 5 = 15$), а затем умножение ($15 \times 3 = 45$).
Ответ: $(20 - 5) \times 3$.

Пример 3
Выражение, включающее деление (записанное в виде дроби) и десятичные числа.
$\frac{36}{4} + (2.5 \times 2)$
Это выражение объединяет целые и десятичные числа, а также действия деления, умножения и сложения. Вычисляем по порядку: $\frac{36}{4} = 9$ и $2.5 \times 2 = 5$. Затем складываем полученные значения: $9 + 5 = 14$.
Ответ: $\frac{36}{4} + (2.5 \times 2)$.

3. Что называют алгебраическим выражением?

Что называют алгебраическим выражением?

Алгебраическим выражением называют любую осмысленную комбинацию чисел, букв (переменных) и знаков арифметических действий. Важно отметить, что алгебраическое выражение само по себе не утверждает никакого равенства или неравенства.

Алгебраическое выражение состоит из следующих элементов:

1. Числа (константы) – это фиксированные числовые значения, например: $5, -10, 0.75, \pi$.

2. Буквы (переменные) – это символы (обычно буквы латинского алфавита), которые используются для обозначения неизвестных или произвольных чисел. Примеры: $x, a, y, t$.

3. Знаки арифметических операций – сложение ($+$), вычитание ($-$), умножение ($\cdot$ или знак опускается), деление ($:$ или дробная черта), возведение в степень ($a^n$), извлечение корня ($\sqrt{a}$).

4. Скобки – используются для изменения стандартного порядка выполнения действий. Например, в выражении $3 \cdot (a+b)$ сначала выполняется сложение, а затем умножение.

Примеры алгебраических выражений:

• $2x + 5$
• $a^2 - b^2$
• $7y$
• $\frac{c+d}{2}$
• $4(m-n)^2 + \sqrt{k}$

Алгебраические выражения лежат в основе уравнений и неравенств. Если соединить два алгебраических выражения знаком равенства ($=$), получится уравнение. Например, $2x+5$ — это выражение, а $2x+5=11$ — это уже уравнение.

В зависимости от операций, применяемых к переменным, выражения делят на рациональные (не содержат корня из переменной) и иррациональные (содержат корень из переменной). Рациональные, в свою очередь, бывают целыми (не содержат деления на переменную) и дробными (содержат деление на переменную).

Ответ: Алгебраическим выражением называют запись, которая состоит из чисел, букв (переменных), знаков арифметических действий и скобок. Эта запись имеет математический смысл и может быть использована для вычислений, если вместо переменных подставить конкретные числа. Примеры: $x-3y$, $8a^2b$, $\frac{z+1}{z-1}$.

4. Используя переменные $m$ и $n$, составьте два алгебраических выражения.

Алгебраическое выражение представляет собой комбинацию чисел, переменных (в данном случае $m$ и $n$) и математических операций (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и т.д.). Задача состоит в том, чтобы составить два различных примера таких выражений.

Первое выражение
В качестве первого примера можно взять сумму удвоенного произведения переменных $m$ и $n$ и квадрата переменной $m$. Удвоенное произведение $m$ и $n$ записывается как $2mn$, а квадрат $m$ — как $m^2$. Сложив эти два члена, получаем алгебраическое выражение.
Математическая запись: $2mn + m^2$.
Ответ: $2mn + m^2$.

Второе выражение
В качестве второго примера составим выражение, которое представляет собой частное от деления разности переменных $m$ и $n$ на их сумму. Разность переменных — это $m - n$, а их сумма — это $m + n$. Частное от деления одного на другое записывается в виде дроби.
Математическая запись: $\frac{m - n}{m + n}$.
Следует отметить, что это выражение определено только в том случае, если его знаменатель не равен нулю, то есть $m + n \neq 0$.
Ответ: $\frac{m - n}{m + n}$.

5. Что такое значение числового выражения?

Что такое значение числового выражения?

Значение числового выражения — это число, которое получается в результате выполнения всех указанных в этом выражении математических действий. Чтобы найти это значение, необходимо выполнить все операции в строго определённом порядке.

Само числовое выражение — это запись, состоящая из чисел, знаков арифметических действий (таких как сложение `+`, вычитание `-`, умножение `*`, деление `/`) и, возможно, скобок. Примером числового выражения может служить `$15 + (10 - 4) * 3$`.

Процесс нахождения значения выражения называется вычислением. Вычисления производятся в следующем порядке:
1. Сначала выполняются действия в скобках.
2. Затем выполняется умножение и деление в том порядке, в котором они записаны (слева направо).
3. В последнюю очередь выполняется сложение и вычитание, также в порядке их записи (слева направо).

Пример 1: Найдём значение выражения `$50 - (4 + 3) * 2$`.
1. Выполняем действие в скобках: `$4 + 3 = 7$`.
2. Теперь выражение выглядит так: `$50 - 7 * 2$`.
3. Следующим действием выполняем умножение: `$7 * 2 = 14$`.
4. Остаётся выполнить вычитание: `$50 - 14 = 36$`.
Таким образом, число `36` является значением исходного выражения.

Пример 2: Найдём значение выражения `$18 / 3 + 2 * 9 - 1$`.
1. Скобок нет. Выполняем деление и умножение слева направо. Первое действие — деление: `$18 / 3 = 6$`.
2. Второе действие — умножение: `$2 * 9 = 18$`.
3. Теперь выражение выглядит так: `$6 + 18 - 1$`.
4. Выполняем сложение и вычитание слева направо. Сложение: `$6 + 18 = 24$`.
5. Вычитание: `$24 - 1 = 23$`.
Значением данного выражения является число `23`.

Ответ: Значение числового выражения — это итоговое число, которое получается после последовательного выполнения всех математических операций, входящих в выражение, с соблюдением правил порядка действий (сначала действия в скобках, затем умножение/деление, затем сложение/вычитание).

6. Что такое значение алгебраического выражения?

Значение алгебраического выражения — это число, которое получается, если в алгебраическом выражении заменить все буквы (переменные) на их конкретные числовые значения и выполнить все указанные арифметические действия.

Алгебраическое выражение, такое как `$2a + 5$`, само по себе является лишь "инструкцией" для вычислений, содержащей переменные (в данном случае, `$a$`). Чтобы найти его значение, нужно знать, чему равна переменная.

Рассмотрим на примере. Найдем значение выражения `$2a + 5$` при `$a = 3$`.

Для этого мы подставляем число 3 вместо переменной `$a$` в выражение: `$2 \cdot 3 + 5$`.

Далее, следуя порядку действий, сначала выполняем умножение, а затем сложение: `$6 + 5 = 11$`.

Таким образом, число 11 является значением алгебраического выражения `$2a + 5$` при `$a = 3$`. Если бы мы взяли другое значение, например `$a = -1$`, то и значение выражения было бы другим: `$2 \cdot (-1) + 5 = -2 + 5 = 3$`.

Важно помнить, что не всегда вместо переменной можно подставить любое число. Например, в выражении `$\frac{1}{x-7}$` нельзя подставлять `$x=7$`, так как это приведет к делению на ноль, что является недопустимой операцией. Множество всех допустимых значений переменных называется областью определения выражения.

Ответ: Значение алгебраического выражения — это числовой результат, который получается после подстановки в выражение конкретных числовых значений вместо всех переменных и выполнения всех указанных математических операций.

7. Найдите значение выражения $\frac{3x-4}{5-2x}$ при $x=1$, $x=2,5$.

при x = 1
Чтобы найти значение выражения, подставим $x = 1$ в дробь $\frac{3x - 4}{5 - 2x}$:
$\frac{3 \cdot 1 - 4}{5 - 2 \cdot 1} = \frac{3 - 4}{5 - 2} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

при x = 2,5
Теперь подставим значение $x = 2,5$ в то же выражение:
$\frac{3 \cdot 2,5 - 4}{5 - 2 \cdot 2,5} = \frac{7,5 - 4}{5 - 5} = \frac{3,5}{0}$
В знаменателе дроби получился ноль. Поскольку деление на ноль в математике не определено, данное выражение не имеет смысла (не определено) при $x = 2,5$.
Ответ: при $x = 2,5$ выражение не имеет смысла.

8. Сформулируйте переместительный закон сложения.

Переместительный закон сложения (также известный как коммутативный закон) — это фундаментальное свойство операции сложения. Он утверждает, что результат сложения двух чисел не зависит от того, в каком порядке они складываются.

Формулировка этого закона словами: от перемены мест слагаемых сумма не меняется.

В виде математической формулы это свойство записывается для любых двух чисел $a$ и $b$ следующим образом:
$a + b = b + a$

В этом выражении $a$ и $b$ называются слагаемыми, а результат операции — суммой.

Рассмотрим на примерах:
- Для чисел 7 и 4: $7 + 4 = 11$, и $4 + 7 = 11$. Следовательно, $7 + 4 = 4 + 7$.
- Для чисел -5 и 9: $(-5) + 9 = 4$, и $9 + (-5) = 4$. Следовательно, $(-5) + 9 = 9 + (-5)$.

Этот закон справедлив для всех основных числовых множеств (натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные числа), а также для сложения векторов, матриц и других математических объектов. Использование этого закона позволяет менять слагаемые местами для упрощения вычислений.

Ответ: Переместительный закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. В виде формулы: $a + b = b + a$, где $a$ и $b$ — любые слагаемые.

9. Сформулируйте переместительный закон умножения.

Переместительный (или коммутативный) закон умножения — это фундаментальное свойство операции умножения, которое утверждает, что порядок множителей не влияет на итоговый результат.

Словесная формулировка
От перемены мест множителей произведение не меняется.

Математическая формулировка
Для любых чисел $a$ и $b$ справедливо следующее равенство:
$a \cdot b = b \cdot a$

Объяснение и пример
Этот закон означает, что если мы хотим умножить два числа, мы можем делать это в любом порядке. Например, вычислим произведение чисел 5 и 12:
$5 \cdot 12 = 60$
Теперь поменяем множители местами и выполним вычисление снова:
$12 \cdot 5 = 60$
Результат в обоих случаях одинаков.

Этот закон очень полезен для упрощения вычислений. Например, умножить $25 \cdot 17 \cdot 4$ удобнее, если сначала умножить $25$ на $4$, а затем результат на $17$:
$(25 \cdot 4) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1700$
Переместительный закон справедлив для всех действительных и комплексных чисел, но существуют математические объекты (например, матрицы), умножение которых не подчиняется этому закону.

Ответ: Переместительный закон умножения гласит, что от перемены мест множителей их произведение не изменяется. В виде формулы этот закон записывается как $a \cdot b = b \cdot a$ для любых чисел $a$ и $b$.

10. Сформулируйте сочетательный закон сложения.

Сочетательный закон сложения (также известный как ассоциативность сложения) гласит, что результат сложения трёх и более слагаемых не зависит от способа группировки этих слагаемых. Иными словами, порядок выполнения сложения (расстановки скобок) не влияет на итоговую сумму.

Словесная формулировка: чтобы к сумме двух чисел прибавить третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего чисел.

В буквенном виде для любых чисел $a$, $b$ и $c$ сочетательный закон записывается так:

$$(a + b) + c = a + (b + c)$$

Данный закон очень полезен для упрощения вычислений, так как позволяет выбирать наиболее удобную последовательность сложения. Например, можно группировать числа, которые в сумме дают круглое число (например, 10, 20, 100).

Проиллюстрируем это на примере. Вычислим сумму $48 + 36 + 14$ двумя способами:

• Способ 1. Сложение по порядку:
  Сначала складываем первые два числа, а затем к результату прибавляем третье.
  $(48 + 36) + 14 = 84 + 14 = 98$
• Способ 2. С использованием сочетательного закона:
  Здесь удобнее сначала сложить второе и третье слагаемые. Сгруппируем их:
  $48 + (36 + 14) = 48 + 50 = 98$

Результат в обоих случаях одинаков, но второй способ может быть удобнее для устного счёта.

Ответ: Сочетательный закон сложения — это правило, согласно которому результат сложения не изменяется от перестановки скобок. Для любых чисел $a$, $b$ и $c$ выполняется равенство: $(a+b)+c = a+(b+c)$.

11. Сформулируйте сочетательный закон умножения.

Сочетательный (или ассоциативный) закон умножения гласит, что результат умножения трех и более сомножителей не зависит от способа их группировки, то есть от порядка расстановки скобок.

Словесная формулировка закона: чтобы произведение двух чисел умножить на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего чисел.

В виде формулы это свойство для любых чисел a, b и c записывается следующим образом:
$ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $

Пример:
Рассмотрим произведение чисел 8, 5 и 3. Мы можем вычислить его двумя способами, по-разному сгруппировав множители.

Способ 1: Сначала умножаем 8 на 5, а затем полученный результат на 3.
$ (8 \cdot 5) \cdot 3 = 40 \cdot 3 = 120 $

Способ 2: Сначала умножаем 5 на 3, а затем 8 умножаем на полученный результат.
$ 8 \cdot (5 \cdot 3) = 8 \cdot 15 = 120 $

Как видно из примера, результат в обоих случаях одинаков. Сочетательный закон позволяет выбирать наиболее удобный порядок действий для упрощения вычислений. Например, чтобы устно вычислить $ 2 \cdot 17 \cdot 5 $, удобнее сначала умножить $ 2 \cdot 5 = 10 $, а затем $ 10 \cdot 17 = 170 $, чем вычислять по порядку $ (2 \cdot 17) \cdot 5 = 34 \cdot 5 $.

Ответ: Сочетательный закон умножения утверждает, что для любых чисел a, b и c справедливо равенство $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $. Это означает, что при умножении нескольких чисел их можно группировать (расставлять скобки) в любом порядке, и итоговое произведение от этого не изменится.

12. Сформулируйте основное свойство дроби.

Основное свойство дроби гласит: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.

В виде формулы это можно записать так:

Для любой дроби $\frac{a}{b}$ и любого числа $c$ (где $b \neq 0$ и $c \neq 0$) справедливо равенство:

$\frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c}$

Также, если числитель $a$ и знаменатель $b$ имеют общий делитель $d$ (где $d \neq 0$), то:

$\frac{a}{b} = \frac{a : d}{b : d}$

Приведение дроби к новому знаменателю (умножение)

Это действие необходимо, например, для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями. Возьмем дробь $\frac{3}{5}$ и приведем ее к знаменателю 20. Для этого нужно умножить знаменатель 5 на 4. Чтобы дробь не изменилась, мы должны умножить и числитель на то же число:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}$

Дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{12}{20}$ равны, они просто записаны по-разному.

Сокращение дроби (деление)

Это действие используется для упрощения записи дроби. Возьмем дробь $\frac{18}{24}$. Мы видим, что и числитель (18), и знаменатель (24) делятся на 6. Разделим их на этот общий делитель:

$\frac{18}{24} = \frac{18 : 6}{24 : 6} = \frac{3}{4}$

Сократив дробь $\frac{18}{24}$, мы получили равную ей, но более простую для восприятия дробь $\frac{3}{4}$.

Ответ: Основное свойство дроби заключается в том, что величина дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель одновременно умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.

13. В чём состоит правило сложения отрицательных чисел?

Правило сложения отрицательных чисел заключается в том, чтобы сложить их абсолютные значения (модули), а затем перед полученным результатом поставить знак «-».

Это правило можно сформулировать в виде последовательности действий:

1. Найти модуль каждого из отрицательных слагаемых (то есть, отбросить у них знаки минус).

2. Сложить полученные модули.

3. Перед результатом сложения модулей поставить знак минус.

В общем виде для двух отрицательных чисел $-a$ и $-b$ (где $a > 0$ и $b > 0$) правило записывается формулой:

$(-a) + (-b) = -(a + b)$

Пример:

Требуется сложить числа $-14$ и $-25$.

1. Находим модули слагаемых: $|-14| = 14$ и $|-25| = 25$.

2. Складываем их модули: $14 + 25 = 39$.

3. Ставим перед результатом знак минус: $-39$.

Таким образом, $(-14) + (-25) = -39$.

Ответ: Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед полученным числом поставить знак «-».

14. В чём состоит правило сложения чисел с разными знаками?

Чтобы сложить два числа с разными знаками, необходимо выполнить следующую последовательность действий:

1. Найти модули (абсолютные величины) слагаемых. Модуль числа — это само число без учёта его знака. Модуль числа $a$ обозначается как $|a|$.
2. Из большего модуля вычесть меньший.
3. Перед полученным результатом поставить знак того слагаемого, модуль которого был больше.

Рассмотрим применение этого правила на конкретных примерах.

Пример 1: Сложить числа $-15$ и $7$.

1. Находим модули слагаемых: $|-15| = 15$ и $|7| = 7$.
2. Сравниваем модули: $15 > 7$. Вычитаем из большего модуля меньший: $15 - 7 = 8$.
3. Больший модуль ($15$) был у отрицательного числа ($-15$), следовательно, результат будет отрицательным.
Таким образом, $-15 + 7 = -8$.

Пример 2: Сложить числа $20$ и $-12$.

1. Находим модули слагаемых: $|20| = 20$ и $|-12| = 12$.
2. Сравниваем модули: $20 > 12$. Вычитаем из большего модуля меньший: $20 - 12 = 8$.
3. Больший модуль ($20$) был у положительного числа ($20$), следовательно, результат будет положительным.
Таким образом, $20 + (-12) = 8$.

Особый случай: Если модули чисел с разными знаками равны, то их сумма равна нулю. Такие числа называются противоположными.

Например: $9 + (-9) = 0$, так как $|9| = |-9| = 9$ и разность модулей равна $9 - 9 = 0$.

Ответ: Правило сложения чисел с разными знаками заключается в следующем: нужно из большего модуля вычесть меньший и перед полученной разностью поставить знак того слагаемого, чей модуль больше. Если модули чисел равны, то их сумма равна нулю.

15. Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выражение не имеет смысла»? Приведите пример такого выражения.

Как вы понимаете фразу: «Заданное алгебраическое выражение не имеет смысла»?

Фраза «заданное алгебраическое выражение не имеет смысла» означает, что при подстановке некоторых конкретных числовых значений вместо переменных, входящих в это выражение, возникает математическая операция, которая не определена (является невыполнимой) в рамках множества действительных чисел. Для таких значений переменных невозможно вычислить результат выражения. Чаще всего это происходит в двух случаях: при делении на ноль или при извлечении корня четной степени (например, квадратного) из отрицательного числа.

Приведите пример такого выражения.

Рассмотрим алгебраическое выражение в виде дроби:

$\frac{a+5}{a-2}$

Данное выражение не будет иметь смысла, если его знаменатель будет равен нулю, так как операция деления на ноль в математике не определена. Найдем значение переменной $a$, при котором знаменатель обращается в ноль:

$a - 2 = 0$

$a = 2$

Таким образом, при значении переменной $a=2$ данное алгебраическое выражение не имеет смысла, потому что оно приводит к делению на ноль.

Ответ: Фраза «выражение не имеет смысла» означает, что при определенных значениях переменных в выражении возникает недопустимая математическая операция, такая как деление на ноль. Пример: выражение $\frac{a+5}{a-2}$ не имеет смысла при $a=2$.

16. Какие значения переменных называют допустимыми?

Допустимыми значениями переменных называют множество тех значений, которые можно подставлять в данное выражение (уравнение, неравенство), чтобы оно имело математический смысл. Это множество также известно как область допустимых значений (ОДЗ) или область определения выражения.

Необходимость находить ОДЗ возникает из-за того, что некоторые математические операции определены не для всех действительных чисел. Основные ограничения, которые следует учитывать:

• Деление на ноль. Знаменатель дроби не может равняться нулю. Для выражения вида $ \frac{A(x)}{B(x)} $ должно выполняться условие $ B(x) \neq 0 $.
• Извлечение корня чётной степени. Выражение, стоящее под знаком корня чётной степени ($ \sqrt{\dots}, \sqrt[4]{\dots} $ и т.д.), должно быть неотрицательным. Для выражения $ \sqrt[2n]{A(x)} $ необходимо условие $ A(x) \ge 0 $.
• Логарифмы. Аргумент логарифма должен быть строго положительным, а его основание — положительным и не равным единице. Для выражения $ \log_{b(x)}(A(x)) $ должны выполняться три условия: $ A(x) > 0 $, $ b(x) > 0 $ и $ b(x) \neq 1 $.
• Тригонометрические функции. Например, для функции тангенса $ \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} $, знаменатель $ \cos(x) $ не должен быть равен нулю, что исключает значения $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $, где $ k $ — любое целое число.

Примеры нахождения ОДЗ:

1. Для выражения $ \frac{2x+1}{x-7} $:

Здесь присутствует дробь, значит, знаменатель не должен быть равен нулю.

$ x - 7 \neq 0 \implies x \neq 7 $

ОДЗ: все действительные числа, кроме 7. В виде интервала: $ x \in (-\infty; 7) \cup (7; +\infty) $.

2. Для выражения $ \sqrt{10 - 2x} $:

Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным.

$ 10 - 2x \ge 0 $

$ 10 \ge 2x $

$ 5 \ge x $, или $ x \le 5 $

ОДЗ: $ x \in (-\infty; 5] $.

3. Для выражения $ \frac{\log_3(x+2)}{\sqrt{6-x}} $:

Здесь несколько ограничений, которые должны выполняться одновременно (в системе):

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $ x + 2 > 0 $.
2. Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным (поскольку оно в знаменателе, оно не может быть равно нулю, а под корнем не может быть отрицательным): $ 6 - x > 0 $.

Решаем систему неравенств:

$ \begin{cases} x + 2 > 0 \\ 6 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ 6 > x \end{cases} \implies \begin{cases} x > -2 \\ x < 6 \end{cases} $

Пересечением решений является интервал от -2 до 6.

ОДЗ: $ x \in (-2; 6) $.

Ответ: Допустимые значения переменных — это те значения, при которых данное математическое выражение имеет смысл. Их находят, исходя из ограничений на математические операции (например, невозможность деления на ноль или извлечения корня четной степени из отрицательного числа). Множество всех таких значений называют областью допустимых значений (ОДЗ).

17. Какие значения переменных называют недопустимыми?

Недопустимыми значениями переменных в математическом выражении называют такие значения, при подстановке которых в это выражение оно теряет математический смысл, то есть становится неопределенным. Поиск недопустимых значений тесно связан с нахождением Области допустимых значений (ОДЗ) выражения — множества всех значений переменных, при которых выражение имеет смысл. Соответственно, недопустимые значения — это все те значения, которые не входят в ОДЗ.

Существует несколько основных случаев, когда возникают недопустимые значения:

Деление на ноль

В алгебраических дробях знаменатель не может быть равен нулю. Если в выражении есть дробь вида $\frac{A}{B}$, где $B$ — выражение, содержащее переменную, то все значения переменной, обращающие $B$ в ноль, будут недопустимыми.

Пример: Рассмотрим выражение $\frac{12}{x-5}$. Знаменатель этого выражения равен $x-5$. Деление на ноль происходит, когда $x-5=0$. Решив это уравнение, получаем $x=5$. Таким образом, $x=5$ является недопустимым значением для данного выражения.

Извлечение арифметического корня четной степени из отрицательного числа

В области действительных чисел выражение под знаком корня четной степени (квадратного, четвертой степени и т.д.) должно быть неотрицательным. Если в выражении есть конструкция вида $\sqrt[2n]{A}$, где $n$ — натуральное число, а $A$ — выражение с переменной, то все значения переменной, при которых $A < 0$, будут недопустимыми.

Пример: Рассмотрим выражение $\sqrt{y+3}$. Подкоренное выражение равно $y+3$. Оно должно быть неотрицательным, то есть $y+3 \ge 0$. Отсюда следует, что $y \ge -3$. Значит, все значения $y$, которые меньше $-3$ (например, $-4$, $-10$), делают подкоренное выражение отрицательным и являются недопустимыми.

Таким образом, для нахождения недопустимых значений необходимо проанализировать выражение на наличие операций, имеющих ограничения.

Ответ: Недопустимые значения переменных — это такие значения, при которых математическое выражение не имеет смысла (например, происходит деление на ноль или извлечение корня четной степени из отрицательного числа).

Переведите с математического языка на обычный следующие утверждения:

2.12 a) $a + (b + c) = (a + b) + c;$

б) $a - (b + c) = a - b - c;$

в) $a + 0 = a;$

г) $a \cdot 1 = a.$

а) Математическое равенство $a + (b + c) = (a + b) + c$ является записью сочетательного свойства сложения. Оно означает, что при сложении трёх и более чисел их можно группировать (объединять в скобки) в любом порядке, результат от этого не изменится. Ответ: Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно к этому числу прибавить первое слагаемое, а затем к полученной сумме прибавить второе слагаемое.

б) Равенство $a - (b + c) = a - b - c$ выражает правило вычитания суммы из числа. Ответ: Чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, нужно из этого числа поочерёдно вычесть каждое слагаемое.

в) Равенство $a + 0 = a$ выражает свойство нуля при сложении, которое гласит, что ноль является нейтральным элементом для этой операции. Ответ: Если к любому числу прибавить ноль, то это число не изменится.

г) Равенство $a \cdot 1 = a$ выражает свойство единицы при умножении, которое гласит, что единица является нейтральным элементом для этой операции. Ответ: Если любое число умножить на единицу, то это число не изменится.

2.13 a) $a \cdot 0 = 0;$

б) $\frac{0}{a} = 0$, где $a \neq 0;$

в) $\frac{a}{1} = a;$

г) $a \cdot \frac{1}{a} = 1$, где $a \neq 0.$

а)

Это равенство является фундаментальным свойством умножения, которое называется свойством умножения на ноль. Оно утверждает, что произведение любого числа $a$ на ноль всегда равно нулю.

Можно рассуждать так: умножение $a \cdot n$ — это сумма $n$ слагаемых, каждое из которых равно $a$. Например, $a \cdot 3 = a + a + a$. Если мы умножаем $a$ на 0, это означает, что мы должны взять $a$ ноль раз. Сумма, в которой нет слагаемых, по определению равна нулю. Таким образом, $a \cdot 0 = 0$.

Ответ: Равенство $a \cdot 0 = 0$ является одним из основных свойств умножения и верно для любого числа $a$.

б)

Чтобы доказать равенство $\frac{0}{a} = 0$ (при условии, что $a \neq 0$), воспользуемся определением деления. Деление является операцией, обратной умножению.

Если мы обозначим результат деления $\frac{0}{a}$ через $x$, то получим равенство $\frac{0}{a} = x$. Согласно определению деления, это равносильно тому, что $x \cdot a = 0$.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. По условию задачи, нам дано, что $a \neq 0$. Следовательно, для того чтобы равенство $x \cdot a = 0$ выполнялось, необходимо, чтобы другой множитель, $x$, был равен нулю.

Таким образом, $x = 0$, а значит и $\frac{0}{a} = 0$. Условие $a \neq 0$ является обязательным, так как деление на ноль не определено.

Ответ: Деление нуля на любое число, не равное нулю, в результате дает ноль.

в)

Данное равенство $\frac{a}{1} = a$ демонстрирует свойство деления на единицу. Как и в предыдущем пункте, воспользуемся определением деления.

Пусть частное от деления $a$ на 1 равно $x$, то есть $\frac{a}{1} = x$. Это эквивалентно записи умножения: $x \cdot 1 = a$.

Число 1 является нейтральным элементом для операции умножения (или мультипликативной единицей). Это означает, что умножение любого числа на 1 не изменяет это число. Поэтому из равенства $x \cdot 1 = a$ напрямую следует, что $x$ должен быть равен $a$.

Следовательно, мы доказали, что $\frac{a}{1} = a$.

Ответ: При делении любого числа $a$ на 1 получается само число $a$.

г)

Равенство $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ (при $a \neq 0$) определяет понятие обратного числа.

По определению, число $b$ является обратным к числу $a$, если их произведение равно единице: $a \cdot b = 1$. Для любого ненулевого числа $a$ обратным числом является $\frac{1}{a}$. Таким образом, равенство $a \cdot \frac{1}{a} = 1$ верно по определению обратного числа.

Также это можно показать через умножение дробей. Представим число $a$ как дробь со знаменателем 1: $a = \frac{a}{1}$. Тогда произведение будет выглядеть так:

$a \cdot \frac{1}{a} = \frac{a}{1} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a \cdot 1}{1 \cdot a} = \frac{a}{a}$

Так как по условию $a \neq 0$, то при делении числа на само себя мы получаем 1. Значит, $\frac{a}{a} = 1$.

Ответ: Произведение любого ненулевого числа $a$ на обратное ему число $\frac{1}{a}$ равно 1.

Запишите данное утверждение и ответы на поставленные вопросы на математическом языке:

2.14 Периметр $P$ прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон $a$ и $b$. $P = 2(a+b)$

a) Чему равен полупериметр $p$ прямоугольника? $p = a+b$

б) Как найти сторону прямоугольника, зная полупериметр и другую его сторону? $a = p-b$ или $b = p-a$

в) Как найти сторону прямоугольника, зная периметр и другую его сторону? $a = \frac{P}{2}-b$ или $b = \frac{P}{2}-a$

г) Чему равен периметр квадрата со стороной $a$? $P = 4a$

Утверждение "Периметр $P$ прямоугольника равен удвоенной сумме его сторон $a$ и $b$" на математическом языке записывается в виде формулы:

$P = 2(a + b)$

а) Чему равен полупериметр p прямоугольника?

Полупериметр $p$ — это половина периметра. Чтобы найти полупериметр, нужно значение периметра $P$ разделить на 2.

$p = \frac{P}{2}$

Если подставить в эту формулу выражение для периметра $P = 2(a + b)$, получим:

$p = \frac{2(a + b)}{2} = a + b$

Таким образом, полупериметр прямоугольника равен сумме его смежных сторон.

Ответ: $p = a + b$

б) Как найти сторону прямоугольника, зная полупериметр и другую его сторону?

Из формулы для полупериметра $p = a + b$ можно выразить любую из сторон. Чтобы найти сторону $a$, нужно из полупериметра $p$ вычесть длину известной стороны $b$.

$a = p - b$

Аналогично, чтобы найти сторону $b$, нужно из полупериметра $p$ вычесть длину известной стороны $a$.

$b = p - a$

Ответ: Чтобы найти неизвестную сторону, нужно из полупериметра вычесть известную сторону ($a = p - b$ или $b = p - a$).

в) Как найти сторону прямоугольника, зная периметр и другую его сторону?

Используем формулу периметра $P = 2(a + b)$. Чтобы найти одну из сторон (например, $a$), сначала разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{P}{2} = a + b$

Мы получили, что полупериметр равен сумме сторон. Теперь, как и в предыдущем пункте, выразим сторону $a$, вычитая из полупериметра сторону $b$.

$a = \frac{P}{2} - b$

Аналогично для стороны $b$:

$b = \frac{P}{2} - a$

Ответ: Чтобы найти неизвестную сторону, нужно из половины периметра вычесть известную сторону ($a = \frac{P}{2} - b$ или $b = \frac{P}{2} - a$).

г) Чему равен периметр квадрата со стороной a?

Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны. Это означает, что для квадрата со стороной $a$ обе смежные стороны равны $a$, то есть $a = b$. Подставим это в формулу периметра прямоугольника:

$P = 2(a + a)$

$P = 2(2a)$

$P = 4a$

Периметр квадрата равен учетверенной длине его стороны.

Ответ: $P = 4a$

2.15 Площадь S прямоугольника равна произведению его сторон a и b.

$S = a \cdot b$

a) Как найти сторону прямоугольника, зная его площадь и другую сторону?

б) Как найти площадь квадрата, зная его сторону?

а) Площадь прямоугольника $S$ вычисляется по формуле, связывающей её со сторонами $a$ и $b$: $S = a \cdot b$. Эта формула представляет собой равенство, из которого можно выразить любую из величин, если известны две другие.
Чтобы найти одну из сторон, например сторону $a$, зная площадь $S$ и другую сторону $b$, необходимо преобразовать исходную формулу. Для этого нужно разделить обе части равенства на известную величину, то есть на сторону $b$: $a = \frac{S}{b}$.
Аналогично, если известна сторона $a$, то сторона $b$ находится по формуле: $b = \frac{S}{a}$.
Таким образом, для нахождения неизвестной стороны прямоугольника необходимо его площадь разделить на длину известной стороны.
Ответ: Чтобы найти сторону прямоугольника, нужно его площадь разделить на длину другой, известной стороны.

б) Квадрат является частным случаем прямоугольника, у которого все стороны равны. Обозначим длину стороны квадрата буквой $a$.
Так как у квадрата смежные стороны равны ($a = b$), мы можем использовать общую формулу площади прямоугольника $S = a \cdot b$, подставив в неё $a$ вместо $b$: $S = a \cdot a$.
Произведение одинаковых множителей является степенью. В данном случае это вторая степень, или квадрат числа. Таким образом, формула площади квадрата имеет вид: $S = a^2$.
Следовательно, чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны умножить саму на себя.
Ответ: Чтобы найти площадь квадрата, нужно длину его стороны возвести в квадрат.

2.16 Скорость движения $v$ равна отношению расстояния $s$ к времени движения $t$.

a) Как найти расстояние, пройденное телом, зная его скорость и время движения?

б) Как найти время движения, зная скорость и расстояние, пройденное телом?

В задаче дано основное соотношение, связывающее скорость, расстояние и время. Скорость движения $v$ равна отношению расстояния $s$ ко времени движения $t$. Это записывается в виде формулы:

$v = \frac{s}{t}$

Исходя из этой формулы, можно выразить другие величины.

а) Чтобы найти расстояние $s$, зная скорость $v$ и время $t$, необходимо преобразовать исходную формулу. Для этого нужно избавиться от знаменателя $t$ в правой части уравнения. Умножим обе части уравнения на $t$:

$v \cdot t = \frac{s}{t} \cdot t$

После сокращения $t$ в правой части получаем формулу для вычисления расстояния:

$s = v \cdot t$

Таким образом, для нахождения расстояния, пройденного телом, необходимо его скорость умножить на время движения.

Ответ: Расстояние находится как произведение скорости на время движения: $s = v \cdot t$.

б) Чтобы найти время движения $t$, зная скорость $v$ и расстояние $s$, также преобразуем исходную формулу $v = \frac{s}{t}$.

Сначала умножим обе части на $t$, чтобы перенести время из знаменателя в числитель:

$v \cdot t = s$

Теперь, чтобы выразить время $t$, разделим обе части полученного уравнения на скорость $v$:

$\frac{v \cdot t}{v} = \frac{s}{v}$

После сокращения $v$ в левой части получаем искомую формулу:

$t = \frac{s}{v}$

Следовательно, для нахождения времени движения необходимо пройденное расстояние разделить на скорость тела.

Ответ: Время движения находится как частное от деления расстояния на скорость: $t = \frac{s}{v}$.

2.17 Запишите на математическом языке:

а) чему равен объём $V$ куба со стороной $a$;

б) чему равна площадь $S$ поверхности куба со стороной $a$;

в) чему равен объём $V$ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны $a, b, c$;

г) чему равна площадь $S$ поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны $a, b, c$.

а) чему равен объём V куба со стороной a;

Объём куба ($V$) — это произведение трёх его измерений: длины, ширины и высоты. У куба все эти измерения равны его стороне $a$. Следовательно, чтобы найти объём, нужно умножить сторону $a$ саму на себя три раза.
Таким образом, формула для объёма куба выглядит следующим образом:
$V = a \cdot a \cdot a = a^3$
Ответ: $V = a^3$

б) чему равна площадь S поверхности куба со стороной a;

Поверхность куба состоит из шести одинаковых граней. Каждая грань представляет собой квадрат со стороной $a$. Площадь одного такого квадрата равна $a^2$.
Чтобы найти общую площадь поверхности ($S$), необходимо сложить площади всех шести граней или, что то же самое, умножить площадь одной грани на 6.
$S = a^2 + a^2 + a^2 + a^2 + a^2 + a^2 = 6a^2$
Ответ: $S = 6a^2$

в) чему равен объём V прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны a, b, c;

Объём ($V$) прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение трёх его измерений — длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).
Формула для объёма:
$V = a \cdot b \cdot c$
Ответ: $V = abc$

г) чему равна площадь S поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны a, b, c.

Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести граней. Эти грани образуют три пары одинаковых прямоугольников.
- Пара передней и задней граней, каждая с площадью $a \cdot c$. Их общая площадь $2ac$.
- Пара боковых граней, каждая с площадью $b \cdot c$. Их общая площадь $2bc$.
- Пара верхней и нижней граней, каждая с площадью $a \cdot b$. Их общая площадь $2ab$.
Общая площадь поверхности ($S$) — это сумма площадей всех шести граней.
$S = 2ab + 2ac + 2bc = 2(ab + ac + bc)$
Ответ: $S = 2(ab + ac + bc)$